7.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 7.2 Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Ei Ereigis heißt i Bezug auf eie Satz vo Bediguge zufällig, we es bei der Realisierug dieses Satzes eitrete ka, aber icht ubedigt eitrete muss. Def. 7.2.: Ei Experimet heißt ei Zufallsexperimet, falls folgede Bediguge erfüllt sid: a) Es ka icht mit Sicherheit gesagt werde, welches Ergebis sich eistelle wird. b) Das Experimet soll (weigstes theoretisch) beliebig oft uter de gleiche Bediguge wiederholt werde köe. c) Sämtliche überhaupt mögliche Ergebisse solle vor der Durchführug des Experimets agegebe werde köe. Beispiel vo Zufallsexperimete: A) Werfe eier Müze; mögliche Ergebisse: W:= Wappe, Z:= Zahl B) Werfe eies Würfels; mögliche Ergebisse:,2,3,4,5,6 C) Zählug der i eier Sekude emittierte α Teilche bei eier radioaktive Substaz; mögliche Ergebisse: 0,,2,3,4,5,6,... D) Schiesse auf eie Zielscheibe; mögliche Ergebisse: Alle Pukte der Zielscheibeebee, also alle Pukte im IR 2. E) Beobachte der Abfertigugszeit eies Schiffes: Zufallsexperimet als theoretische Modell. Mögliche Ergebisse: Zeite ab 0 Stude, also alle Pukte im Itervall [0, [ (= [0, )). Def : Die Mege aller überhaupt mögliche Ergebisse eies Zufallsexperimets heißt die Ergebismege Ω. Beispiele vo Ergebismege: zu Beispiel A) Ω = {Z,W } zu Beispiel B) Ω = {,2,...,6} zu Beispiel C) Ω = {0} IN zu Beispiel D) Ω = IR 2 zu Beispiel E) Ω = [0, [ Def : Ei Ereigis ist eie Teilmege der Ergebismege. Bem.: Bei überabzählbare Ergebismege bezeichet ma ur Teilmege aus eier gewisse Klasse als Ereigisse. Beispiele vo zufällige Ereigisse: zu Beispiel A): Es fällt W zu Beispiel B): Es fällt 3 zu Beispiel C): Die Azahl der i eier Sekude emittierte α-teilche ist = 0. 59

2 zu Beispiel C): Die Azahl der i eier Sekude emittierte α-teilche ist 0. zu Beispiel B): Es fällt eie gerade Zahl d.h. Ergebis ω {2,4,6} zu Beispiel D): Trefferabstad { vom Mittelpukt [cm] d.h. Ergebis ω (x,y) IR 2 } x 2 + y 2 cm Def : Jedes Ereigis {ω} mit ω Ω heißt Elemetarereigis. ist das umögliche Ereigis (z.b. Es fältt eie 7 beim Würfel), Ω das sichere Ereigis (z.b. Es fällt W oder Z bei der Müze). Beispiel vo Elemetarereigisse: zu Beispiel B) {5} : Es fällt eie 5 zu Beispiel D): {(0, )} : Treffer im Pukt (0, ) Bei eier häufige Wiederholug des Zufallsexperimets A) beobachtet ma, dass W ud Z etwa gleich oft erscheie, falls eie ideale Müze geworfe wird. Bei eier häufige Wiederholug des Zufallsexperimets B), dass die Augezahle,2,...,6 etwa gleich oft erscheie, falls ei idealer Würfel geworfe wird. Beispiele für die Wahrscheilichkeit (probability) eies Ereigisses A (Abkürzug P(A)) zu Beispiel A) (ideale Müze): P ({W }) = 2, P ({Z}) = 2 zu Beispiel B) (idealer Würfel): P ({}) = P ({2}) = = P ({6}) = 6 Das Resultat bei B) köe wir auch so ausdrücke: P ({}) = P ({2}) = = P ({6}) = Azahl der Elemete vo {6} Azahl der Elemete vo Ω (= {,2,...,6}). Das lässt sich auch auf die Wahrscheilichkeit weiterer Ereigisse übertrage: Die Wahrscheilichkeit dafür, dass eie gerade Zahl fällt, = P ({2,4,6}) = Azahl der Elemete vo {2,4,6} Azahl der Elemete vo Ω = {,...,6} = 3 6 = 2 Def (Klassische Defiitio der Wahrscheilichkeit): Eie Ergebismege Ω erfülle folgede zwei Bediguge: a) Ω ist eie edliche Mege b) Alle Elemetarereigisse sid gleichwahrscheilich. 60

