Klassische Theoretische Physik I WS 2013/2014

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1 Karlsruher Istitut für Techologie Klassische Theoretische Physik I WS 3/4 Prof. Dr. J. Schmalia Blatt 7 Dr. P. P. Orth Abgabe ud Besprechug Tayloretwicklug I Pukte) Bereche Sie für alle folgede Fuktioe explizit die erste vier icht verschwidede Terme der Taylorreihe um de Pukt x, ud fide Sie ahad Ihres Ergebisses de allgemeie Ausdruck der Reihe fx) a x. Die Taylorreihe eier Fuktio fx) bis zur Ordug N um de Pukt x a ist gegebe durch fx) N f ) a) x a). )! Es werde Terme der Ordug Ox a) N+ ) ud höher verachlässigt. Im folgede etwickel wir um de Pukt a. Dafür müsse wir eifach die -te Ableituge der Fuktioe am Pukt x bestimme, da diese de -te Koeffiziete a der Taylorreihe bestimme. a) b) six) x x3 3! + x5 5! x7 7! + Ox9 ) six) cosx) x + x4 4! x6 6! + Ox8 ) cosx) e x + x + x + x3 3! + Ox4 ) e x x! l + x) x x + x3 3 x4 4 ± Ox5 ) l + x) ) + )! x+ ) ) )! x. 3) 4) ) + x. 5) Auf diese Weise ka ma auch die Eulersche Formel e ix cos x + i si x erhalte. c) tax) six)/ cosx). Zeige Sie dass ma die Reihe sowohl erhalte ka durch Bilde der Ableituge vo tax) als auch durch Divisio der i Aufgabe erhaltee Reihe für six) ud cosx). tax) x + x3 3 + x x Ox8 ). 6) We wir die beide Reiheausdrücke für six) ud cosx) durcheiader dividiere, köe wir zuerst eimal erkee, dass es ur ugerade Poteze vo x i der Reihe gebe wird, da six) ur ugerade Poteze vo x ethält. Ausserdem

2 köe wir folgedes rekursive Schema der Taylorkoeffiziete erkee a 7) a 3 3! + a! 6 a 5 5! a 4! + a 3! 5 9) a 7 7! + a 6! a 3 4! + a 5! 7 35 ) a 9 9! a 8! + a 3 6! a 5 4! + a 7! 6 835, ) usw.. Der -te Taylorkoeffiziet ka also rekursiv defiiert werde als a + ) + )! ) ν ) [ ν)]! a ν+. ) ν d) Die erste Fuktio ergibt eie geometrische Reihe + x x + x x 3 + Ox 4 ) + x ) x. 3) Für die ächste beide Fuktioe erhalte wir x + x + x 8 + x3 6 + Ox4 ) 4) x + x + 3x 8 5x3 6 + Ox4 ). 5) Allgemei erhalte wir durch Bilde der Ableituge de folgede Ausdruck + x) p + px + pp ) x +! p!!p )! x pp )p ) x ! 8) pp ) p + ) x +...! 6) ) p x. 7). Tayloretwicklug II Pukte) Bestimme Sie für die Fuktioe i de Aufgabeteile a) ud b) jeweils die erste drei icht verschwidede Terme der Tayloretwicklug um de Pukt x. a) Wir fide die Tayloretwicklug oder Potezreiheetwicklug) der Fuktioe, idem wir de Itegrade etwickel, da Summatio ud Itegratio vertausche das ist erlaubt im Kovergezbereich der Potezreihe) ud die eizele Terme itegriere ta x) + t ) x+ t ) ) t 8) + x x3 3 + x )

3 si x) x t ) ) / ) t ) ) t ) x + + x + x x ) b) Wir bereche die Taylorreihe der Fuktio idem wir erst de cosx) etwickel ud die Potezreihe da mit Hilfe der Reihe vo + x) p, die wir i Aufgabeteil d) erhalte habe, weiter etwickel: x cosx) + x4 4! } {{ } y ) / +... y + 3y 8... ) + x 4 + 7x Ox6 ). ) Wir erhalte die Potezreihe der Fuktio, idem wir beide Faktore i eie Potezreihe etwickel ud die beide Reihe da multipliziere. Das ist erlaubt für kovergete Potezreihe. e x x + x + x + x ) ) + x + x + x ) + x + 5x + Ox3 ). 4) c) Bereche Sie die Grezwerte der uedliche Reihe /! ud / ). Wir erhalte die Grezwerte der Reihe eifach idem wir die Reihe als Potezreihe eier Fuktio fx) a eiem bestimmte Pukt x idetifiziere. Wir erhalte S S! +! + e 5) l ) l. 6) 3. Vektoraalysis 5 Pukte) Bereche Sie I A ds V ) 7) über de Teil der Fläche z 9 x 9y, der über der x, y)-ebee liege. Hier bezeichet z fx, y) eie Parametrisierug der zwei-dimesioale Fläche, d.h. Pukte x, y, z) R 3 die dieser Gleichug geüge liege auf der Fläche. Der Teil der Fläche mit z > ist mit A bezeichet. Das Vektorfeld ist gegebe als V xye x + x x)e y x z e z. Wir bereche das Itegral mit Hilfe des Stokessche Satzes I ds V ) dr V, 8) A A

