Abb. 1: Woher kommen die schwarzen Quadrate?

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1 Has Walser, [ ], [ ] Umögliche pythagoreische Dreiecke Idee: Chr. Z., B. 1 Schwarze Quadrate Woher komme die beide schwarze Quadrate? Abb. 1: Woher komme die schwarze Quadrate? Sachverhalt Es gibt kei pythagoreisches Dreieck mit ugerade Katheteläge a ud b. I höhere Dimesioe sieht das uterschiedlich aus. 3 Beweis Wir köe de Beweis auf zwei Arte darstelle. 3.1 Modulo 4 Sei a = m +1 ud b = +1. Da ist:

2 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke / 7 a + b = 4m + 4m = 4( m + m + + ) + (1) Es ist also a + b mod 4. Das ka keie Quadratzahl sei, da Quadratzahle bei Divisio durch 4 ur die Reste 0 (gerade Quadratzahl) oder 1 (ugerade Quadratzahl) habe köe. 3. Halbzahligkeit Wir köe de Beweis auch führe, idem wir die beteiligte Zahle halbiere. Die Kathete a ud b sid da echt halbzahlig. I der Dezimaldarstellug ede sie auf Pukt füf. Ihre Quadrate ede auf Pukt zwei füf, die Summe der Quadrate auf Pukt füf. Dies ist weder das Quadrat eier gaze Zahl och das Quadrat eier echte Halbzahl. 4 Im Raum Das räumliche Aalogo zum rechtwiklige Dreieck ist das Orthoschem (Abb. ). s c a b Abb. : Orthoschem Das ist ei uregelmäßiges Tetraeder mit drei aufeiaderfolgede paarweise sekrechte Kate, die wir mit a, b, c bezeiche. Für die lägste Tetraederkate s gilt da: s = a + b + c () Wir habe u eie zur Ebee aaloge Sachverhalt: Es gibt kei pythagoreisches Orthoschem mit ugerade Kate a, b, c ud gazzahligem s.

3 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke 3 / 7 Es ist ämlich: a + b + c = ( m +1) + ( +1) + ( o +1) ( ) + 3 = 4 m + m o + o (3) Das ka keie Quadratzahl sei. 5 Höhere Dimesioe Im 4d-Raum ist es aber gaz aders. Das eifachste pythagoreische Orthoschem mit a + b + c + d = s (4) ergibt sich durch = (5) Die Tabelle 1 gibt eiige weitere Lösuge. a b c d s Tab. 1: Im 4d-Raum Für de 5d-Raum gibt es kei Beispiel. Um das eizusehe, müsse wir modulo 8 reche. Die ugerade Zahle habe bei Divisio durch 8 die Reste 1, 3, 5 oder 7. Ihre Quadrate habe bei Divisio durch 8 immer de Rest 1. Die Summe über die füf

4 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke 4 / 7 Quadratzahle hat daher bei Divisio durch 8 de Rest 5 ud ka keie Quadratzahl sei. Für die Dimesioe 6 ud 7 gibt es keie Lösuge. Der Ausschluss erfolgt aalog zu de Dimesioe ud 3. Für die Dimesio 8 gibt es Lösuge. Die Tabelle gibt eiige Lösuge a. a b c d e f g h s Tab. : Im 8d-Raum Für die Dimesio 9 gibt es ebefalls Lösuge (Tab. 3). a b c d e f g h i s Tab. 3: Im 9d-Raum

5 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke 5 / 7 6 Allgemei Zu gegebeem > 1 suche wir ugerade Zahle u 1,..., u, dere Quadratsumme ebefalls eie Quadratzahl ist: u k = s, s! (6) Wir forme etwas um. Mit u k = m k 1 erhalte wir: u k = ( m k 1) k = 4 m k m k + (7) Der Term (7) hat bei Divisio durch 4 deselbe Rest wie. Wir mache daher eie Falluterscheidug je ach dem Rest vo bei Divisio durch kogruet zu 0 modulo 4 I diesem Fall gibt es immer eie Lösug. Wir setze = 4p ud köe mit de ugerade Zahle u 1 =! = u 1 = 1, u = p 1 (8) arbeite: u k 1 = 1 = 4 p 1 + ( p 1) = ( 1) + ( p 1) ( ) = 4 p = p ( ) + 4 p 4 p +1 ( ) (9) Die Tabelle 1 ud zeige aber, dass es och weitere Lösuge gebe ka. 6. kogruet zu 1 modulo 4 Wir mache eie Uterfalluterscheidug modulo 8. Zahle, die kogruet zu 1 modulo 4 sid, sid modulo 8 kogruet zu 1 oder zu kogruet zu 1 modulo 8 Wir zeige, dass es zu kogruet zu 1 modulo 8 immer eie Lösug gibt. Wir schreibe: = 8m +1, m = 1,,... (10)

6 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke 6 / 7 ud: p m = ( ) + q, p = 1,,3,..., q = 1,,..., p (11) Die Tabelle 4 illustriert, dass wir so tatsächlich alle beötigte Werte für m erhalte: p \ q Tab. 4: Werte für m Nu wähle wir die erste p q ugerade Zahle als 3, die restliche als 1. Zu zeige ist: ( p q) 3 + ( ( p q) ) 1 = s (1) Für de Term liks erhalte wir uter Eisetze vo (10) ud (11): ( ) + 8 p 9 p q ( (( ) + q) ) +1 p q ( ) = 9 p 9q p p 1 ( ( ) + q ) +1 p + q = 9 p 9q + 4 p 4 p + 8q +1 p + q = 4 p + 4 p +1 = p +1 ( ) (13) Somit ist der Term liks ei Quadrat. Dies war zu zeige.

7 Has Walser: Umögliche pythagoreische Dreiecke 7 / kogruet 5 modulo 8 Ist kogruet zu 5 modulo 8, da ist die Summe (7) kogruet zu modulo 8, also kogruet zu 5 modulo 8. Dies ka keie Quadratzahl sei. 6.3 kogruet zu oder zu 3 modulo 4 Der Term (7) ka keie Quadratzahl sei, da Quadratzahle bei Divisio durch 4 ur die Reste 0 oder 1 habe köe. 7 Zusammefassug Lösuge gibt es geau für kogruet zu 0 modulo 4 ud für kogruet 1 modulo 8. Der Fall = 1 ist trivial. Zusammegefasst: Lösuge geau für kogruet zu 0, 1 oder 4 modulo 8. 1, 4, 8, 9, 1, 16, 17, 0, 4, 5, 8, 3, 33,... (14)