Über die Verteilung der Primzahlen

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1 Über die Verteilug der Primzahle Scho dem juge Carl Friedrich Gauss drägte sich die Vermutug auf, dass die Azahl π( aller Primzahle p uterhalb der positive Schrae dem Gesetz π( log lim = 1 gehorcht. (Mit log bezeiche wir hier ud später de atürliche Logarithmus. Der Beweis dieses Primzahlsatzes gelag erst ei Jahrhudert später, ud auch heute och ist der Zugag zu ihm aspruchsvoll. Eie Meilestei am Wege errichtete Tschebyscheff um 1850 durch die Abschätzug: Satz 1. Es gibt positive Kostate a ud A derart, dass für alle reelle Zahle gilt a log π( A log. Dieses Resultat vo Tschebyscheff ud zwei verwadte Ergebisse sid elemetar ud im Vergleich mit dem Primzahlsatz leicht zugäglich. Wir werde oret a = 1 log ud A = 6 log begrüde. Die uedlich viele Primzahle sid der Größe ach i atürlicher Reihefolge p 1 =, p = 3, p 3 = 5,... geordet. Aus Satz 1 erhält ma eie Vorstellug vo der Größe der -te Primzahl p : Satz. Es gibt positive Kostate a ud A derart, dass für alle atürliche Zahle gilt a log p A log. Es lässt sich leicht feststelle, dass i der Primzahlfolge (p 1 beliebig große Lüce p N+1 p N auftrete. Beispielsweise ist eie der aufeiader folgede atürliche Zahle m + p ( m p =1 eie Primzahl, da m ud damit auch die Summe durch eies der p teilbar ist. Ides trete große Lüce erst spät auf. Dies ergibt sich sofort aus dem ebefalls vo Tschebyscheff um 1850 bewiesee Satz 3. Zu jeder atürliche Zahl gibt es eie Primzahl p mit < p. (Das Gleichheitszeiche rechts tritt atürlich ur im Fall = 1 ei. Der Satz 3 trägt de irreführede Name Bertradsches Postulat, weil Bertrad zuvor die dort formulierte Aussage bis = achgeprüft hatte ud, wie Tschebyscheff zeigte, zu Recht aahm, sie sei stets richtig. 1

2 Abschätzug vo π( ach obe Eie gute obere Abschätzug vo π( ergibt sich durch de Biomialoeffiziete (. Er ist der größte Summad i der + 1-gliedrige Summe (1 + 1 = m=0 (. m Da auch die Summe des erste ud letzte Gliedes durch ( beschrät ist, gelte die Ugleichuge (. (1 Durch Iterpretatio des Biomialoeffiziete ( als Azahl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege sieht ma, dass ( eie atürliche Zahl ist. Schließlich zeigt die Bruchdarstellug ( = (! (!! zusamme mit der Eideutigeit der Zerlegug atürlicher Zahle als Produt vo Primzahlpoteze, dass das Produt <p p aller Primzahle p, die größer als ud höchstes gleich sid, ei Teiler vo ( wird. Dies ergibt π( π( <p p ( ud ach Logarithmiere π( π( log / log. Daraus ergibt sich für die -Poteze die Abschätzug: π( 3. Zu ihrem Nachweis betrachte wir zuächst die leie : = / = /5 π( = Ist 5, so folgt aus der Gültigeit der Behauptug für die Abschätzug π( +1 π( = ,

3 da gilt. Das ist die Behauptug für +1 statt. Nu verwede wir die Tatsache, dass die Futio f( := / log eie streg mooto wachsede bijetive Selbstabbildug des Itervalls e < < defiiert. Gilt 4 < +1, so wird π( π( log log 6 log log. Offesichtlich aber gilt auch im Itervall 4 diese Abschätzug π( 6 log log (3 Abschätzug vo π( ach ute Für die Abschätzug ach ute wird die aoische Fatorisierug des Biomialoeffiziete ( heragezoge. Wir begie mit der aoische Zerlegug der Faultäte. Propositio 1. Für jede atürliche Zahl > 1 ud jede Primzahl p ist der p-epoet i der aoische Zerlegug vo! gegebe durch v p (! = p m. m=1 Beweis. Es bezeichet die größte gaze Zahl, welche die reelle Zahl icht übertrifft. Für Idizes m > log / log p verschwide die zugehörige Summade der Reihe. Sost sid vo de Fatore im Produt! = =1 geau /p Fatore durch p teilbar: = 1 p, p,... /p p. Vo diese ethalte de Fator p midestes zweifach geau /p Fatore = 1 p, p,..., /p p. Das geht so weiter: Geau /p m Fatore, ämlich die Vielfache vo p m, sid midestes durch p m teilbar. Die Primfatorisierug des Biomialoeffiziete ( lässt sich aufgrud der Formel ( mittels der Propositio 1 agebe: ( = p w p mit w p = m=1 ( p m p m. (4 Propositio. Für reelle hat stets de Wert 0 oder 1. Beweis. Als Futio vo besitzt die geate Differez die Periode 1. Daher braucht die Behauptug ur für 0 < 1 bewiese zu werde. Der zweite Summad verschwidet da, währed der erste Summad im Fall 0 < 1/ verschwidet, dagege im Fall 1/ < 1 de Wert 1 hat. 3

