9. Diskrete Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz

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1 44 9. Diskrete Zufallsvariable, Wahrscheilichkeitsverteilug, Erwartugswert, Variaz Bei Zufallsversuche iteressiere oft icht die Ergebisse selbst, soder Zahle, die de mögliche Ergebisse des Zufallsversuchs zugeordet sid. Diese Zahle köe als Gewie bei eiem Glücksspiel aufgefasst werde. B: Eie Müze wird dreimal geworfe. Das Werfe vo Kopf sei ei Erfolg. Die Azahl der Erfolge X sei der Gewi. Durchführug eies Zufallsexperimets: Jede Schüleri wirft eie Müze dreimal ud otiert sich, wie oft Kopf erscheit. Sie wiederholt diese Zufallsversuch zehmal. Die folgede Zahle wurde i eiem Klasseexperimet (..000) mit isgesamt = 79 Wurfserie ermittelt: X = xi 0 i h(x = xi) 9 /79 64 /79 68 /79 8 /79 empirischer Mittelwert: x = =.87 empirische Stadarabweichug: 9 (0 x) + 64 ( x) + 68 ( x) + 8 ( x) s = = Modell: Stichproberaum S = {KKK, KKZ,..., ZZZ} Die Zufallsvariable X ordet z. B. KKZ zu. Def. Eie diskrete Zufallsvariable X ordet jedem Ergebis eies Zufallsversuchs mit dem edliche Stichproberaum S eideutig eie reelle Zahl zu. X: ei S xi R Bem. Zufallsvariable sid also Fuktioe. Die Fuktioswerte köe als Gewie bei eiem Glücksspiel aufgefasst werde. Zufallsvariable werde mit Grossbuchstabe z.b. X, die Werte der Zufallsvariable mit x,x,... x i bezeichet. Wir betrachte zuächst de Fall, dass X ur edlich viele Werte aehme ka. I diesem Fall heisst X diskrete Zufallsvariable. zufvar_mue_sigma 08..

2 4 Die Werte der Zufallsvariable trete mit bestimmte Wahrscheilichkeite auf. Die zugehörige Fuktio heisst Wahrscheilichkeitsverteilug. Sie ordet de Werte xi der Zufallsvariable die zugehörige Wahrscheilichkeite p(xi) zu, wobei Σ p(xi) = gilt. Müzebeispiel: Die Zufallsvariable X Azahl Erfolge ka die Werte 0,,, aehme. Die zugehörige Wahrscheilichkeitsverteilug ist die Biomialverteilug:: X = xi 0 p(x = xi) /8 /8 /8 /8 Werfe eies L-Würfels: Die Zufallsvariable X Augezahl ka die Werte,,, 4,, 6 mit de Wahrscheilichkeite p(xi) = /6 aehme. Die Wahrscheilichkeitsverteilug ist die Gleichverteilug. Werfe vo zwei Würfel: Die Zufallsvariable X Augesumme ka die Werte,, 4,,..., mit de folgede Wahrscheilichkeite aehme: X = xi p(xi) Mit der Idee der erzeugede Polyome köe die absolute Häufigkeite für die Augesumme eifach bestimmt werde. 4 6 Dazu ermittelt ma die Koeffiziete des Polyoms ( x + x + x + x + x + x ) Als Koeffiziet vo x 8 z.b. ergibt sich, womit die Augesumme 8 geau füfmal auftrete ka, ämlich bei de Ergebisse (,6), (,), (4,4), (,), 6,). zufvar_mue_sigma 08..

