Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Lösungen 2: Binomialreihen, Exponential- und Logarithmusfunktion

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1 Uiversität Zürich, 3. September 0 Vorurs Grudlage für das Mathematistudium Lösuge : Biomialreihe, Expoetial- ud Logarithmusfutio Lösug zu Aufgabe Seie x, y > 0 ud a > 0. Da gilt: a log a z z für alle z > 0. Dies folgt diret aus der Defiitio. Uter Verwedug des Potezgesetzes öe wir also schliesse: a log a (x y x y a log a x a log a y a log a xlog a y. Wir wede log a auf diese Gleichug a ud bemere, dass auf der Defiitio des Logarithmus log a a z z für beliebige z > 0 gilt. Daraus folgt u aber log a (x y log a x log a y. Lösug zu Aufgabe Die behauptete Gleichug ist äquivalet zur Gleichug log a x log b a log b x. Um diese zu beweise, stelle wir fest, dass mit dem Potezgesetz folgt, dass b log a x log b a ( b log b a log a x a log a x x b log b x. Wie i der vorherige Aufgabe wede wir log b auf diese Gleichug a ud erhalte die Behauptug. Lösug zu Aufgabe 3 (i Wir müsse a ud b so wähle, dass a b ud wir a ee. Die offesichtliche Wahl ist a b. Mit der Formel erhalte wir da 3. We wir eie Vermutug habe, was die richtige Lösug ist, so öe wir eie bessere Approximatio beomme. Dazu wähle wir a ( 3 ud b a 4. Da ergibt die Formel b a b a a Nu öte wir iterativ vorgehe ud a ( 7 ud b a setze. (ii Es ist a. Wir begie mit x 0. Da ergibt die Iteratiosvorschrift: x 3, x , x oder i Dezimalzahle x, 5, x, 4 6, x, I der Tat sid die Methode (i ud (ii idetisch. Setze wir ämlich v a ud v b i die Formel aus (i ei, so ist die rechte Seite gerade v v. Wir sehe also, dass die Näherug aus (i gerade die Iteratiosvorschrift wiedergibt. (iii Um das verallgemeierte Biomialtheorem zur Wurzelberechug azuwede, sid eiige Bemeruge vorazustelle: Der Satz im Sript sagt ( x a a x a(a x a(a (a 3 x 3...,

2 wobei a Q ud x <. Wolle wir u approximiere, so wäre der atürliche Asatz, x ud a zu wähle. Nu ist aber da x icht echt leier als. Der Satz a also icht diret agewedet werde. I der Tag ist es aber so, dass der Satz auch richtig ist für x, falls a > 0. Mit der Wahl a ud x liest sich die Formel folgedermasse Summiere wir u zuerst ur eie Summade, da zwei, drei ud so weiter, so ergibt das die Werte, 3, 8, 3 6, 79 8, oder i Dezimalzahle, 5, 375, 4375, , (iv Um Wurzel mit Hilfe vo Logarithme zu berechee, verwede wir eies der Logarithmegesetze, ämlich log x a a log x. Für a erhalte wir daher log( x log(x / log x. Kee wir also de Logarithmus vo x, öe wir deeige vo x bereche. I der Logarithmetafel gehe wir also wie folgt vor: Zuerst lese wir de Wert des Logarithmus vo aus der Tafel ab. Dieser ist 0, 300. (Die Zahl i der Spalte N sowie die Ziffer über de restliche Spalte ergibt die Zahl a, dere Logarithmus gesucht ist, bis auf drei Nachommastelle. I userem Falle also, 000 oder ebe 000. Der Logarithmus wird da folgedermasse abgelese. Die Zahl uter der ächstobere horizotale Liie bezeichet die erste beide Nachommastelle des Logarithmus. Die beide weitere fide sich da a der etsprechede Stelle (Spalte ud Zeile, die durch a festgelegt wird. Bemere, dass der Logarithmus für Zahle i [,] eweils i [0, liegt! Nach userer obige Formel halbiere wir diese Wert. Dies ergibt 0, 505. Schliesslich suche wir i der Tabelle die Spalte ud Zeile, die die Zahl festlegt, dere Logarithmus de Wert 0, 505 hat. Der Wert wird so icht geau aufgeführt i der Tabelle, die beide ächste sid 0, 504 ud 0, 508. Dies sid die Logarithme der Zahle, 44 ud, 45. Wir öe also folger, dass zwische diese Werte liegt. Lösug zu Aufgabe 4 Nehme wir a, es wird ei Kapital vo CHF für ei Jahr agelegt zu eiem Zissatz vo 00% (das Beispiel ist icht realistisch, erleichtert aber die Argumetatio. Nu sid verschiedee Modelle debar: Werde die Zise am Ede des Jahres ausbezahlt, so hat ma da ei Kapital vo ;

