Das Pascalsche Dreieck

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1 Das Pascalsche Dreiec Falo Baustia Klassestufe 9 ud Das Pascalsche Dreiec: Die erste vier Zeile des Pascalsche Dreiecs sid: Aufgabe: Setzt die ächste Zeile logisch fort. Lösug: Jeder Eitrag des Pascalsche Dreiecs ergibt sich als Summe der beide darüber gelegee Eiträge. Das Dreiec ist symmetrisch. Kurzer historischer Abriss: Blaise Pascal war ei frazösischer Mathematier, der im 7. Jahrhudert lebte. Er beschäftigte sich u.a. auch mit Physi ud christlicher Philosophie. Nebe dem Pascalsche Dreiec sid beispielsweise auch die physialische Eiheit des Drucs ud eie Programmiersprache ach ihm beat. I seiem Buch Traité du triagle arithétique (Abhadlug über das arithmetische Dreiec) sammelte er Ergebisse zu dem Dreiec, das da später ach ihm beat wurde, ud verwedete es für wahrscheilicheitstheoretische Problemstelluge. Erste Darstelluge eies ähliche Dreiecs gab es bereits im 0. Jahrhudert i Idie ud Persie. Das zum Pascalsche Dreiec idetische aritmetische Dreiec fidet sich auch i eiem chiesische Buch aus dem. Jahrhudert. Biomischer Lehrsatz - Teil : Aufgabe: Berechet (a+b), (a+b) ud (a+b) 4. Lösug: Es gilt (a + b) a + ab + b (biomische Formel), (a + b) (a + b)(a + b) a +a b+ab +b ud (a+b) 4 (a+b)(a+b) a 4 +4a b+6a b +4ab +b 4. Die Formel für (a + b) lässt sich diret aus dem Pascalsche Dreiec ablese. Um die Formel (biomischer Lehrsatz oder verallgemeierte biomische Formel) explizit aufschreibe zu öe führe wir die sogeate Biomialoeffiziete ei.

2 Biomialoeffiziete - Teil : Die Eiträge des Pascalsche Dreiecs etspreche ( ) de sogeate Biomialoeffiziete aus der Kombiatori. Der Biomialoeffiziet (gesproche: über ) gibt a wie viele -elemetige Teilmege eie Mege mit uterschiedliche Elemete hat. Wir öe us z.b. eie( Ure ) mit uterschiedliche Kugel vorstelle aus der wir Kugel ziehe. Der Biomialoeffiziet gibt da a wie viele Möglicheite es gibt, we us die Reihefolge der gezogee Kugel egal ist. Es iteressiert ud also ur welche Kugel wir gezoge habe ud icht welche Kugel wir zuerst (a zweiter Stelle ( ) u.s.w.) gezoge habe. Ei Beispiel hierfür wäre die Lottoziehug mit 6 aus Hier gibt es 9886 Möglicheite. 6 ( ) ( ) 4 Aufgabe: Überlegt euch die Werte vo, ud ( 5 ). ( ) ( ) 4 Lösug: Es gilt, 6 ud ( 5 ) 0. Für das Pascalsche Dreiec gilt: ( 4 0 ( 0 ( ) 0) ( ( 0 ) ( ) ) ( ( 0 ) ( ) ( ) ) ( ) 0 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ) ( 4 4) Der Biomialoeffiziet etspricht also dem ( + )-te Eitrag i der -te Zeile (begied mit der 0-te Zeile). Die Bildugsvorschrift des Pascalsche Dreiecs lässt sich da als ( ) ( ) ( ) schreibe. Diese Formel sowie weitere Eigeschafte der Biomialoeffiziete (ud damit des Pascalsche Dreiecs) werde wir später mit der Formel des Biomialoeffizietes achreche. Biomischer Lehrsatz - Teil : Der biomische Lehrsatz (uter Verwedug der Biomialoeffiziete) lautet (a+b) a + 0 a b+ ( ) ( ) a b + + ab + b 0 a b. Das Summezeiche ist eie Kurzschreibweise ud bedeutet, dass wir für alle atürliche Zahle vo 0 bis die etsprechede Ausdrüce aufsummiere. Der Satz a mit vollstädiger Idutio über bewiese oder ombiatorisch hergeleitet werde. Beweissizze: Der Idutiosafag ist eifach: (a+b) a b ( ) 0 a 0 b 0. 0

