Wichtige Verteilungen

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1 Wichtige Verteiluge Gaußsche Glockekurve ormalverteilug Logarithmische ormalverteilug Histogramm mit Glockekurve 3 Biomial- oder Beroulli-Verteilug Poisso-Verteilug Hypergeometrische Verteilug Epoetialverteilug absolute Häufigkeit Tschebyscheffsche Ugleichug Zetraler Grezwertsatz Milchleistug [kg/a] Galto-Brett

2 ormalverteilug Stadardormalverteilug Dichtefuktio µ = E(X) = & (&µ) = Var(X) = f() für &4<<%4 ud > B Dichtefuktio Verteilugsfuktio () ' & e dt B m &4 µ = E(X): Erwartugswert oder Mittelwert = Var(X): Variaz () & für &4<<%4 B Verteilugsfuktio M() e & t dt B m &4 f() =.7 : = = =. : = - : = () M() Wedepukt Wedepukt : -3 :- :- : : + : + : +3

3 Trasformatio auf Stadardormalvariable Spezielle raktile ud Greze der ormalverteilug X&µ X - (µ, )-.v., da ist - (, )-.v. () ' M &µ P(a<X#b) ' (b)&(a) ' M b&µ &M a&µ M(!) M() M()!M(!) : -3-3 : - :- : : + : + : u -Bereich: P(µ!<X#µ+) = M()!M(!) =.66. 6% -Bereich: P(µ!<X#µ+) = M()!M(!) =.94. 9% 3-Bereich: P(µ!3<X#µ+3) = M(3)!M(!3) =.9974 > 99% 4-Bereich: P(µ!4<X#µ+4) = M(4)!M(!4) = % Additiostheorem der ormalverteilug P(µ!.96<X#µ+.96) =.9 = 9.% P(µ!.76<X#µ+.76) =.99 = 99.% P(µ!3.9<X#µ+3.9) =.999 = 99.9% Die Summe vo uabhägige ormalverteilte Zufallsvariable ist wieder eie ormalverteilte Zufallsvariable: X i (i =,,...,) - (µ i i )-.v., da ist X' j k i - (µ )-.v. mit µ' j k i ud ' j i' i' i' k i 6% 6% 6% :- : : +.% :-.96 9% : : +.96.%

4 Milchleistug Logarithmische ormalverteilug M - (,6 )-.v..7.6 X logarithmisch ormalverteilt, we Y = log X ormalverteilt Y = log X - (log>, )-.v. Dichte Milchleistug [kg/a] -Bereich: P(µ!#M#µ+)=P(44#M#6).6% -Bereich: P(µ!#M#µ+)=P(3#M#6).9% 3-Bereich: P(µ!3#M#µ+3)=P(3#M#6).99% 6 7 Dichte- ud Verteilugsfuktio f() ' () ' loge B B & für > für # log & e m dt für > &4 für # P(µ!.96#M#µ+.96)=P(34#M#676)=9.% P(µ!.76#M#µ+.76)=P(344#M#646)=99.% P(µ!3.9#M#µ+3.9)=P(36#M#6974)=99.9% P(M=6)= P(M<)=P(M#)=P(M>)=P(M$)=. P(M<6)=(6)=M((6!)/6)=M(.67)=.9 P(M>6)=!(6)=!M()=!.9773=.7 P(#M#6)=(6)!()=.9!.=.4 P(M#c)=.9](c)=M((c!)/6)=.9] ](c!)/6=u.9=.]c=769 also P(M#769)=9% ud P(M>769)=-.9=.=% P(µ!c#M#µ+c)=.9](µ+c)!(µ!c)=.9] ] M((µ+c!µ)/)!M((µ!c!µ)/)=M(c/)!M(!c/)=.9] ]c/=.9=.64yc=.64@6=97 also P(43#M#97)=9% f(), () () f() 9

5 Hydroymethylfurfurolgehalt vo Hoig Beroullisches Zufallseperimet Descriptive Statistics Variable: HM Aderso-Darlig ormality Test A-Squared: P-Value: 3.. Komplemetäre Ereigisse: A (Erfolg) ud A(kei Erfolg) mit P(A) = p ud P( A) = q =! p (also p + q = ) -malige Durchführug eies Beroullische Zufallseperimets liefert olge vo Ereigisse A oder A, 4 6 Mea StDev Variace Skewess Kurtosis z.b. AAAAA A... A AAA ( mal) mit P(AAAAA A... A AAA) = p@p@p@q@p@q@...@q@q@p@p.6 9% Cofidece Iterval for Mu..6 Miimum st Quartile Media 3rd Quartile Maimum % Cofidece Iterval for Mu.76 9% Cofidece Iterval for Sigma.94 Reihefolge egal P(AA...A k mal ud A A... A!k mal) = p k '! (&k)!@k! Aorduge mit Wahrscheilichkeit p 9% Cofidece Iterval for Media 9% Cofidece Iterval for Media.6.4 P(,k,p) ' &k (k',,,...,) -.. Descriptive Statistics % Cofidece Iterval for Mu Variable: l HM Aderso-Darlig ormality Test A-Squared: P-Value: Mea StDev Variace Skewess Kurtosis Miimum st Quartile Media 3rd Quartile Maimum E- -4.7E % Cofidece Iterval for Mu.766 9% Cofidece Iterval for Sigma.7967 Müzwurf p = q =. (symmetrische Müze) Ure: a rote, b grüe Kugel, Ziehe mit Zurücklege p = a / (a + b), q = b / (a + b) =! p Toizitätsprüfug a Laborratte Mortalitätsrate p =. = % Überlebesrate q =.9 = 9% =! p 9% Cofidece Iterval for Media 9% Cofidece Iterval for Media

