Monte Carlo-Simulation

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1 Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil eisetzte, um die Wechselwirkug vo Neutroe mit Materie theoretisch vorherzusage. Die Bezeichug ist eie Aspielug auf de für Glücksspiele bekate Ort, da die Grudlage dieser Verfahre Zufallszahle sid, wie ma sie auch mit eiem Roulette-Rad erzeuge köte. Scho damals wurde eie gaze Reihe vo grudlegede Algorithme etwickelt, ud heute zähle Mote Carlo (MC)-Methode zu de wichtigste umerische (ud auch ichtumerische) Verfahre, die sich auf viele aturwisseschaftliche, techische ud mediziische Probleme mit großem Erfolg awede lasse. Dabei ist es gleichgültig, ob das Problem ursprüglich statistischer Natur war oder icht, soder ma wedet die Bezeichug auf alle Verfahre a, bei dee die Verwedug vo Zufallszahle eie etscheidede Rolle spielt. Ei Beispiel dafür ud eie der wichtigste Aweduge schlechthi ist die MC-Itegratio, d.h. die umerische Berechug hochdimesioaler Itegrale, die ja mit Zufall überhaupt ichts zu tu habe müsse. Wahrscheilichkeitstheoretische Grudbegriffe Zufallsvariable Ausgagspukt für wahrscheilichkeitstheoretische Betrachtuge sid die Begriffe (zufälliges) Ereigis ud Wahrscheilichkeit. Uter eiem Elemetarereigis ω versteht ma de mögliche Ausgag eier Messug, Beobachtug usw. (I de Naturwisseschafte verwede wir dafür ger de Begriff Experimet.) Die Gesamtheit der Elemetarereigisse bildet de Ereigisraum Ω. Teilmege A vo Ω, die i.a. mehr als ei Elemetarereigis ethalte köe, werde als Ereigisse bezeichet. So etspreche beim Würfel mit eiem Würfel die sechs mögliche Elemetarereigisse dem Auftrete eier bestimmte Augezahl, währed z.b. das Ereigis gerade Augezahl die Tatsache bezeichet, 2, 4 oder 6 Auge geworfe zu habe. Spezielle Ereigisse sid die leere Mege (das umögliche Ereigis) ud der gaze Ereigisraum (das sichere Ereigis). Etspreched der relative Häufigkeit, mit der sie bei eier große Azahl vo Wiederholuge des Experimets auftrete, defiiert ma für Ereigisse Wahrscheilichkeite P mit de Eigeschafte 0 P (A) 1 P ( ) = 0, P (Ω) = 1 P (A B) P (A) + P (B) Eie Zufallsvariable ist eie Abbildug = P (A) + P (B) we A B = x : Ω R 1

2 die jedem Elemetarereigis eie reelle Zahlewert x(ω) zuordet, z.b. die Körpergröße eier zufällig herausgegriffee Perso. Damit ist auch die Wahrscheilichkeit defiiert, daß x eie bestimmte Wert X aimmt, ämlich mittels Rückführug auf die ursprügliche Wahrscheilichkeite über dem Ereigsraum Ω P (x = X) = P ({ω x(ω) = X}) Ka die Zufallsvariable ur abzählbar viele diskrete Werte X 1, X 2,... aehme, so defiiert ma als Wahrscheilichkeitsverteilug vo x de Satz vo Zahle (Wahrscheilichkeite) für die da gilt p i = P (x = X i ) p i 0 p i = 1 i Ei aderer wichtiger Fall ist der, daß die Zufallsvariable kotiuierliche Werte i eiem Itervall oder auf der gaze reelle Achse aehme ka. Die kumulative Verteilugsfuktio F (X) ist da die Wahrscheilichkeit, daß x eie Wert kleier oder gleich X aimmt mit F (X) = P (x X) F ( ) = 0 ud F (+ ) = 1 We x ur Werte i eiem edliche Itervall aimmt, da werde diese Grezwerte atürlich scho am Rad des Itervalls erreicht. Dazwische ist F (X) eie mooto wachsede Fuktio F(x) x We F differezierbar ist, da läßt sich diese Fuktio als Itegral F (X) = P (x X) = 2 X dx f(x)