3 Der Idutiosschritt futioiert wie folgt: 0 (a+b) + (a+b)(a+b) (a+b) a b a + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + + a b+ a b a b + ab 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + a b+ a b + a b ab + b + 0 ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] ( ) a a b+ + a b ( ) ( ) ( ) ( ) a + + a b+ a b b ( ) a b a b + Eie direte Folgerug aus dem biomische Lehrsatz ist, dass die Zeilesumme des Pascalsche Dreiecs die Zweierpoteze sid. Aufgabe: Zeigt, dass die Zeilesumme im Pascalsche Dreiec geau de Zweierpoteze etspreche. Lösug: Der biomische Lehrsatz liefert Dreiecszahle: 0 0 b + (+). Aufgabe: We wir ei Dreiec mit Kugel wie folgt o o o o o o o o o o lege, wie viele Kugel beötige wir da für ei Dreiec mit der Seiteläge vo 00 Kugel? Lösug: Wir beötige 5050 Kugel. Dies etspricht der Summe der erste 00 atürliche Zahle. Ma a zum Beispiel die Methode vo Gauß verwede: Die erste Diagoale des Pascalsche Dreiecs besteht ur aus Eise. Die zweite Diagoale besteht aus de atürliche Zahle. Dies folgt aus der Defiitio des Dreiecs aber auch aus de Biomialoeffiziete. Die dritte Diagoale etspricht de sogeate Dreiecszahle, die wir aus der vorige Aufgabe ee. Es gilt () ++ + (+) + +. Die vorletzte Gleichheit erhalte wir später sehe, we wir die Formel für die Biomialoeffiziete eelere. Die letzte Gleichheit etspricht lediglich der Symmetrie des Pascalsche Dreiecs.

4 Aufgabe: Bestimmt aalog die Tetraederzahle für die Seiteläge,, 4. Lösug: Die Tetraederzahle sid T() 4, T() 0 ud T(4) 0. Die vierte Diagoale etspricht de Tetraederzahle T() () (+)(+) 6 + +, die wir für eie Tetraeder astelle des Dreiecs erhalte würde. Für höhere Dimesioe gibt es da och die reguläre figurierte Zahle der Ordug r ( ) ( ) +r +r R(r,) R(r,). r Jede Diagoale etspricht also dem Pedat der Dreiecszahle i eier bestimmte Dimesio. Die Fiboacci-Zahle: Aufgabe: Gegebe sei ei Paar Kaiche. Es gelte folgede Gesetzmäßigeite. Jedes Paar Kaiche wirft pro Moat ei weiteres Paar Kaiche.. Ei eugeborees Paar beommt erst im zweite Lebesmoat Nachwuchs.. Kei Tier verlässt die Populatio oder ommt dazu. Wie etwicelt sich die Populatio i de erste Moate? Lösug: We wir mit eiem trächtige Paar afage, erhalte wir die Zahlefolge,,, 5, 8,,, asoste die Zahlefolge,,,, 5, 8,,. Die Folge bezeichet ma als Fiboacci-Zahle. Die Fiboacci-Zahle tauche i der Natur häufiger auf, das heißt auch i realistischere Aweduge. Die Folge wächst sehr schell. Es lässt sich auch eie explizite Formel bestimme. Mit F(0) ud F() gilt F() 5 [( + ) 5 ( ) ] 5. Mit Hilfe des Bioomische Lehrsatzes öte ma die Formel für beliebige überprüfe. Die Fiboacci-Zahle öe ebefalls aus dem Pacalsche Dreiec abgelese werde Catalazahle: Ei ovexes Vierec lässt sich durch Diagoale auf zwei Arte i Dreiece uterteile. Für ei ovexes Füfec gibt es füf Möglicheite. Die Azahl a Triagulieruge et ma Catalazahle. Diese spiele eie wichtige Aufgabe i der Kombiatori.

5 Aufgabe: Wie viele Triagulieruge gibt es für ei ovexes Sechsec? Lösug: Es gibt 4 Triagulieruge des ovexe Sechsecs. Die explizite Formel für die Catalazahle bzw. die Triagulieruge im ovexe (+)-Ec ist C() ( ) ( ) ( ). + + Der zweite Teil der Formel garatiert, dass das Ergebis gazzahlig sid. Zusätzlich öe wir damit die Catalazahle als Differeze aus dem Pascalsche Dreiec abgelese. C(0) C() C() C() Eie adere Umformulierug der Formel liefert die Catalazahle wie folgt: Teilbareitsmuster: We wir im Pascalsche Dreiec alle Zahle mariere, die durch, oder eie adere Zahl teilbar sid, da etstehe dabei iteressate Muster. Isbesodere fällt auf, dass sich ausschließlich Dreiece mit eier waagerechte Grudseite ud eier Ece, die ach ute Zeigt, bilde Aufgabe: Warum etstehe diese Dreiece? Lösug: Nehme wir a, dass wir mehrere ebeeiaderliegede Eiträge habe, die durch eie atürliche Zahl teilbar sid. Da führt die Bildugsvorschrift für das Pascalsche Dreiec dazu, dass geau diese Dreiece etstehe, de we zwei ebeeiaderliegede Eiträge durch teilbar sid, da ist auch ihre Summe durch teilbar. We der Ecput durch teilbar ist ud der daebeliegede Put icht, da ist die Summe auch icht durch teilbar.