6 Beroulli- oder Biomialverteilug Toizitätsprüfug Wahrscheilichkeits- ud Verteilugsfuktio Ratte, Mortalitätsrate % f() f() ' P(,,p)' () ' j f(t) für $ t#.4.3. für < Erwartugswert ud Variaz E(X) p, Var(X) @(&p) & sost für ',,,ÿ, p =. = p =.9 p =. p =.7 p '4@.@.43'.9'9% P(#) = () = f() + f() + f() = =.93 = 93% P(<) = f() + f() = () = =.74 = 74% P(>) =! P(#) =!.93 =.7 = 7% P($9) = P(9) + P() =. +. = f() = P(X = ) () = P(X # ) f(), ().6..4 =, p =

7 P(,k,p) ' P(k,). k Biomial- ud Poisso-Verteilug Beroulli-Eperimet: groß, p sehr klei (seltees Ereigis) Mit Approimatio der Biomial- durch Poisso-Vertlg.: Beispiele: # ud Radioaktiver Zerfall ("-Teilche pro Zeititervall) Druckfehler pro Seite ahrzeuge pro Zeititervall Ukrautsame pro lächeeiheit Chromosomeaustausch i Zelle f() ' P(,) für ',,,ÿ () ' t jt# t! Poisso-Verteilug Wahrscheilichkeits- ud Verteilugsfuktio sost für $ für < Erwartugswert ud Variaz E(X) =, Var(X) =.7 Biomial-, Poisso- ud ormalverteilug.6 lambda =. Biomialverteilug mit E(X) p, Var(X) q # ud Poissoverteilug mit E(X) =, Var(X) = f()..4.3 lambda = $ 9: ormalverteilug mit E(X) = µ = ud Var(X) = =.. lambda =

8 Schadschwellekozept Hypergeometrische Verteilug Zählrahme a Stelle: '.94, s '.69 Schadschwelle: Problemukräuter > 4 Ukräuter pro Zählrahme Modell: Poisso-Modell mit =.94 Häufigkeit P(X # 4) = P(X=) + P(X=) + P(X=) + P(X=3) + P(X=4) = = /!+.94 /!+.94 /!+.94 /3!+.94 /4!) = ( ) = =.96 = 9.% P(X > 4) =! P(X # 4) =!.96 =.474 = 4.74% Wahrscheilichkeit, daß mehr als 4 Ukräuter vorkomme, ist also kleier als % Zufallseperimet: Ure mit Kugel, davo weiß ud =! schwarz. Aus der Ure werde Kugel gezoge. Gesucht ist die Wahrscheilichkeit, geau k weiße zu ziehe. mit Zurücklege 6 Biomialverteilug ohe Zurücklege 6 Hypergeometrische Verteilug MUGE: P k ' k f() ' P ' & &k k Erwartugswert ud & & & &k sost E(X)'@ &, für & &

9 Biologiestudete Epoetialverteilug Biologiestudete, davo weiblich (w) ud mälich (m), Dichte- ud Verteilugsfuktio Studete zufällig ausgewählt Wahrscheilichkeit ur weibliche: f() ' für $, > für < '.6'.6% Wahrscheilichkeit weibliche ud mäliche: '.34' 34.% Wahrscheilichkeit weibliche ud mäliche: () ' &@e&@ für $, > für < Erwartugswert ud Variaz E(X)', Var(X)'. f() () '.6'.6% f(), (). =. 3 4

10 Tscherobyl Tschebyscheffsche Ugleichug Cs 6 Ba + e, t = 3 a X beliebig verteilt mit E(X) = µ ud Var(X) =, da gilt: & H Lebesdauer T (Zeit bis zum Zerfall) eies Cäsiumkers ist epoetial- P( X! µ < k@) $! /k oder P( X! µ $ k@) # t!t verteilt ach f(t) e bzw. (t) =! e Halbwertszeit = Media: t H = t. = 3 a Zerfallskostate : (t H) =. =! e Erwartugswert: E(T) = / = 43 a..9, also =.3 3 a! Wahrscheilichkeit, daß Cäsiumker höchstes 3 a überlebt:!.3 3 a P(T # 3 a) = % =. = (3 a) =! e Wahrscheilichkeit, daß Cäsiumker höchstes 43 a überlebt:!.3 43 a P(T # 43 a) = (43 a) =! e =!.37 =.63 = 63% Wahrscheilichkeit, daß Cäsiumker midestes a überlebt:!.3 a P(T $ a) =! ( a) = e =. = % P( X!µ <) =.7 = 7% oder P( X!µ $) =. = % P( X!µ <3) =.9 = 9% oder P( X!µ $3) =. = % P( X!µ <4) =.94 = 94% oder P( X!µ $4) =.6 = 6% Bei eier beliebige Verteilug liege also midestes 7% aller mögliche Realisatioe ierhalb des -Bereichs, 9% ierhalb des 3- Bereichs ud 94% ierhalb des 4-Bereichs. Oder aders herum: Höchstes % liege außerhalb des -Bereichs, % außerhalb des 3-Bereichs ud 6% außerhalb des 4-Bereichs. ür spezielle Verteiluge ka ma atürlich schärfere Aussage formuliere, z.b. für die ormalverteilug: P( X!µ $ ) =.4 P( X!µ $ 3) =.7 P( X!µ $ 4) =. (t) Zetraler Grezwertsatz t [a] X i (i =,,...,) mit E(X i) = µ i ud Var(X i) = i beliebig verteilt X' j - (µ, )-.v. für 6 4 (praktisch für relativ groß) X i i'