Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grundlagen der Inferenzstatistik

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1 Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grudlage der Iferezstatistik Überblick der Begriffe Populatio Iferezstatistik Populatiosparameter Stichprobeverteiluge Auch Stichprobekewerteverteiluge Wahrscheilichkeitstheorie ist eie meist zu große Gruppe vo Idividue mit gleiche Merkmale, die für eie Erhebug umöglich ist zu utersuche Methode ud Verfahre der Statistik, die mit mathematische Mittel Date aalysiere, bildet die Lösug um große Populatioe zu utersuche, idem eie Teilgruppe der Populatio gezoge wird ud mit de iferezstatistische Techike geschlussfolgert wird Stichprobestatistike(auch Stichprobekewerte) der Herkuftspopulatio für Schätzuge der statistische Parameter Theoretische Verteilug vo Stichprobestatistike, mit welcher Wahrscheilichkeit ma welche Stichprobeergebisse erwarte ka, we ma bestimmte Aahme trifft Mit Hilfe der Wahrscheilichkeitstheorie ist es möglich, vo de Stichprobeergebisse auf die etsprechede Parameter der Grudgesamtheit zu schließe, d.h. diese zu schätze. (Iferezschluß) 10.1.Wahrscheilichkeite, kurz gefasst Uterscheidug zwische subjektiver, klassischer & empirischer/frequetistischer Wahrscheilichkeit: Subjektiver Gefühl/Ituitio gemischt mit Hitergrudwisse p bewegt sich zwische 0 bis 100%, Wertebereich wird ausgeschöpft Schätzug, Ituitio, Wisse Klassischer Wahrscheilichkeite werde aus de Eigeschafte der Gegestäde abgeleitet, Eizelaussage müsse eideutig sei Beispiel: Würfel hat sechs Seite Azahl der güstige Fälle Azahl der mögliche Fälle Empirische Schätzt sie aufgrud vo relative Häufigkeite, darauf achte das Date aus Zufallsstichprobe etstade sid/zumidest so iterpretiert werde köe Azahl passeder Beobachtuge Azahl relevater Beobachtuge

2 f (A) f(a) + f( A) Kojuktioe Bedigte Wahrscheilichkeite Zusammegesetzte Ereigisse, die Wahrscheilichkeit eier Kojuktio ka icht größer sei, als die Wahrscheilichkeit jeder der Eizelwahrscheilichkeite. die Wahrscheilichkeit des Eitretes eies Ereigisses uter der Bedigug, dass das Eitrete eies adere Ereigisses bereits bekat ist A B Ereigis A uter der Bedigug B abhägig A B Ereigis A ud B p(a B) p(a B) = p(b) We A uabhägig vo B auftritt, gilt folgede Produktregel: p (A B) = p(a)p(b) Vo der Populatio über Stichprobe zur Stichprobeverteilug Empirische Stichprobeverteilug Theoretische Stichprobeverteilug Vo der Stichprobe zur Populatio Beispiel Verteiluge der aus de Stichprobe berechete Stichprobestatistike, alle dekbare uterschiedliche Stichprobe werde gezoge ud ausgewertet Stichprobeverteiluge sid Verteiluge vo Stichprobestatistike. Sie existiere icht real (hypothetisch) soder ur als theoretische Modelle, die us agebe, mit welche Wahrscheilichkeite die eizele Realisatioe vo Stichprobestatistike (Mittelwerte, e, Ateilswerte) zu erwarte sid = Zusammefassug vo hypothetische Ereigisse ( Stichprobe) Verteiluge uedlich vieler Stichprobestatistike aus derselbe Populatio, zuvor werde Sie stadardisiert, Fläche hat de Wert 1 (oder 100%) Eie eizige Stichprobe zur Verfügug, die daraus berechete Stichprobestatistike werde für Aussage über de Populatiosparameter geutzt Eie Stichprobe = 10 mit x Messwerte, daraus wird ei Durchschitt gebildet, beliebig oft wiederholbar, Bedigug ist mit Zurücklege!!! Ma erhält beliebig viele Mittelwerte vo diese Stichprobe. Ordet ma diese Mittelwerte der Stichprobe der Größe ach, ud stellt die Verteilug der Mittelwerte i eier Tabelle oder Grafik da, so wird ma feststelle, dass diese sich (tedeziell) um de wahre Mittelwert kozetriere Stichprobeverteilug für Ateile Biomialverteilug Formel Zufallsexperimete (auch Beroulli Experimete) mit ur zwei mögliche Ergebisse, omialskaliert Verteilug diskreter Werte P (A k ) = ( k ) pk (1 p) k