3 A sei ei beliebiges Ereigis, d.h. A Ω. Da heißt P(A) := card A card Ω mit card M := Azahl der Elemete vo M die Wahrscheilichkeit vo A. Soderfall: = Azahl der für das Ereigis A güstige Ergebisse Azahl der mögliche Ergebisse P({ω}) = card Ω Def (Statistische Defiitio der Wahrscheilichkeit): Ω sei eie Ergebismege, A Ω ei Ereigis ud die Zahl der Wiederholuge des Zufallsexperimets a) Die absolute bzw. relative Häufigkeit vo A bei Wiederholuge ist defiiert durch: f (A) := Azahl der Wiederholuge, bei dee A eitritt, bzw. h (A) := f (A) b) P(A) := lim h (A) (vergl. Satz 7.9.3b). Beispiel 7.2. Zufallsexperimet: Werfe eie Reißagels Mögliche Ergebisse: K (:= Kopf): ; S (:= Spitze): ; Ω := {K,S } Ergebis eier Versuchsreihe: f ({K}) h ({K}) P({K}) = lim h ({K}) 0.625, aalog P({S}) Def (Axiomatische Defiitio der Wahrscheilichkeit): Wird jedem Ereigis A Ω eie reelle Zahl P(A) zugeordet, so heißt P(A) Wahrscheilichkeit vo A, we folgede Bediguge erfüllt sid: a) P(A) 0 b) P(Ω) = (sicheres Ereigis) c) P(A B) = P(A) + P(B), falls A B = ist (A,B disjukt) Bem.: a) Bei uedliche Ergebismege Ω müsste c) durch eie allgemeiere Bedigug ersetzt werde. b) Die axiomatische Defiitio umfasst die klassische ud die statistische Defiitio der Wahrscheilichkeit Bsp : Auf eiem Rad mit fester Achse vom Umfag m (d.h. Radius = 2 π m = 0.59m) wird eie Maßskala für die Bogeläge agebracht: 6

4 feste Marke Das Zufallsexperimet besteht u dari, das Rad mit hoher Drehzahl zu drehe ud plötzlich zu stoppe. Die Bogeläge auf der Maßskala, die da bei der feste Marke stehebleibt, wird als Ergebis des Zufallexperimets registriert. Die Ergebismege besteht also aus alle mögliche Werte auf der Maßskala, d.h. es ist zuächst Ω = [0, [. Alle Ergebisse sid gleichberechtigt oder aders ausgedrückt - kei Ergebis ist vor dem adere bevorzugt. Um u bei de folgede Überleguge zusätzliche formale Schwierigkeite zu vermeide, äder wir die Ergebismege gerigfügig ab: Ω = [0,]. Aufgrud der Gleichberechtigug der Ergebisse erhalte wir für die Wahrscheilichkeit vo Teilitervalle [a, b] [0, ]: 0 a b P([a,b]) = Läge vo [a,b] Läge vo [0,] = b a Für die Wahrscheilichkeit vo Vereiiguge vo Teilitervalle [a, b], [c, d] [0, ] erhalte wir folgede Regel, wobei wir zwei Fälle uterscheide müsse: 0 a b c d Fall : [a,b] [c,d] = P([a, b] [c, d]) = Ateil vo [a, b] [c, d] a der Gesamtläge a = b a + d c = P([a,b]) + P([c,d]) (vergl. Def c) b 0 c d Fall 2: [a,b] [c,d] Gilt etspreched der Skizze speziell 0 a b c d, so erhält ma: [a,b] [c,d] = [a,d], [a,b] [c,d] = [c,b] ud damit P([a,b] [c,d]) P([a,b]) P([c,d]) = (d a) (b a) (d c) = c b = (b c) = P([c,b]) }{{} =[a,d] = P([a,b] [c,d]) P([a,b] [c,d]) = P([a,b]) + P([c,d]) P([a,b] [c,d]) (vergl. Satz 7.2.2) Spezialfälle (vergl. die achstehede Def ): P({ω}) = P([ω,ω]) = ω ω = 0, d.h. {ω} ist fast umöglich für jedes ω Ω. ]0,[ ist fast sicher; de P(]0,[) = P(Ω) P({0}) P({}) = 62

