Stochastisches Integral

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1 Kapitel 11 Stochastisches Itegral Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 1 / 2 Lerziele Wieer Prozess ud Browsche Bewegug Stochastisches Itegral Stochastische Differetialgleichug Itô s Lemma π Daume-Regel Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 2 / 2 Ei Biomialprozess Wir werfe ierhalb eier Periode der Läge T eie Müze N mal: Bei Zahl erhalte wir T/Nc, bei Kopf müsse wir T/Nc zahle. User Gewi/Verlust R i ist eie Zufallsvariable mit Erwartugswert E(R i ) = ud Variaz V(R i ) = T/N. User Guthabe zum Zeitpukt t (ach Zeitschritte) beträgt W(t) = W = R i (t = T/N) ud ist ebefalls eie Zufallsvariable mit Erwartugswert E[W(t)] = ud Variaz V[W(t)] = T/N = t. Es gilt für t < t 1 : E[W(t 1 ) W(t )] = ud V[W(t 1 ) W(t )] = t 1 t Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 3 / 2

2 Ei Biomialprozess Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 4 / 2 Wieer Prozess ud Browsche Bewegug Der Grezprozess W(t) für N hat folgede Eigeschafte: W(t) ist stetig. (Aber irgeds differezierbar!) Die Äderug W(t 1 ) W(t ) ist uabhägig vo W(t ). W(t) erfüllt die Markov-Eigeschaft. W(t 1 ) W(t ) (für t < t 1 ) ist ormalverteilt mit Erwartugswert E[W(t 1 ) W(t )] = ud Variaz V[W(t 1 ) W(t )] = t 1 t. Dieser Prozess heißt Wieer Prozess. Der Prozess X(t) = µ t + σw(t) heißt Browsche Bewegug. Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 5 / 2 Das Riema-Itegral Itegrale köe mit Hilfe vo Riema-Summe berechet werde: g(t) dt = lim mit t i = i T ud τ i (t i 1, t i ). g(τ i ) (t i t i 1 ) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 6 / 2

3 Das Riema-Stieltjes-Itegral Der Erwartugswert E[g(X)] eier Fuktio g eier Zufallsvariable X mit Dichte f ud Verteilugsfuktio F ist E[g(X)] = b a g(x) f(x) dx = b a g(x) df(x) Wir fasse hier df(x) = f(x)dx als Differetial vo F auf. Das Itegral g(x)df(x) wird als Riema-Stieltjes-Itegral bezeichet. b a g(x) df(x) = lim mit x i = a + i (b a) ud ξ i (x i 1, x i ). g(ξ i )(F(x i ) F(x i 1 )) Die Läge des Itervalls (x i 1, x i ) wird dabei mit F gewichtet. Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 7 / 2 Riema-Itegral ud Differetial Für de determiistische Prozess gilt dx(t) = µ dt Ma ka das als Kurzform des Itegrals iterpretiere X(T) = X + dx(t) = X + µ dt Wir erweiter die determiistische Differetialgleichug um eie stochastische Term: Was bedeuted das? dx(t) = µ dt + σ dw(t) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 8 / 2 Stochastisches Itegral X(T) = X + f(t) dw(t) = X + lim f(t i 1 ) (W(t i ) W(t i 1 )) mit t i = i T heißt das stochastische Itegral (Itô Itegral) vo f. Achtug: Die Fuktio f wird immer am Afag des Itervalls (t i 1, t i ) ausgewertet (d.h., liks). Als Kurzform verwede wir dx(t) = f(t) dw(t) Diese Darstellug wird i Alehug a gewöhliche Differetialgleichuge auch als stochastische Differetialgleichug bezeichet. Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 9 / 2

4 Stochastisches Itegral Der Wieer Prozess W(t) ist für alle t eie Zufallsvariable. Daher ist auch f(t i 1 ) (W(t i ) W(t i 1 )) ud somit auch der Grezwert eie Zufallsvariable. X(T) = f(t) dw(t) Das Itegral ist eideutig defiiert im Sie der quadratische Kovergez bei : Der Erwartugswert des Abweichugsquadrats strebt gege. ( ) 2 E X(T) f(t i 1 ) (W(t i ) W(t i 1 )) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 1 / 2 Itô s Lemma Wie berechet ma f(w) dw(t)? z.b. W dw =? Sei δt sehr klei, ud sei h = δt. Taylor-Formel: f(w(t + h)) f(w(t)) = f (W(t)) (W(t + h) W(t)) f (W(t)) (W(t + h) W(t)) Das gilt aber für jedes Iterval [t + (j 1)h, t + jh]: f(w(t + jh)) f(w(t + (j 1)h)) = f (W(t + (j 1)h)) (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) f (W(t + (j 1)h))(W(t + jh) W(t + (j 1)h)) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 11 / 2 Itô s Lemma / (2) Daraus folgt (uter Verwedug vo f (W(t)) f (W(t + (j 1)h))) f(w(t + jh)) f(w(t + (j 1)h)) = f (W(t + (j 1)h)) (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) f (W(t + (j 1)h)) (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) Like Seite der Gleichug: f(w(t + jh)) f(w(t + (j 1)h)) = f(w(t + h)) f(w(t)) = f(w(t + δt)) f(w(t)) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 12 / 2