4 Jede der rude Klammer i der Summe (4 hat ach Propositio de Wert 0 oder 1, ud für m > log / log p verschwidet sie. Dies ergibt log w(p. (5 log p Aus der lie Ugleichug (1 folgt u durch Logarithmiere log( log( log log p log = π( log. log p p Damit habe wir die utere Abschätzug π( p log log( 1. Aus ihr a folgede Ugleichug abgeleitet werde: π( log log für alle. (6 Die rechte Seite ist als Futio vo im Itervall e mooto falled ud im Itervall e < mooto steiged. Bei = ud = 4 hat sie de Wert 1, bei = 16 de Wert. Daher geügt es, die Behauptug für > 16 zu beweise. Zu jedem dieser Art gibt es eie atürliche Zahl, für die gilt 16 < +. Da gilt ud daraus folgt log( + 1 log( = 1 log( 7 4 log 1 log, π( π( log (+1 log 1 log( log(+ log log. Die Größeordug der -te Primzahl p I diesem Teil wird Satz aus Satz 1 hergeleitet ud da wird Satz 3 bewiese. Wir begie mit der utere Abschätzug i Satz. Setzt ma = p i Satz 1, so ergibt sich = π(p A Daher ud wege p folgt p log p für alle. p 1 A log p 1 log (. (7 A 4

5 Die lie Abschätzug i Satz ist daher mit a = 1/A bewiese. Nu zur rechte Abschätzug. Durch f( := / log wird eie streg mooto steigede ud stetig differezierbare Selbstabbildug des Itervalls e < < gegebe. Wir bezeiche mit g die Umehrabbildug vo f. Sie ist beatlich ebefalls streg mooto steiged. Folglich ergibt sich aus /a p / log p, der lie Ugleichug vo Satz 1, ( p ( p = g g. (8 log p a Wir mache für g de Asatz g( = log h( mit eier gesuchte Futio h. Eisetze vo / log statt ergibt 1 = 1 ( ( ( ( log log log log h = 1 h. log log log log Die ubeate Futio h ist daher beschrät auf e < < durch die Ugleichuge 1 < h( (1 1/e 1 =. Somit folgt aus (8 umehr p a log ( a ( h a e e 1 A log für alle. (9 Wir wede us jetzt dem Nachweis des Bertradsche Postulates zu. Propositio 3. Für das Produt Θ( aller Primzahle p uterhalb der reelle Zahl 1 gilt stets Θ( := p p < 4. Beweis. Da die lie Seite auf de Itervalle < +1 ostat ist ud die rechte Seite strit mooto wachsed als Futio vo ist, geügt es, die Behauptug für atürliche Argumete = zu beweise. Offesichtlich ist Θ( < 4 für = 1,, 3. Wir verwede u de gazzahlige Biomialoeffiziete ( m+1 = m ( m+1 m+1 = (m+(m+3... (m+1 m! I der Etwiclug (1 + 1 m+1 = m+1 ( m+1 j=0 j ach der biomische Formel tritt er zweimal auf, woraus die Abschätzug ( m+1 m < m = 4 m resultiert. Adererseits ist ( m+1 m teilbar durch das Produt aller Primzahle p i de Greze m + p m + 1. Mithi folgt p < 4 m. ( m+ p m+1 5.

6 Nu wird Propositio 3 durch vollstädige Idutio bewiese. Ageomme 0 > 3 ud Θ( < 4 für alle < 0. Für de Fall, dass 0 gerade ist, gilt Θ( 0 = Θ( 0 1 < < 4 0 aufgrud der Idutiosvoraussetzug. Ist dagege 0 = m + 1 ugerade, so ist m + 1 < 0. Also ergibt sich aus der Idutiosvoraussetzug ud der Formel ( Θ( 0 = Θ(m + 1 p < 4 m+1 4 m = 4 0. m+ p m+1 Ageomme es gibt eie atürliche Zahl, für die eie Primzahl p die beide Ugleichuge < p erfüllt. Da ist offesichtlich 5 ud alle Primteiler vo ( sid beschrät durch 3. De Primzahle p im Itervall 3 < p habe die Eigeschaft < 3p p. Mithi ist w p = /p /p = = 0. Nach Formel (5 ist der p-potez-beitrag der Primteiler p zu ( beschrät durch p w p. Wir werfe u eie Blic auf Primteiler mit eiem Epoete w p > 1. Da ist p p wp, also gilt p. Da die Zahl dieser p atürlich durch beschrät ist, gewie wir mit der Formel (1 ud der Propositio 3 die Abschätzug w p >1 p wp w p =1 Durch Logarithmiere etsteht daraus p ( Θ(/3 ( 4/3. log 3(1 + log(. Da / log für > e mooto wächst, also die Folge log(/ ud log(/ mooto falle, ist die letzte Ugleichug für alle größere Zahle falsch, we sie für ei 0 icht stimmt. Beispielsweise für 0 = 9 = 51 steht lis 10 log ud rechts die leiere Zahl log. Uter de Primzahle 7, 13, 3, 43, 83, 163, 317, 631 ist jede folgede leier als das Doppelte der vorhergehede Primzahl. Daher gibt es auch uter de atürliche Zahle im Itervall eie der gesuchte Ausahmezahle. Also ist das Bertradsche Postulat bewiese. Literatur Hardy, G.H., Wright, E.M.: A Itroductio to the Theory of Numbers, fourth ed., Claredo Press, Oford 196 Leutbecher, A.: Zahletheorie Eie Eiführug i die Algebra, Spriger 1996 Scheid, H.: Zahletheorie, Wisseschaftsverlag, Maheim, Wie, Zürich 1991 ltb 6