3 46 Erwartugswert, Variaz, Stadardabweichug Aalog zu de empirische Häufigkeitsverteiluge charakterisiere wir Wahrscheilichkeitsverteiluge durch Masszahle, sogeate Parameter ämlich der Erwartugswert als Gegestück zum empirische Mittelwert ud die Variaz bzw. Stadardabweichug als Gegestück zur empirische Variaz bzw. Stadardabweichug. Dabei trete im Modell a die Stelle der relative Häufigkeite i die Wahrscheilichkeite p(xi). µ = E( X ) = xi p( xi ) Erwartugswert eier Zufallsvariable i= Bem. Der Erwartugswert eier Zufallsvariable ka als mittlerer Gewi auf lage Sicht beim Glückspiel aufgefasst werde. Müzebeispiel: µ = E X = = ( ) Der Erwartugswert allei beschreibt eie Wahrscheilichkeitsverteilug ur uvollstädig. Zwei Verteiluge mit gleichem Erwartugswert köe gaz verschiede um de Erwartugswert streue. Als Mass für die mittlere Abweichug der Werte der Zufallsvariable vom Erwartugswert defiiere wir die Variaz V(X) bzw. die Stadardabweichug σ. V ( x) = i= p( x ) ( x σ = V ( x) σ 0 i i µ ) V(X) Variaz, σ heisst Stadardabweichug. Bem. Die Abweichugsquadrate vom Erwartugswert werde mit de Wahrscheilichkeite gewichtet. Müzebeispiel: ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) V X σ = = = σ = Uebugsaufgabe: Bereche für die Zufallsvariable X de Erwartugswert ud die Variaz: a) b) xi xi p(xi) / ½ /6 p(xi) Lösug: a) E(X) = 4, V(X) = 0 b) E(X) = 8, V(X) = zufvar_mue_sigma 08..

4 47 Beachte die folgede Gegeüberstellug zwische de empirische ud theoretische Werte: empirisch: rel. Häufigkeit h(xi) emp. Mittelwert x empirische Variaz s Modell: Wahrscheilichkeit p(xi) Erwartugswert E(X) = µ Variaz V(X) = σ Im folgede Beispiel werde die i eiem Klasseversuch ermittelte Date mit de etsprechede Werte des Modells vergliche. Die agewadte Statistik lehrt, wie ma Schätzwerte für die i.a. ubekate Parameter z.b. Erwartugswert, Variaz schätze ka. Zufallsexperimet Werfe vo Müze Apr 97 Azahl abs. H re. H. Wahrsch. Kopf i hi p(xi) Summe emp. Mittelwert.4 Erwart.wert.00 Variaz empirisch Modell 0.70 Stad.abw. empirisch Die Bedeutug vo Erwartugswert ud Stadardabweichug liegt dari, dass für viele Wahrscheilichkeitsverteiluge (isbesodere für die später erwähte Normalverteilug) gilt: P µ σ X µ + σ = P ( ) 66.7% ( µ σ X µ + σ ) = 94.4% d.h. i de agegebee Itervalle liege etwa / bzw. 9% aller Werte der Zufallsvariable. σ-abweichuge vom Erwartugswert komme praktisch icht vor. Diese Aussage gilt icht ur im Modell soder i viele Fälle auch für die i der agewadte Statistik erfasste Date. zufvar_mue_sigma 08..

5 48 Für Erwartugswert ud Stadardabweichug gelte die folgede Gesetze: () E ( k X ) = k E ( X ) k R () E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) ud als Spezialfall: ( ) ( ) () V ( k X ) = k V ( X ) ( ) ( ) (4) V ( X ± Y ) = V ( X ) ± V ( Y ) Higege gilt i.a.: E X Y E X E Y V X + k = V X + k ( ) ( ) ( ) bzw. V ( X Y ) V ( X ) V ( Y ) E X + k = E X + k k R Die Gesetze () ud () bedeute, dass der Erwartugswert ei lieares Fuktioal ist (ei Fuktioal ordet eier Fuktio eie reelle Zahl zu). Diese Gesetze spiele beim Beweis des folgede, hi ud wieder hilfreiche Satzes eie Rolle Satz: V ( X ) = σ = E( X ) µ () Illustratio am Müzebeispiel X: 0 X : p(xi) /8 /8 /8 /8 E( X ) = = V ( X ) = E( X ) µ = = Beweis vo (): 9 4 4, ( X µ ) ) = E( X µ X + µ ) = E( X ) µ E( X ) E( µ ) σ = E + ( X ) µ + µ = E( ) µ = E X zufvar_mue_sigma 08..