3 eier Wahrscheilichkeitsdichte f(x) darstelle, die f(x) 0 dx f(x) = 1 erfüllt. Für kleie dx ist f(x) dx äherugsweise gleich der Wahrscheilichkeit, daß die Zufallsvariable eie Wert im Itervall der Größe dx um x aimmt f(x) x Da sich die Behadlug vo diskrete ud kotiuierliche Zufallsvariable hauptsächlich dadurch uterscheidet, ob ma über Wahrscheilichkeite summiert oder über Wahrscheilichkeitsdichte itegriert, werde im folgede ur kotiuierliche Variable explizit betrachtet. Eiem Elemetarereigis köe auch zwei oder mehrere Zufallsvariable, x, y,..., zugeordet sei (z.b. Orts- ud Geschwidigkeitskompoete eies Gasmoleküls). Im Fall vo kotiuierliche Variable wird da das gleichzeitige Auftrete bestimmter Werte der eizele Variable durch eie multivariate Wahrscheilichkeitsdichte f(x, y,...) beschriebe. Speziell ist bei zwei Variable f(x, y) dx dy wieder die Wahrscheilichkeit, daß die erste Variable eie Wert im Itervall dx um x aimmt ud gleichzeitig die zweite Variable eie Wert im Itervall dy um y. Zwei (oder mehrere) Zufallsvariable heiße statistisch uabhägig, we sich ihre gemeisame Wahrscheilichkeite bzw. Wahrscheilichkeitsdichte ach dem Muster f(x, y) = g(x) h(y) faktorisiere lasse. Dabei sid g(x) ud h(y) die Wahrscheilichkeitsdichte für das Auftrete vo x bzw. y allei (d.h. jeweils ohe Rücksicht auf die adere Variable). Charakterisierug vo Zufallsvariable Die Wahrscheilichkeitsdichte (im diskrete Fall die Wahrscheilichkeitsverteilug) ethält die gesamte Iformatio über eie Zufallsvariable. Oft ist die Wahrscheilichkeitsdichte aber modellmäßig icht bekat oder icht im Detail meßbar, ud ma versucht daher, sie durch abgeleitete, eifacher bestimmbare Größe zu charakterisiere. 3

4 Der Mittelwert (oder Erwartugswert) eier Zufallsvariable x mit Wahrscheilichkeitsdichte f(x) ist defiiert als x = dx f(x) x Das ist der Wert, der sich ergebe würde, we ma x sehr oft mißt ud die Summe der Meßwerte durch die Azahl der Messuge dividiert. Für de Mittelwert verwedet ma ger das Symbol µ, µ = x Die Variaz ist ei Maß für die mögliche Abweichug (Streuug) eier Eizelbeobachtug vom Mittelwert Var(x) = σ 2 = (x x ) 2 = dx f(x) (x x ) 2 Durch Ausquadriere des Itegrade rechet ma leicht ach, daß auch gilt σ 2 = x 2 x 2 Der hier verwedete Erwartugswert vo x 2 ist ei Beispiel für die Momete eier Wahrscheilichkeitsdichte M = x = dx f(x) x Allgemei ist der Erwartugswert eier Fuktio g(x) defiert als g(x) = dx f(x) g(x) Die Korrelatio zweier Variable x ud y wird durch die Kovariaz cov(x, y) = (x x ) (y y ) = xy x y charakterisiert. We x ud y statistisch uabhägig sid, gilt, wie ma ebefalls aus de Defiitioe leicht achrechet, xy = x y bzw. allgemeier g(x)h(y) = g(x) h(y) Parallel zur Kovariaz wird auch der Korrelatioskoeffiziet ρ xy = cov(x, y) σ x σ y verwedet, für de wege der Normierug auf die Variaze vo x ud y gilt 1 ρ xy 1 Oft betrachtet ma auch de Korrelatioskoeffiziete eier Zufallsvariable zu verschiedee Zeitpukte, z.b. zur Zeit i ud eie Zeit k später. We die statistische Eigeschafte 4