5 Rechte Seite, 1. Term (per Defiitio des stochastische Itegrals): f (W(t + (j 1)h)) (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) t f (W) dw(τ) für h Rechte Seite, 2. Term (quadratische Kovergez): (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) 2 durch E[(W(t + jh) W(t + (j 1)h)) 2 ] = h = δt t f (W(t + (j 1)h)) (W(t + jh) W(t + (j 1)h)) 2 f (W(t + (j 1)h)) ((t + jh) (t + (j 1)h)) f (W(τ) dτ für h Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 13 / 2 Itô s Lemma Isgesamt (alle adere Terme verschwide im Grezübergag) f(w(t+ δt)) f(w(t)) = t f (W(τ)) dw(τ)+ 1 2 Durch Zusammefüge vieler kleier Itervalle (t, t + δt) f(w(t)) = f(w()) + f (W(t)) dw(t) Itô s Lemma i Kurzform : df = f (W) dw f (W) dt t f (W(τ)) dτ f (W(t)) dt Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 14 / 2 Itô s Lemma ud Taylor-Formel / Kurzversio Sei f eie Fuktio der Browsche Bewegug W. Nehme wir a, dw wäre eie uedlich kleie Äderug vo W(t) ud wir dürfte gaz aïv die Taylor-Formel verwede: df = f(w + dw) f(w) = f (W) dw f (W)(dW) 2 Ma ka beweise, dass E( t (dw)2 ) = t. Daher köte wir schreibe (dw) 2 = dt Wir erhalte dadurch Itô s Formel df = f (W) dw f (W) dt Leider ist diese Vorgagsweise falsch, da W icht differezierbar ist! (Fuktioiert aber als π Daume-Regel überasched oft.) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 15 / 2

6 Beispiel Sei f(w) = W 2 ud W() =. Da ist f = 2W ud f = 2 Aus Itô s Lemma folgt df = 2W dw + dt bzw. W 2 = f(w) = f() + 2W dw dt = 2W dw + T ud daher gilt W dw = 1 2 (W2 (T) T) Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 16 / 2 Itô s Lemma für Browsche Beweguge Wir defiiere eie allgemeie Browsche Bewegug X durch dx = a(x) dt + b(x) dw. Sei f(x) eie Fuktio vo X. Da ist df = f (X) dx b2 f (X) dt Die Terme dieser Gleichug häge oft och direkt vo der Zeit t ab: Da gilt für eie Fuktio f(x, t): dx = a(x, t) dt + b(x, t) dw df = f f t dt + X dx b2 2 f dt X 2 Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 17 / 2 Beispiel / Browsche Bewegug mit Drift ist die Kurzform für S(T) = S() + ds = µ dt + σ dw µ dt + σ dw = S() + µt + σ(w(t) W()) Es gilt: dw = lim [ W( i T) W( i 1 T) ] = lim [ W( T) W() ] = W(T) W() Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 18 / 2

7 Beispiel / Modell für Aktiekurs geometrische Browsche Bewegug User Modell für Aktiekurse lautet ds = µ S dt + σ S dw Itô s Lemma mit f(s) = log S ergibt (a(s) = µ S, b(s) = σ S) bzw. df = f (S) ds σ2 S 2 f (S) dt = 1 S (µ S dt + σ S dw) 1 2 σ2 dt = (µ 1 2 σ2 )dt + σ dw log S(T) = log S() + (µ 1 2 σ2 )T + σ(w(t) W()) D.h., der logarithmierte Aktiekurs ist eie Browsche Bewegug mit Drift (µ 1 2 σ2 ) ud Volatilität σ. Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 19 / 2 Wilmott s π Daume-Regel für Dummies Stochastische Differetialgleichuge sid eie Art Vorschrift zum Erzeuge eies Zufallspfades. Jede Fuktio eies Zufallspfades ist selbst wieder ei Zufallspfad. Zum Bereche verwede wir die Taylor-Formel. Dabei behalte wir ur Terme mit dt ud dw ( = dt ). (dw) 2 wird durch dt (= E(dW 2 )) ersetzt. Achtug! Die Ergebisse dieser π Daume-Regel müsse selbstverstädlich immer mit harter Mathematik (vo eiem Mathematiker) verifiziert werde! Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 2 / 2