Schätzen von Populationswerten

Transkript

1 Schätze vo Populatioswerte SS00 7.Sitzug vom Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluß Grudlage des Iduktiosschlusses: Aahme über die Kewerteverteilug der Stichprobeziehug

2 Iduktioschluß Risiko eies Fehlschlusses uvermeidbar Jedoch: Iferezstatistische Modelle ermögliche, die Fehlerwahrscheilichkeit abzuschätze ud zu miimiere 3 Stichprobeziehug ud Repräsetativität statistische Repräsetativität: Kleie Abweichuge zwische Populatio ud Stichprobe wahrscheilich, große Abweichuge uwahrscheilich Grudlage statistischer Repräsetativität: Jedes Elemet der Grudgesamtheit hat die gleiche Wahrscheilichkeit i die Stichprobe zu gelage (Gleichverteilug) 4

3 Schätze ud Kewerteverteilug Zetraler Grezwertsatz liefert Aahme über die Art der (Wahrscheilichkeits)Verteilug vo Stichprobekewerte Wahrscheilichkeitstheorie liefert Aahme über die Parameter der Kewerteverteilug: Ihr Erwartugswert ud ihre Variaz etspreche de jeweilige Populatioswerte Werde diese Parameter geschätzt, besteht die Möglichkeit, die Auftreteswahrscheilichkeit der Stichprobekewerte zu bestimme 5 Schätzer ud Schätzug Defiitio Schätzer, bzw. Schätzfuktio: Zufallsvariable, die für die Schätzug eies Populatiosparameters verwedet wird (i userem Fall die jeweilige Stichprobekewerteverteilug) Defiitio Schätzug: Realisatio des Schätzers ( erhobeer Stichprobekewert) 6

4 Schätzug ud Statistische Repräsetativität Aufgrud der Aahme der Statistische Represetativität (kleie Abweichuge wahrscheilich, große Abweichuge uwahrscheilich) ka ma hoffe, daß die jeweilige Schätzug die Parameter des Schätzers (ud damit der Populatio) mehr oder weiger gut approximiert. d.h. Wir bestimme Kewerteverteilugs ud Populatiosparameter mit Hilfe der erhobee Kewerte 7 Güte der Schätzug Aussage über die Güte der Schätzug lasse sich ahad vo Eigeschafte des Schätzers (Schätzfuktio) mache. Die Geltug dieser Verteilugsaussage für die jeweilige Realisatio ist wiederum durch die Aahme der statistische Repräsetativität bestimmt 8

5 Erwartugstreue des Schätzers Defiitio: Eie Schätzfuktio ist erwartugstreu, bzw. uverzerrt, we ihr Erwartugswert mit dem Populatioskewert übereistimmt Bsp. Kewerteverteiluge vo Ateile ud Mittelwerte sid erwartugstreu; Kewerteverteiluge vo Stichprobevariaze sid verzerrt (icht erwartugstreu). 9 Effiziez eies Schätzers Defiitio: We verschiedee Schätzer (z.b. Mittelwertskewerteverteilug ud Mediakewerteverteilug) vergliche werde, ist der Schätzer effizieter, der äher am gesuchte Populatioswert liegt Maß der Effiziez: Variaz, bzw. Stadardabweichug Je geriger die Variaz eies Schätzers, desto effizieter ist er 0

6 Kosistez eies Schätzers Defiito: Ei Schätzer ist kosistet, we bei steigedem Stichprobeumfag die Wahrscheilichkeit gege eis geht, daß die Differez zwische eier Schätzug ud dem Populatioswert beliebig klei wird d.h. Ist eie Schätzfuktio kosistet, werde die Schätzuge mit steigedem Populatiosumfag immer besser Schätze vo Populatioswerte Puktschätzug

7 Puktschätzug Hier werde mit Hilfe vo Stichprobedate Populatiosparamter geschätzt. 3 Schätze vo Populatiosateile Bei eier Zufallsauswahl mit Zurücklege ist der geschätzte Stadardfehler eies Stichprobeateils σ (p ) p ( p ) 4

8 Schätze vo Populatiosateile Bei eier Zufallsauswahl ohe Zurücklege ist der geschätzte Stadardfehler eies Stichprobeateils σ(p ) p ( p ) N N 5 Schätze vo Populatiosateile Der Stadardfehler ist maximal, we der Populatiosateil 0,5 π beträgt Die Obergerze für de Stadardfehler ergibt sich daher bei: σ( p ) 0, 5 σ( p ) 0,5 N (N ) Mit Zurücklege Ohe Zurücklege 6