5 vo x icht vo der Zeit abhäge, da hägt diese Zeitkorrelatiosfuktio ur vo der Zeitdifferez k, aber icht vo i selbst ab C k = ρ xi,x i+k = cov(x i, x i+k ) = x ix i+k x 2 σ xi σ xi+k x 2 x 2 I der obige Form ist C k bei k = 0 auf 1 ormiert. Da i de meiste Fälle x i+k ach eier gewisse Zeit vo x i statistisch uabhägig ist, gehe Zeitkorrelatiosfuktioe i der Regel für k ach Null. Beispiele Der eifachste Fall eier kotiuierliche Zufallsvariable ist die Gleichverteilug über eiem Itervall [a, b], d.h. x immt alle Werte aus dem Itervall mit der gleiche Wahrscheilichkeit 1 we f(x) = b a 0 sost a x b a. [Der Wert vo f(x) im Iere des Itervalls ergibt sich aus der Normierugsbedigug dx f(x) = 1.] Eie gaze Reihe vo physikalische Prozesse, daruter die Lebesdauer der Kere beim radioaktive Zerfall, werde durch die Expoetialverteilug f(x) = 1 λ e x/λ für x 0 0 sost beschriebe. Die Zufallsvariable x ka hier alle Werte auf der positive relle Achse aehme; allerdigs sid große Werte viel selteer als kleie. Der Erwartugswert vo x ist durch de Parameter λ gegebe. Das wichtigste Modell eier kotiuierliche Zufallsvariable ist jedoch die Gauß- oder Normalverteilug f(x) = 1 [ exp 2πσ ] (x µ)2 2σ 2 Hier ka die Zufallsvariable alle Werte zwische ud + auf der reelle Achse aehme. Der Erwartugswert vo x ist µ, die Variaz σ 2. De Stadardfall µ = 0, σ = 1 bezeichet ma als N(0,1)-Verteilug. Die Normalverteilug spielt icht ur i der Statistik eie zetrale Rolle, auch i der Physik sid z.b. die kartesische Kompoete der Geschwidigkeit vo Gasmoleküle ormalverteilt. Ei Beispiel für eie diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug ist die Biomialverteilug B k (, p) = ( ) p k (1 p) k k 5

6 Sie gibt a, mit welcher Wahrscheilichkeit ei Ereigis i uabhägige Beobachtuge geau k-mal auftritt (k = 0, 1, 2,..., ), we p die Wahrscheilichkeit ist, daß das Ereigis bei eier eizele Beobachtug auftritt [ud daher (1 p) die Wahrscheilichkeit, daß es bei eier eizele Beobachtug icht auftritt]. Mittelwert ud Variaz vo k sid hier durch < k >= p bzw. σ 2 = p(1 p) gegebe. Im Limes p 0,, sodaß p λ kostat bleibt, geht die Biomialverteilug i die Poissoverteilug P λ (k) = λk k! e λ für k = 0, 1, 2,..., mit Mittelwert < k >= λ ud Variaz σ 2 = λ über. Sie beschreibt das Auftrete uabhägiger selteer Ereigisse, wie z.b. der Azahl der radioaktive Zerfälle oder Molekülkollisioe i eiem gegebee Zeititervall, wird aber auch i der Warteschlagetheorie zur Modellierug vo Ereigisse wie dem Eitreffe vo Arufe i eier Telephozetrale verwedet. Stichprobe Sid die Wahrscheilichkeitsverteiluge oder -dichte vo Zufallsvariable bekat, so lasse