5 Satz 7.2.: Folgeruge aus de Bediguge a) b) ud c) vo Def : i) P(A A 2... A k ) = P(A ) + P(A 2 ) P(A k ), falls A i A j = f. a. i j ii) A B P(B A) = P(B) P(A) iii) A B P(A) P(B) iv) 0 P(A) v) P(A) = P(A) vi) P( ) = 0, (umögliches Ereigis) Beweis: i) folgt direkt aus Bedigug c), was durch vollst. Iduktio zu beweise ist ii) ud iii) Es sei A B. Rad vo B A B A Da ka ma B auf folgede Art als Vereiigug zweier disjukter Mege darstelle: B = A (B A) A (B A) = (ach Bed. c)) P(B) = P(A) + P(B A) P(A) P(B A) = P(B) P(A) }{{} 0 ach Bed. a) iv) A Ω 0 Bed. a) P(A) iii) Bed. b) P(Ω) = v) P(A) = P(Ω A) ii) Bed. b) = P(Ω) P(A) = P(A) vi) = Ω v) P( ) = P(Ω) = 0 Def : Ei Ereigis A Ω heißt a) fast umöglich (Abk.: f. u.), we P(A) = 0 ist, b) fast sicher (Abk.: f. s.), we P(A) = ist. Beispiel 7.2.3: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, bei 2 Würfe mit eiem ideale Würfel midestes eie 6 zu bekomme? Für die Beschreibug der Ergebismege Ω verwede wir ei Uremodell: Dem Würfel etspricht eie Ure mit 6 Kugel: De Würfe etspreche Ziehuge m. Z. Die Zusammestellug erfolgt m.b.d.a. damit Elemetarereigisse bei m.z. gleichwahrschei- 63

6 lich sid (vergl. Satz 7.2.3). Ω besteht also aus alle Kombiatioe m.z.m.b.d.a. der Ordug 2 aus 6 Elemete. card Ω = K 2 (6)m.Z.m.B.d.A. = 6 2 Ereigis A: Bei midestes eiem der Würfe fällt ei 6. Methode : Berechug vo P(A) über Ā: Ā: Bei beide Würfe fällt keie 6, d.h. bei beide Würfe fällt eie der Zahle,...,5. Aalog wie bei der Kostruktio vo Ω gilt: Ā besteht also aus alle Kombiatio m.z.m.b.d.a. der Ordug 2 aus 5 Elemete: cardā = K 2(5)m.Z.m.B.d.A. = 5 2 Nach Satz sid alle Elemetareeigisse gleichwahrscheilich, ud daher ist die klassische Defiitio awedbar: cardā P(Ā) = cardω = Nach Satz 7.2. v) erhalte wir also 52 P(A) = P(Ā) = 6 2 = Satz 7.2.2: Für zwei Ereigisse A, B Ω, die icht disjukt zu sei brauche, gilt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Beispiel 7.2.3, Methode 2: mit A = A A 2 A : Beim. Wurf fällt eie 6 A 2 : Beim 2. Wurf fällt eie 6 carda = 6 ud carda 2 = 6 = P(A ) = P(A 2 ) = 6 A A 2 : Bei beide Würfe fällt eie 6, d.h. A A 2 = {(6,6)} = card (A A 2 ) = = P (A A 2 ) = 36 Nach Satz erhalte wir also P(A) = P (A A 2 ) = P(A ) + P(A 2 ) P (A A 2 ) = = Satz 7.2.3: k Kugel werde zufällig aus eier Ure gezoge ud i eier Stichprobe gesammelt. Zufällig bedeutet dabei: Bei jeder der k Ziehuge hat jede Kugel, die sich (och) i der Ure befidet, die gleiche Chace, gezoge zu werde. Da gilt... a) im Falle der Kombiatioe m. Z. m. B. d. A., o. Z. m. B. d. A. ud o. Z. o. B. d. A.: Jede Kombiatio hat die Wahrsch. = K k () 64