3 Werde eweils ach eiem halbe Jahr 50% Zise ausbezahlt, so hat ma ach eiem Jahr ei Kapital vo ( ( ; Werde die Zise eweils ach eiem -e Teil des Jahres der -te Ateil der 00% Zise ausbezahlt (z.b. 5% viertelährlich, so hat ma ach eiem Jahr ei Kapital vo (. Würde die Zise u otiuierlich ausbezahlt, so muss ma strebe lasse ud sieht, dass das Kapital ach eiem Jahr gerade die Eulersche Zahl e ist. Für de Fall, dass das Startapital icht soder K ud der Zissatz icht 00% (also soder r ist (r > 0 bedeutet Wachstum, r < 0 bedeutet Abahme, ergibt sich mit aaloge Argumete wie obe die Formel für das Kapital ach eiem Jahr: Ke r. Da otiuierliche Verzisug icht im Sie der Bae ist, ommt der Expoetialfutioe bei der Modellierug (fast otiuierlicher Wachstumsprozesse i de Naturwisseschafte eie beiahe och grössere Bedeutug zu als im Zusammehag mit der Ziseszisrechug. Lösug zu Aufgabe 5 Zwei Pute sid bemereswert: Der Logarithmus war historisch icht ur wege des Zusammehags mit der Expoetialfutio iteressat, soder auch weil er gerade die Fläche uter der Hyperbel beschreibt. I der Schule ud Uiversität wir das Itegral x a dx berechet, idem ma de Hauptsatz der Aalysis beutzt, der sagt, dass die Itegratio i gewisser Hisicht die Umehrug der Ableitug ist. We ma also weiss, dass die Ableitug vo x a gerade ax a ist, so a ma das Itegral (geauer: eie Stammfutio fide, idem diese Formel umehrt, also eie Stammfutio vo x a ist gegebe durch xa a falls a. Historisch sid solche Itegrale (Fläche aber scho berechet worde, bevor die Differetialrechug etwicelt wurde. Dies zeigt der Satz vo Fermat sehr schö. Lösug zu Aufgabe 6 (a Der Beweis folgt diret aus der Defiitio, de m! m!( m!! ( m!( ( m!. m (b Auch hier a ma diret aus der Defiitio schliesse, dass! m m (m!( (m!! m!( m!!m!( m m!( (m! m!( m! (! m!( m!. m (c Wir beweise die Aussage mittels Idutio über. Idutiosafag: Sei 0. Da ist 0 ( ( Also stimmt die Aussage für 0. 3

4 Idutiosschluss: Wir ehme a, die Aussage sei richtig für ud wolle zeige, dass sie da auch für ( richtig ist. Es gilt 0 0 [ ] 0 0, wobei wir beim letzte Schritt (ii vo Aufgabe 5(b verwedet habe. Mit der Idutiosaahme (wir wede sie zweimal a erhalte wir (. (d Wir beweise die Aussage mittels Idutio über m. Idutiosafag: Sei m 0. Für ede beliebige atürliche Zahl gilt da m ( 0 ( ( ( m. Also ist die Aussage richtig für m 0. Idutiosschluss: Wir ehme a, die Aussage sei richtig für m ud wolle zeige, dass sie da auch für (m richtig ist. Mit der Idutiosaahme ud (ii vo Aufgabe 5(b sehe wir, dass m 0 gilt, was die Aussage beweist. Lösug zu Aufgabe 7 m m 0 m m ( m! (a Diese Aussage zeigt, dass m!( m! immer eie atürliche Zahl ist. Also sid die Biomialoeffiziete atürliche Zahle. Dies ist auch aus ihrer Iterpretatio als Azahl Möglicheite, m Elemete aus eier -elemetige Mege auszuwähle, ersichtlich. (b Wir beweise die Aussage mittels Idutio über. Idutiosafag: Sei 0. Also ist auch m 0. Ud somit ist m!( m!!. Isbesodere also gilt m!( m!!. Idutiosschluss: Wir ehme a, die Aussage sei richtig für ud wolle zeige, dass sie da auch für ( richtig ist. Zuerst bemere wir, dass die Aussage für m 0 lar ist. Daher öe wir aehme, dass m. Ausserdem ist auch der Fall m 4

5 lar, so dass wir zudem aehme öe, dass m. Wir habe (!!( m!m. Wir zeige u, dass m!( m! beide Summade teilt. Dazu bemere wir, dass m!( m! m(m!( m! gilt. m!( m! teilt ach Idutiosaahme (ud da m!. Wede wir die Idutiosaahme mit m a, so sehe wir, dass (m!( m!! gilt. Der letzte Schritt ist ur möglich, da m. Also erhalte wir m!( m!( m!( m ud m(m!( m!!m. Damit teilt m!( m! beide Summade. Damit ist der Beweis beedet. Lösug zu Aufgabe 8 Sei die Azahl der Bücher i der Bibliothe. Da stehe i edem Buch höchstes ( Wörter. Wir wede das Schubladeprizip a. Wir müsse dazu Bücher i die ( Schublade verteile. Eie Schublade muss also zwei Bücher ethalte, das heisst, zwei Bücher ethalte gleichviele Wörter. Das darf aber icht sei. Daher muss ei Buch leer sei, ud de Ihalt dieses Buches ee wir. 5