sich daraus im Prizip alle statistische Kegröße wie Mittelwerte, Variaze, Korrelatioe usw. bereche sofer ma ämlich i der Lage ist, die etsprechede mathematische Ausdrücke aalytisch oder umerisch auszuwerte. I der Praxis tritt aber häufig der Fall auf, daß ma zwar ei theoretisches Modell für die Verteilug hat, aber die Parameter icht ket ud daher aus eier Messug bestimme will, oder ma hat überhaupt och keie Vorstellug vo der Form der Verteilug. I diesem Fall ka ma die statistische Kegröße auch mit Hilfe eier Stichprobe schätze. Wir betrachte ei Zufallsexperimet, desse Ausgag durch eie Zufallsvariable x beschriebe wird. Uter eier (uabhägige) Stichprobe vom Umfag {x 1, x 2,..., x } versteht ma eie -fache Wiederholug des Experimets, wobei die Ergebisse i de eizele Experimete eiader icht beeiflusse solle. Mit adere Worte, {x 1, x 2,..., x } ist ei Satz vo Zufallsvariable mit deselbe statistische Eigeschafte wie x, ud x i ud x j sid für i j statistisch uabhägig (x i ist eifach der Wert vo x im i-te Versuch). Die Erzeugug der Stichprobe ka selbst wieder als Zufallsexperimet aufgefaßt werde. Erwartugswerte ud adere statistische Kegröße werde u durch Mittelug über die Stichprobe geschätzt. So ist z.b. der Stichprobemittelwert defiiert als x = 1 x i i=1 Ma erwartet, daß x x 6

7 gilt, wobei x de wahre (aus der evetuell ubekate theoretische Verteilug berechete) Mittelwert vo x bezeichet. Der Stichprobemittelwert ist tatsächlich erwartugstreu, de der Erwartugswert für das Zufallsexperimet Stichprobemittelwert bilde ist x = 1 x i = 1 i x = x i Dies ist zuächst aber ur eie Aussage für de Fall, daß ma uedlich viele Stichprobe erzeuge ud daraus jeweils de Stichprobemittelwert bestimme köte. Der aaloge Asatz für die Variaz (s 2 ) = 1 (x i x) 2 i=1 uterschätzt aber de wahre Wert um eie Faktor ( 1)/, de (s 2 ) = 1 x i 1 x j x i 1 x k i j k = 1 x 2 i 2 x i x j + 1 x i ij 2 j x k = 1 x 2 i 1 x i x j ijk i ij = 1 We ma also als Schätzwert [ x 2 1 ( x 2 + ( 1) x 2)] = 1 s 2 = 1 1 (x i x) 2 i=1 ( x 2 x 2) verwedet, da ist diese Größe kostruktiosgemäß erwartugstreu, d.h. s 2 = σ 2. Eie vollkomme aaloge Rechug ergibt für die Variaz des Stichprobemittelwerts, σ 2 x = ( x x ) 2 folgede Beziehug zur (wahre) Variaz vo x σ 2 x = 1 σ2 x Die Wurzel daraus bezeichet ma als Stadardfehler des Mittelwerts. Da σ 2 x für eie gegebee Zufallsvariable x eie feste Zahl ist, 1 zeigt die letzte Formel, daß auch bei Durchführug ur eier eizige Stichprobe der Stichprobemittelwert ahe am wahre Mittelwert liege wird, we ur der Umfag der Stichprobe hireiched groß ist. 1 Das setzt atürlich voraus, daß σ 2 x < ist. 7