6 Biomialoeffiziete - Teil : Wir wolle jetzt schrittweise die explizite Formel der Biomialoeffiziete herleite. Aufgabe: Wie viele Kombiatioe gibt es uterschiedliche Elemete azuorde? Dies etspricht dem Ziehe aller Kugel aus eier Ure mit uterschiedliche Kugel, wobei auf die Reihefolge geachtet wird. Lösug: Es gibt ( )... Kombiatioe. Wir führe als Kurzschreibweise die Faultät atürlicher Zahle ei!... ( ) ud defiiere 0!. Es gilt (+)! (+)!. Aufgabe: Wie viele Kombiatioe gibt es, we wir ur der Kugel ziehe ud dabei auf die Reihefolge achte? Lösug: Es gibt ( )... ( +)! ( )! Kombiatioe. Nu habe wir alles zusamme, was wir für die Formel des Biomialoeffiziete beötige. Aufgabe: Wie lautet die Formel für de Biomialoeffiziete ( ) (-maliges Ziehe aus Elemete bei Verachlässigug der Reihefolge)? Lösug: Die Formel für de Biomialoeffiziete ergibt sich als Quotiet der vorige beide Lösuge ( ) /!!! ( )! ( )!!. Viele der Eigeschafte des Pascalsche Dreiecs ud die dari ethaltee Werte lasse sich mit dieser Formel achreche, z.b. die die Dreiecszahle () (+) ( )! ( )!!. Aufgabe: Wie lautet die Symmetrieeigeschaft für das Pascalsche Dreiec, we wir sie i Biomialoeffiziete ausdrüce? Zeigt die Symmetrieeigeschaft ud Additioseigeschaft ( ) ( ) ( ) des Pascalsche Dreiecs mit Hilfe der Biomialoeffiziete. Lösug: Die Symmetrie ( ) ( ) + ( + ) folgt diret aus der Defiitio, für die Additio gilt! ( )!! +! ( )!( +)! +! ( )!( +)! +! ( )!( +)! +! ( )!( +)! ( ) (+)! + ( )!( +)!. +

7 Aufgabe: Beweist die Formel + ( ) ( ) ( ), + die wir zum Ablese der Catalazahle verwedet habe. Lösug: Es gilt ( ) + ()! +!! ( ) ()! ()! +!!!! ()! ( )!(+)! ( ) ( ). + Aufgabe: Wir erier us, dass die Catalazahl C() die Azahl a Triagulieruge des Kovexe (+)-Ecs beschreibt. Wie lautet die zweite Darstellug der Catalazahle (für ), die wir verwedet habe um die Werte aus dem Pascalsche Dreiec abzulese, we wir sie Biomialoeffiziete ausgedrüce? Beweist die Formel. Lösug: Die Formel lautet Wir folger ( ) Harmoisches Dreiec: C() ( ) + ( ) ( ). + ( )! ( )!( )! ( )! ( )!(+)! ( ) ( )( ) ( )! (+) ( )!( )! 4 ( )! (+)( )( )( )!( )! ( )( )! ( )! + ( )!! + ( )!! ()! ( ) C(). +!! + Das harmoische Dreiec geht aus dem Pascalsche Dreiec hervor, idem ma vo jedem Wert de Kehrwert bildet ud da durch die um eis erhöhte Zeileummer dividiert Im harmoische Dreiec ist jeder Eitrag die Summe der beide daruter liegede Zahle. Aufgabe: Beweist diese Zusammehag. Lösug: Aalog zum Pascalsche Dreiec bezeiche wir die Eiträge des harmoische Dreiecs mit H(, ), wobei H(, ) de (+)-te Eitrag i der -te Zeile beschreibt (begied mit der 0-te Zeile). Es gilt ach Bildugsvorschrift ud wir wolle zeige, dass H(,) + [( )] H(,) H(+,)+H(+, +)

8 gilt. Wir folger H(+,)+H(+, +) [( )] + + [( )] ( +)!! + ( )!( +)! + (+)! + (+)! ( )!! (( +)+( +)) (+)(+)! ( )!! (+)! ( )!! [( )] H(,). +! +