4 wobei A de Rad der Fläche A bezeichet. Dieser Rad liegt bei z ud beschreibt eie Ellipse x + 9y 9. Wir köe de Weg der die Ellipse etgege des Uhrzeigersis durchläuft daher parametrisiere als a cos t a si t rt) b si t ṙt) b cos t, 9) wobei t [, π], a 3 ud b. Wir erhalte also I π ṙt) V rt)) π Das Itegral der erste beide Terme verschwidet I I π π cost) si t) si 3 t) π + π cos 3 t) sit) cos t) π π Itegratio des dritte Terms ergibt das Resultat ) a b cost) si t) + a b cos 3 t) ab cos t). 3) si t) cost) I I 3) si t) cost) I. 3) I abπ 6π. 33) 4. Halber Loopig Pukte) Ei kleies Objekt der Masse m kg wird aus der Höhe h auf eier schiefe Ebee losgelasse ud gleitet ohe Reibug hiab. Die Rampe ist ohe Kate mit der horizotale Ladefläche eies Wages der Masse M verbude siehe Abb.). Der Wage besitzt i der Mitte eie halb-zylidrische Oberfläche mit Radius R.36 m. Das kleie Objekt erreicht de höchste Pukt des Halbzyliders ud stoppt dort. Vo dort aus fällt es vertikal im freie Fall heruter ud berührt schliesslich de Wage geau a der Kate. Verachlässige Sie Reibug i diesem Problem. a) Was ist die miimale Läge L des Wages? Es gilt Impulserhaltug i horizotaler Richtug, da keie extere Kräfte etlag dieser Richtug existiere. Daher gilt mv MV, 34) wobei v gh die Geschwidigkeit der kleie Masse ist we sie auf de Wage trifft ud V die Geschwidigkeit des Wages bezeichet, achdem die kleie Masse de höchste Pukt des Loopigs erreicht hat. Dazwische wird der Impuls vo der kleie Masse auf de Wage übertrage, da der Loopig auf die kleie Masse eie Normalkraft ausübt ud ach actiore-actio) die Masse auf de Loopig eie ebesolche i etgegegesetzter Richtug. Die miimale Läge des Wages korrespodiert dabei zu dem Fall, i dem V miimal ist, d.h. auch v miimal ist. De die Zeit T, die die kleie Masse im freie Fall beötigt um vom obere Ede des Loopigs zurück auf die Ladefläche des Wages zu falle ist ach gt R gleich R T g. 35)

5 Damit die kleie Masse m a das obere Ede des Loopigs gelagt, muß für die Normalkraft N, die vom Loopig auf die Masse wirkt, gelte N. Nu sid wir am Fall miimaler Afagsgeschwidigkeit v iteressiert. Für de Fall gilt offesichtlich, daß die Normalkraft im höchste Pukt des Loopigs verschwidet NR). Dort wird die Zetripatalbeschleuigug also rei vo der Gravitatiosbeschleuigug erbracht. Es gilt also v rel R g, 36) wobei v rel vr) V R) die relative Geschwidigkeit vo kleier Masse ud Loopig ist. Wir wisse, daß die Masse im höchste Pukt stoppt, d.h. vr) ud daher V R g. 37) Daher gilt V Rg ud mit T R g erhalte wir für die miimale Läge L V T 4R.44 m. 38) b) Wie groß ist die Masse des Wages M? Ausser der Impulserhaltug gilt atürlich auch Eergieerhaltug keie Reibug im Problem). Die Eergie zu dem Zeitpukt i dem die kleie Masse auf de Wage trifft ist gleich der Eergie we die kleie Masse sich am höchste Pukt des Loopigs befidet mv MV + mgr. 39) Verwede wir Impulserhaltug v M m V so erhalte wir M m M m 4 M m + 7 4) M + 7 m.56 kg. 4) c) Aus welcher Höhe h über der Ladefläche wurde das kleie Objekt losgelasse? Mit v gh ud v M m V + 7 gr erhalte wir h M m R R + 7).8 m. 4) 8 Abbildug : Abbildug zu Aufgabe 4.