8 Erzeugug vo Zufallszahle am Computer Pseudo-Zufallszahlegeeratore Sowohl zur Simulatio vo Zufallsprozesse im eigetliche Si als auch zur Lösug vieler aderer mathematische Aufgabe ist es wüscheswert, am Computer Stichprobe vo Zufallsvariable erzeuge zu köe. Im Prizip köte ma dazu atürlich echte Zufallsprozesse wie de Zerfall eier radioaktive Quelle oder thermisches Rausche verwede. Abgesehe vo istrumetelle Probleme (ud wer hätte scho ger eie Strahlugsquelle auf dem Schreibtisch), würde sich auf diese Weise aber kaum Zufallszahle i hireicheder Mege ud mit der Geschwidigkeit erzeuge lasse, wie sie vo viele Aweduge verbraucht werde. Außerdem muß es für Testzwecke möglich sei, ei ud dieselbe Folge vo Zufallszahle beliebig oft zu reproduziere. Aus diesem Grud verwedet ma i Simulatioe fast ausschließlich Pseudozufallszahle: Das sid Folge vo Zahle, die zwar durch eie streg determiistische Algorithmus erzeugt werde, aber zufällig aussehe, d.h. gewisse statistische Tests auf Zufälligkeit erfülle. (Daraus folgt auch, daß es für jede Pseudo-Zufallszahlegeerator eie Awedug gebe ka, bei der er sich als icht zufällig geug erweist.) I de meiste Compiler, Iterpreter ud mache Script-Sprache ist wegstes ei (Pseudo)-Zufallszahlegeerator implemetiert, der gleichverteilte Zufallszahle aus dem Itervall [0, 1) liefert. Häufig ist das ei liearer Kogruezgeerator (Modulo-Geerator), der im eifachste Fall ach dem folgede Prizip arbeitet: Es werde gaze Zahle a, c ud m sowie ei Startwert ( Seed ) i 0 < m vorgegebe ud rekursiv die Folge i +1 = (a i + c) mod m ξ +1 = i +1 /m gebildet. Die Zahle a, c ud m sid fest ud bestimme die Eigeschafte des Zufallszahlegeerators. Nach Vorgabe eies (mit gewisse Eischräkuge) beliebige Startwerts i 0 erhält ma durch sukzessives Awede der obige Vorschrift zuächst eie streg determiistische Folge vo gaze Zahle i 0, i 1, i 2,... mit 0 i < m. Die eigetliche Fuktioswerte des Geerators sid die ξ, für die ach Kostruktio 0 ξ < 1 gilt. Auf Grud der Formel ist klar, daß die i höchstes m verschiedee Werte aehme köe; da muß sich die Folge wiederhole. Uter bestimmte Voraussetzuge a die Parameter a, c ud m ka ma erreiche, daß die Periode des Geerators de Maximalwert m erreicht. Da sid die ξ i ihrer Gesamtheit auf jede Fall gleichverteilt auf dem Itervall [0, 1). Je ach Wahl vo a, c ud m erfülle sie auch gewisse Tests auf Zufälligkeit (statistische Uabhägigkeit). Auf keie Fall dürfe jedoch für die Parameter des Geerators x-beliebige Zahle eigesetzt werde. Um sich die Berechug der Modulo-Fuktio zu erspare, wird häufig m = 2 r gesetzt, wo r die Wortläge des Computers i Bits ist (bzw. m = 2 r 1, we icht Zweierkomplemet- Darstellug verwedet, soder das Vorzeiche separat gespeichert wird). I diesem Fall werde vom Ergebis eier Operatio mit gaze Zahle, das eie Overflow, also mehr als 8

9 r Biärstelle, produziert, automatisch ur die iedrigste r Bits gespeichert. Die folgede Tabelle ethält die Parameter für eiige eifache Geeratore. a c m i ugerade ugerade ugerade Der Eitrag i der zweite Zeile ( IBM-Geerator ) war seierzeit auf Großrecher weit verbreitet, ist aber eigetlich ei Gegebeispiel, da die resultierede Zufallszahle stark korreliert sid. Faßt ma ämlich Tripel vo aufeiaderfolgede Fuktioswerte zu Koordiate (ξ, ξ +1, ξ +2 ) im dreidimesioale Eiheitswürfel