6 49 Spezielle Verteiluge: a) Gleichverteilug Idealer Würfel: µ = E X = = 6 7 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( 6 ) σ = V X = = σ = allg. Im Falle der Gleichverteilug sid gleichwahrscheiliche Ergebisse möglich. Es gilt da: σ = µ = ( + ) ud ( ) Beweis: Uebugsaufgabe Beispiel: Augesumme zweier Würfel (Backgammo?) Erwartugswert ud Stadardabweichug vo X: X = xi p(xi) µ = 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 σ = = =.8 Die aufwädige Berechug vo Erwartugswert ud Stadardabweichug vereifacht sich mit Satz (). Sie ka aber mit de Eigeschafte () bis (4) auf de Fall des eifache Wurfs zurückgeführt werde: Sei X die Augezahl des erste Würfels ud Y die des zweite. Da gilt 7 7 E X + Y = E X + E Y = + = 7 wege (): ( ) ( ) ( ) wege (4): V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) = + = 6 b) Biomialverteilug Für eie biomialverteilte Zufallsvariable X köe Erwartugswert ud Stadardabweichug direkt agegebe werde: (6) E(X) = p (7) V(X) = pq Biomialverteilug Das Ergebis für de Erwartugswert ist plausibel: Jeder der Teilversuche hat die Erfolgswahrscheilichkeit p; beim Gesamtversuch sid daher im Mittel p Erfolge zu erwarte. Beispiel: Da die zum Müzeexperimet gehörige Zufallsveriable X biomialverteilt ist, erhält ma wege =, p = q = / direkt E(X) = / ud V(X) = /4. zufvar_mue_sigma 08..

7 0 Beweis vo (6) ud (7) Nach Def. oder mit der folgede passed gewählte Hilfsfuktio: ( q + pt) = P ( x) t x f ( t) = Biomischer Lehrsatz f x= 0 x ( t) = ( q + pt) p = x P ( x) t setze t = x= 0 f ( ) = p = x P ( x) = E( X ) = µ (6) f x= 0 x ( t) = ( )( q + pt) p = x ( x ) P ( x) t setze t = x= 0 f () = ( ) p = E( X ) E( X ) = E( X ) µ p p = µ pµ = E( X ) µ ach E(X ) aufgelöst + µ ( p ) = E( X ) µ wege p = q E ( X ) = µ + pq V ( X ) = E( X ) µ = µ + pq µ = pq (7) Ei elegater Beweis ergibt sich auch, idem ma die Zufallsvariable Xi (Erfolg a der i.te Stelle) eiführt. Wege E( X i ) = 0 q + p = p V ( X i ) = q (0 p) + p ( p) = q (0 p) + p q = pq ( p + p) = gilt wege de Eigeschafte () ud (4): E( X + X X ) = p bzw. V ( X + X X ) = pq Uebugsaufgabe: a) Die Zufallsvariable X bezeiche die Azahl der Mädche i eier Familie mit füf Kider. Die Wahrscheilichkeit für eie Mädchegeburt ehme wir als 0. a (ei geauerer Wert wäre 0.486). Bereche E(X) ud V(X) ach Defiitio ud mit (6) bzw. (7) Lösug: E(X) =., V(X) =. b) Eie Laplacemüze mit de Seite 0 ud wird solage geworfe, bis eie Eis oder drei Nulle erscheie. Es bezeiche X die Azahl der Würfe. Bereche E(X) ud V(X). Lösug: Tip: Baumdiagramm E(X) = ½ + /4 + ¾ = 7 /4 V(X) = E(X ) - (E(X)) = /6 pq zufvar_mue_sigma 08..