9 7 Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzter Stadardfehler eies Stichprobemittelwerts (mit Zurücklege): s ) ( SS ) ( x ) ( x _ i _ i σ σ 8 Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzter Stadardfehler eies Stichprobemittelwerts (ohe Zurücklege): N N s N N ) ( SS N N ) ( ) x x ( _ i _ i σ

10 Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzte Populatiosvariaz: σ s i ( x i SS x ) 9 Schätzug vo Populatiosmittelwerte Stadardfehler der Kewerte-verteilug der geschätzte Populatios-variaz bei Zufallsauswahle aus ormalverteilte Populatioe: σ ( σ ) σ 0

11 Schätze vo Populatioswerte Itervallschätzug

12 Itervallschätzug Hier wird ei Itervall berechet, i dem der gesuchte Populatioswert mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit liegt. Sid aufwediger als Puktschätzuge aber auch sicherer. Ist da falsch, we das geschätzte Itervall de gesuchte Populatioswert icht ethält. 3 Schritt : Festlegug der Kewerteverteilug Zur Bestimmug der Itervallgreze ist die Ketis der Kewerteverteilug otwedig. Der Stichprobemittelwert ist um de Erwartugswert µ der Kewerteverteilug mit der Variaz ormalverteilt, σ / we das betrachtete Merkmal i der Populatio ormalverteilt ist. 4

13 Schritt : Festlegug der Kewerteverteilug Τ i x ( x i µ ( x ) ) x µ SS ( ) x µ s ( ) x µ σ 5 Schritt : Festlegug des Fehler-risikos ud der Quatilwerte I dem zweite Schritt ist die Etscheidug über das och akzeptierte Fehlerrisiko eier Itervallschätzug ötig. Dieses Fehlerrisiko wird als Irrtumswahrscheilichkeit ( ) bezeichet. α Wird 0% festgelegt, da überdeckt das Itervall α um de gesuchte Populatioswert 90% der Kewerte-verteilug. 6

14 SCHRITT ergäze Seite 39 ud 40 fehle. 7 Schritt 3: Bestimmug der Itervallgreze Zur Bestimmug der Itervallgreze wird die Gleichug der vorige Folie so umgeformt, daß der gesuchte Populatioswert allei i der Mitte der Ugleichug steht. Die Breite eies Kofidezitervalls hägt vo der Irrtumswahrscheilichkeit ab die der Forscher festlegt. 8 α

15 Iterpretatio vo Kofidezitervalle 9 : ; ; < A B C D E F G H I J K L G M N O M N P Q Q R S T U V W T Y V T Z [ \ ] ^ ^ T _ ` a b c d e f g h i j k l f m o l k k p i q p r k 39.. // /. 0, ! " # $ % % & ' $ ( ) 30 Abbildug aus Kühel/Krebs, 00: 43

16 Berechug vo Kofidezitervalle Kofidezitervalle für Mittelwerte: Ist ei Merkmal i der Populatio ormalverteilt ud ist die Variaz σ bekat, da ist der Stichprobemittelwert mit der Variaz um de Erwartugswert σ / ormalverteilt. µ 3 Berechug vo Kofidezitervalle Kofidezitervall für de Populatiosmittelwert vo. c.i.( z µ σ ) x± z α / α Populatiosmittelwert vo α / Wert des - / Quatils für de 3

17 Awedugsbeispiel zu Berechug eies Kofidezitervalls für eie Populatiosmittelwert. Wie hoch ist das durchschittliche Alter der Bevölkerug i der BRD? 350 ; x 46.7; s 8. Das 95%-Kofidezitervall mit Irrtumswahrscheilichkeit α 5% wird wie folgt berechet: 33 Awedugsbeispiel zu s c.i.( µ ) x ± zα / 46.7 ± ±

18 Kofidezitervalle für Ateile Kofidezitervall für de Populatiosateil der Ausprägug eies biäre Merkmals: c.i.( π ) p ± σ(p ) z α / 35 Awedugsbeispiel 48 Kostruktio eies Kofidezitervalls (für de Stimmeateil der FDP) für eie Populatiosateil (mit α 5%): 93 ; 9% wolle FDP wähle p ( p) c.i.( π) p ± z α/ ± ±