zusamme, so komme alle diese Pukte auf eier gerige Azahl vo Ebee zu liege. Solche Korrelatioe trete zwar prizipiell immer auf, bei gute Geeratore aber erst i viel höhere Dimesioe. Eifache (i Compiler eigebaute ) Geeratore wie die obige sid zwar für viele Zwecke ausreiched, bei Aweduge, die kritisch vo der Qualität der Zufallszahle abhäge, empfiehlt es sich jedoch, eie gut getestete Geerator aus eier Programmbibliothek zu verwede. Erzeugug icht-gleichverteilter Zufallszahle Währed ma davo ausgehe ka, daß am Computer etweder über de eigebaute Geerator oder eie Bibliotheksfuktio stadardmäßig gleichverteilte Zufallszahle aus dem Itervall [0, 1) zur Verfügug stehe, müsse i der Praxis häufig Zufallsvariable mit eier adere Verteilug simuliert werde. Ist z.b. x eie diskrete Zufallsvariable, die die Werte X 1, X 2,..., X N mit Wahrscheilichkeite p 1, p 2,..., p N aimmt, so ka ma ξ 0 = 0, ξ 1 = p 1, ξ 2 = p 1 + p 2, ξ 3 = p 1 + p 2 + p 3,..., ξ N = 1 setze ud das Eiheitsitervall i eie Folge vo Teilitervalle [ξ 0, ξ 1 ), [ξ 1, ξ 2 ), [ξ 2, ξ 3 ),..., [ξ N 1, ξ N ) zerlege. Da die Wahrscheilichkeit, i das Teilitervall [ξ i 1, ξ i ) zu treffe, gleich seier Läge ξ i ξ i 1 = p i ist, würfelt ma also gleichverteilte Zufallszahle ξ aus [0, 1) ud setzt x = X i, we ξ i 1 ξ < ξ i Diese sogeate iverse Trasformatiosmethode läßt sich im Prizip auch awede, we x abzählbar uedlich viele Werte aimmt. Ma muß da ur das Itervall [0, 1) i uedlich viele (immer kleier werdede) Teilabschitte zerlege. 9

10 Ei weiterer eifacher Fall ist die Simulatio eier gleichverteilte (kotiuierliche) Zufallsvariable x über dem Itervall [a, b). Hier leistet offebar die Trasformatio ξ x = a + ξ(b a) wobei wieder ξ [0, 1) gleichverteilt ist, das Gewüschte. Die Verallgemeierug dieser Trasformatiosmethode für kotiuierliche Zufallsvariable erhalte wir, idem wir zuächst eie beliebige Trasformatio x y(x) betrachte, die streg mooto zuehmed (oder streg mooto abehmed) ud differezierbar sei soll. y ist da ebefalls eie Zufallsvariable, ud die Wahrscheilichkeit, daß y i eiem Itervall [Y 1, Y 2 ) liegt, ist P (Y 1 y < Y 2 ) = P (X 1 x < X 2 ) wobei X 1 ud X 2 die Urbilder vo Y 1 ud Y 2 sid ud der streg mooto zuehmede Fall ageomme wurde. Sid f(x) ud g(y) die Wahrscheilichkeitsdichte vo x ud y, so ergibt sich daraus X2 Y2 x(y2 ) dx f(x) = dy g(y) = dx dy X 1 Y 1 x(y 1 ) dx g(y(x)) ud im Limes X 2 X 1, Y 2 Y 1 I der Form f(x) = dy dx g(y(x)) dy dx = f(x) g(y) ka ma dies als Differetialgleichug für jee Trasformatio asehe, die aus x eie Zufallsvariable y mit vorgegebeer Wahrscheilichkeitsdichte g(y) macht. (Im Fall eier streg mooto abehmede Trasformatio ist die like Seite der letzte Gleichug durch dy/dx zu ersetze.) Soll beispielsweise die Expoetialverteilug mit Hife des eigebaute Zufallszahlegeerators simuliert werde, so sid f(x) = 1 0 x < 1 g(y) = 1 λ e y/λ 0 y < also dy dx = λ ey/λ d(y/λ) e y/λ = dx e y/λ = x + c Die Itegratioskostate ergibt sich aus der Forderug y(0) = 0 zu c = 1. Die Trasformatio x y = λ l(1 x) 10