8 Erwartugswert bei Glücksspiele Das folgede Problem spielt i der Geschichte der Wahrscheilichkeitsrechug eie grosse Rolle. Es geht um die gerechte Aufteilug des Spieleisatzes bei vorzeitigem Abbruch eies Glückspiels. Pierre Fermat (60-66) löste das Problem kombiatorisch, Blaise Pascal (6 66) mit der Idee des erwartete Erlöses. Problème des parti s (vgl. Zwei Spieler A ud B leiste je eie Eisatz vo S = Fr. ud vereibare folgedes Glückspiel: Fällt eie symmetrische Müze auf Kopf (K) erhält A eie Pukt, aderfalls B. Wer als Erster 7 Pukte erreicht gewit S = 64 Fr.. Aus eiem ubekate Grud muss das Spiel zu dem Zeitpukt abgebroche werde als A über ud B über 4 Pukte verfüge. I welchem Verhältis ist der Gesamteisatz S gerechterweise zu verteile? Lösug ach Pascal: I der Abbildug ist das küftige Geschehe für beide Spieler aus der Sicht vo A dargestellt. Dabei bezeichet (i,j) de Zustad, idem Spieler A och i ud Spieler B och j Pukte zum Gewi beötigt- Im Zustad (0,j) erhält A de gesamte Eisatz S ud B geht leer aus. Im Zustad (i,0) erhält B de gesamte Eisatz S ud A geht leer aus. Für de erwartete Erlös vo A erhält ma da 4 E = (( ) + ( ) + ( ) ) 64 = 44 ud für de vo Spieler B etspreched A E B = 0 E A 44 Der totale Eisatz ist damit zwische A ud B im Verhältis = 0 = aufzuteile. E B zufvar_mue_sigma 08..

9 Lösug vo Fermat: Spätestes ach 4 Würfe steht fest, welcher Spieler de Gesamteisatz gewit. Erreicht isküftig A och eie ud B zwei Pukte da steht das Spiel uetschiede ud beide beötige zum Gewi och eie Pukt. I der folgede Liste sid die 4 = 6 küftig mögliche Spielverläufe aufgeführt, wobei der Buchstabe agibt, welcher Spieler de Pukt bekommt. I de mit * bezeichete Fälle gewit A: * AAAA * ABAA * BAAA * BBAA * AAAB * ABAB * BAAB BBAB * AABA * ABBA * BABA BBBA * AABB ABBB BABB BBBB Da A i Fälle ud B i Fälle gewit ist der Gewi im Verhältis : aufzuteile. Uebugsaufgabe: a) Errate eier vo drei verdeckte Karte (Remiiszez vo der Studiewoche eier Klasse ach Paris) "Gewie": x i zugehörige Wahrsch. p(x i ) / / 00 Mittlerer "Gewi" pro Spiel (sogeater Erwartugswert) µ = Da die Orgaisatore das Spiel icht fair durchführte, verlore die teilehmede Schüler trotz vorgägiger Warug des Klasselehrers allesamt 00 Fracs. b) Roulette Der Spieler setzt seie Eisatz e > 0 auf eie der Zahle 0,,,..., Ladet die Kugel auf dem gewählte Zahlefeld, so erhält er e zurück (gewit also e), aderfalls verliert er seie Eisatz. Der Gewi ist eie Zufallsvariable mit der Wahrscheilichkeitsverteilug: "Gewie" x i. e -e zugehörige Wahrsch p(x i ) /7 /7 e Erwartugswert beim Roulette: µ = 7 c) "Chuck-a-luck" (USA) "crow ad achor" (egl.) Ei Spieler setzt auf eie der Augezahle. Es werde Würfel geworfe. Erscheit seie Zahl,, mal, so gewit er das -, -, - fache seies Eisatzes, aderfalls verliert er seie Eisatz. Wir wähle als Spezialfall für de Eisatz Fr. xi - p(xi) q pq p q p mit p = /6 bzw. q = /6 7 Erwartugswert µ = 6 zufvar_mue_sigma 08..