3 ( ) über k Biomialkoeffiziet k p k (1 p) k Wahrscheilichkeit eier Kojuktio ( k ) =! k! ( k)!! ausgesproche Fakultät, jeweilige Zahl mit jeder kleiere multipliziert wird (3! = 3*2*1 = 6) Biomialkoeffiziet Gibt a, wie viele Aorduge möglich sid, die aus k mal A ud k mal icht A bestehe Lage- ud Streuugsmaße vo Stichprobeverteiluge Biomialverteilug Erwartugswert (ei Lagemaß) Variaz (Streuugsmaß) Auch Stadardfehler Azahl: E (X) = μ = p Ateil: E (X) = μ = p = p s 2 = σ 2 = p(1 p) s = σ = p(1 p) Um de Ateil zu erreche, muss ma durch dividiere Stichprobeverteilug für Mittelwerte Erwartugswert Erwartugswert eier Zufallsvariable = Populatiosmittelwert d.h. ma utzt de Erwartugswert der Stichprobe: μ = x 1 + x 2 +,, + x N Variaz - Variaz muss aus der Populatiosvariaz geschätzt werde: - Variaz für Mittelwerte σ 2 = 1 1 (x i x ) ² σ ² x = σ ² i=1 - Stadardfehler σ x = σ ² = σ Vorgehesweise - Fehlerbehaftet

4 - Häufigkeitsverteilug (Stichprobeergebis) der Stichprobe, die als Schätzugsgrudlage für die Populatiosverteilug diet, ka deutlich vo dieser abweiche, trotzdem repräsetativ - Aahme über die Form der Populatiosverteilug, um die geaue Form der etsprechede Stichprobeverteilug zu bestimme Der Eifluss der Stichprobegröße auf die Stichprobeverteilug Gesetz der große Zahle - Besagt, dass die Schätzuge vo zusammegesetzte Werte mit steigeder Stichprobegröße geauer wird - Nimmt icht mooto zu Zetraler Grezwertsatz - mathematische Gesetzmäßigkeit - hat Auswirkug auf die Form der Stichprobeverteilug: mit steigeder Stichprobegröße ähert sie sich der Normalverteilug oder, i ihrer stadardisierte Form, Stadardormalverteilug a Normalverteilug Auch Glockekurve oder Gaußsche Verteilug Jeder gebräuchliche Stichprobeverteilug bei i eie Normalverteilug über!! Bei der Biomialverteilug i Normalverteilug, we p(1 p) > 9 Es hadelt sich um kotiuierliche Werte Spielt eie wichtige Rolle als Aahme über die Verteilug vo Werte i der Populatio (Populatioswerte sid ormalverteilt), gebräuchliche Verfahre sid t-test, Variazaalyse Stadardormalverteilug Erhält ma durch z-trasformatio: z i = X i μ σ X i empirischer Mittelwert der Stichprobeverteilug μ theoretischer Erwartugswert σ Stadardfehler Durch die z-trasformatio köe sämtliche Normalverteiluge stadardisiert werde, d.h. auf eie Stadard gebracht werde. Eigeschaft Mittelwert = 0 Variaz (auch die Streuug) = 1 Durch de Vergleich der Werte der Normalverteilug ud der Stadardormalverteilug lasse sich die Werte iterpretiere.

5 Ausgehed vo de Verteilugseigeschafte eier Normalverteilug befidet sich der Stichprobemittelwert mit eier Wahrscheilichkeit vo ca. 68% im Bereich siehe Abbildug oder zu 95% wie siehe Abbildug Rekapitulatio ud Ausblick Zetrales Problem: Wie ka ma aufgrud vo Stichprobeergebisse ud de daraus berechete Stichprobestatistike Schlüsse auf die etsprechede Populatiosparameter ziehe? = Wahrscheilichkeitsaussage, die aus Stichprobeverteiluge stamme 1. Stichprobeverteiluge für Ateile, Mittelwerte ud adere zusammegesetzte Maße erhält ma,we uedlich oft Stichprobe aus eier Populatio zieht, Stichprobestatistik berechet ud Verteilug bildet 2. Stadardisierug, da ka ma bestimmte Werte (diskret) oder festgelegte Itervalle vo Werte (kotiuierlich) bestimme ud iterpretiere. Sid Stichprobe groß geug ( > 30, besser > 100) ka ma für die Stichprobeverteiluge i der Regel aehme, dass sich diese eier Normalverteilug aäher Falls < 30, da köe adere zetrale Verteiluge (t-, F- ud Chic-Quadrat) agewedet werde. Diese habe aufgrud der theoretische Verteilug ebefalls solche Itegratiosmöglichkeite.