7 b) im Falle der Kombiatioe m. Z. o. B. d. A.: Die Kombiatioe habe i.a. verschiedee Wahrscheilichkeite, isbesodere ist i.a. die Wahrsch. K k () Bem.: Damit ma de Kombiatioe überhaupt Wahrscheilichkeite im Sie vo Def zuorde ka, muss ma sie als Elemetarereigisse oder allgemeiere Ereigisse i eier geeigete Ergebismege auffasse. Dasselbe gilt auch für die Wahrscheilichkeite i der folgede Erläuterug zu Satz 7.2.3, wobei eiige Wahrscheilichkeite außerdem güstiger als bedigte Wahrscheilichkeite (vergl. 7.3) aufzufasse sid. Erläuterug zu Satz 7.2.3: Ure mit Kugel, Stichprobebrett mit k Fächer bei m. B. d. A i) Bei der Vorschrift m. Z. m. B. d. A. ist die Wahrscheilichkeit bei dem. Fach für jede Kugel : dem 2. Fach für jede Kugel : dem k te Fach für jede Kugel : Jede Kombiatio m. Z. m. B. d. A. hat damit die Wahrscheilichkeit ii) Bei der Vorschrift o. Z. m. B. d. A ist die Wahrscheilichkeit bei dem. Fach für jede Kugel : dem 2. Fach für jede (restliche) Kugel : dem k te Fach für jede (restliche) Kugel :.. Jede Kombiatio o. Z. m. B. d. A. hat damit die Wahrscheilichkeit K k () ( ) k = K k () k + ( )... ( k + ) = iii) Je k! verschiedee Kombiatioe o. Z. m. B. d. A. etspreche eier Kombiatio o. Z. o. B. d. A. Damit hat jede Kombiatio o. Z. o. B. d. A. die Wahrscheilichkeit k! ( )... ( k + ) = K k () iv) Im Gegesatz zu iii) ist die Azahl der verschiedee Kombiatioe m. Z. m. B. d. A., die eier Kombiatio m. Z. o. B. d. A. etspreche, abhägig vo dem Ziehugsergebis. Ei Beispiel dazu: 2 Würfe mit eier ideale Müze: Kombiatio m. Z. o. B. d. A. Kombiatio m. Z. m. B. d. A. zweimal W ˆ= W beim. Wurf ud W beim 2. Wurf zweimal Z ˆ= Z beim. Wurf ud Z beim 2. Wurf eimal W, eimal Z ˆ= W beim. Wurf ud Z beim 2. Wurf oder Z beim. Wurf ud W beim 2. Wurf 65

8 Da u diese Kombiatio m. Z. m. B. d. A. ach i) alle die Wahrscheilichkeit 4 habe, hat das Ereigis eimal W, eimal Z die Wahrscheilichkeit 2 4 = 2 ud icht die Wahrscheilichkeit 3 Bem.: Bei Wahrscheilichkeitsutersuchuge gilt: Wurf mit 2 Müze ˆ= 2 Würfe mit Müze Dasselbe gilt auch für mehrere Müze oder für zwei oder mehr Würfel. Dieser Sachverhalt beruht darauf, dass ma Müze, Würfel oder dergleiche uterscheide ka z.b. durch verschiedee Farbe. Werde etwa ei blauer ud ei roter Würfel gleichzeitig geworfe, so ka ma das Wurfergebis beim blaue Würfel als Wurfergebis des. Wurfes bei eiem Würfel auffasse ud das des rote als Wurfergebis des 2. Wurfes. 66