11 macht also aus der auf [0, 1) gleichverteilte Zufallsvariable x eie expoetialverteilte Variable y auf [0, ). Der größte Nachteil der Trasformatiosmethode, die im wesetliche darauf hiausläuft, die Gleichug G(y) = F (x) für gegebees x ach y aufzulöse, besteht dari, daß ma häufig etweder scho die Stammfuktioe zu f ud g, F ud G, icht aalytisch agebe oder die Gleichug G(y) = F (x) icht ach y auflöse ka. Es gibt aber ebe der Trasformatiosmethode eiige adere allgemei awedbare Verfahre sowie eie Uzahl vo Methode zur Simulatio vo Stichprobe aus spezielle Verteiluge. Mote Carlo-Itegratio Eies der wichtigste we icht das wichtigste Mote Carlo-Verfahre ist eie Methode zur umerische Berechug vo Itegrale, isbesodere i hohe Dimesioe: die sogeate Mote Carlo-Itegratio. Ageomme, es sei das Itegral eier Fuktio g(x) auf dem Itervall [a, b] zu bereche I = b a dx g(x) Spaltet ma vom Itegral die Läge des Itegratiosgebietes, b a, ab b I = (b a) dx 1 a b a g(x) so ka ma de erste Faktor des Itegrade als (korrekt ormierte) Wahrscheilichkeitsdichte 1 we a x b f(x) = b a 0 sost eier auf [a, b] gleichverteilte Zufallsvariable x auffasse. Damit läßt sich aber, abgesehe vo eiem Vorfaktor, das Itegral als Erwartugswert der Fuktio g der Zufallsvariable x iterpretiere I = (b a) dx f(x) g(x) = (b a) g(x) Ka ma das Itegral bzw. de Erwartugswert icht aalytisch bereche, so liegt es ahe, eie Stichprobe ξ 1, ξ 2,..., ξ der Variable x zu erzeuge ud de Erwartugswert vo g(x) durch de Stichprobemittelwert zu approximiere I (b a) g(x) = (b a) 1 g(ξ i ) i=1 Dieser Ausdruck hat große Ählichkeit mit kovetioelle Formel für umerische Itegratio, allerdigs werde hier die Stützpukte zufällig im Itegratiosgebiet gewählt ud icht äquidistat oder i eier adere regelmäßige Aordug. 11

12 Beim obige, aive MC-Itegratio geate Verfahre würfelt ma die Stützstelle gleichverteilt im Itegratiogebiet. Ei allgemeierer Fall liegt vor, we das Itegral vo vorherei die Form I = dx f(x) g(x) hat, mit eier icht-kostate Fuktio f(x) 0, für die dx f(x) < ist. Ma ka da f(x)/ dx f(x) als Wahrscheilichkeitsdichte eier icht-gleichverteilte Zufallsvariable x auffasse ud das Itegral [ I = ] dx f(x) dx [ f(x) dx f(x ) g(x) = wieder durch eie Stichprobemittelwert aäher [ I ] 1 dx f(x) g(ξ i ) i=1 ] dx f(x) g(x) wobei die ξ i jetzt allerdigs eie Stichprobe aus der Wahrscheilichkeitsdichte f(x)/ dx f(x) sei müsse. Dieses Verfahre et ma Importace Samplig. Der große Vorteil vo MC-Itegratiosverfahre besteht dari, daß bei uabhägige Stichprobe vom Umfag die Variaz des Stichprobemittelwerts durch Var(ḡ) = 1 Var(g) gegebe ud der Fehler des Itegrals daher proportioal zu 1/ ist: I = 1 [ ] dx f(x) g 2 g 2 Da diese Beziehug uabhägig vo der Dimesioalität des Itegratiosgebiets ist, sid MC- Verfahre zwar bei iedrig-dimesioale Probleme kovetioalle Itegratiosverfahre uterlege, bei hochdimesioale Itegrale stelle sie jedoch die Methode der Wahl dar. 12