Die Mutter aller Zufallsstichprobenverfahren Die uneingeschränkte Zufallsauswahl

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1 Die Mutter aller Zufallsstichprobeverfahre Die ueigeschräkte Zufallsauswahl Das Ziehugsmodell Als erstem Stichprobeverfahre wede wir us der ueigeschräkte Zufallsauswahl vo Erhebugseiheite aus der Grudgesamtheit zu. Diese war bereits Gegestad der Beispiele 2 bis 6 i Kap. 1. Grüde, die für die Awedug ebe dieser Ziehugsmethode spreche, sid zumeist die Eifachheit der Durchführug oder dass dafür im Gegesatz zur Awedug aderer Verfahre keierlei Hilfsiformatioe beötigt werde. Gerade we das Hauptiteresse eier Erhebug die Schätzug beziehugsweise das statistische Teste vo multivariate Beziehuge der Erhebugsmerkmale ist (wie z. B. i Korrelatios- oder Regressiosaalyse), ist auch die im Vergleich zu adere Stichprobeverfahre ukomplizierte Durchführug solcher Schätzuge ei gewichtiger Vorteil der ueigeschräkte Zufallsauswahl (siehe dazu Absch. 3.2). Betrachte wir u dazu folgedes Ziehugsmodell, das als Uremodell bezeichet wird: Defiitio 8 Bei eier ueigeschräkte (oder eifache) Zufallsauswahl werde mit gleiche Auswahlwahrscheilichkeite aus N Kugel, die i der gesamte Ure ethalte sid, Kugel acheiader ohe Zurücklege gezoge. Dieses Uremodell, auf dem ueigeschräkte Zufallsauswahle basiere, wird i Abb. 2.1 dargestellt. Der etscheidede Pukt ist dabei ebe de sich daraus ergebede gleiche Auswahlwahrscheilichkeite π k für alle Erhebugseiheite ( k U), dass sich im Gegesatz zu eier Ziehug mit Zurücklege der Ureihalt währed der Ziehug laufed ädert. Das Vorgehe uterliegt also icht de i der Statistik wege der höhere Eifachheit der theoretische Ausführuge beliebte i. i. d.-bediguge (egl.: idepedet ad idetically distributed; vgl. hierzu etwa: Casella ud Berger 2002, S. 207). A. Quatember, Datequalität i Stichprobeerhebuge, Statistik ud ihre Aweduge, 33 DOI / _2, Spriger-Verlag Berli Heidelberg 2014

2 34 2 Die ueigeschräkte Zufallsauswahl Abb. 2.1 Das Uremodell bei eier ueigeschräkte Zufallsauswahl -mal Eie Stichprobe wie eie ueigeschräkte Zufallsstichprobe, die mit gleiche Auswahlwahrscheilichkeite 1. Ordug π k für alle Erhebugseiheite der Grudgesamtheit gezoge wird, et ma auch eie selbstgewichtede Stichprobe (vgl. etwa: Lohr 2010, S. 40). Jedes Elemet eier solche Stichprobe repräsetiert die gleiche Azahl a Erhebugseiheite der Populatio. Deshalb köe grafische Darstelluge wie etwa Säule-, Kreis- oder Streudiagramme, die i Hiblick auf iteressierede Häufigkeitsverteiluge eie Schlussfolgerug auf die Grudgesamtheit zulasse solle, ohe Berücksichtigug der Desiggewichte direkt aus de Rohdate der Stichprobe erzeugt werde. Die Frage ist atürlich, wie sich das Ziehugsmodell kokret i die Praxis umsetze lässt, ohe zum Beispiel die Name der Erhebugseiheite auf Zettel schreibe, diese ausscheide, i eie Schachtel werfe, kräftig durchmische ud daraus da die Stichprobe auswähle zu müsse. 2.2 Die praktische Umsetzug Die praktische Umsetzug dieses Modells beötigt eie Art vo Liste aller Erhebugseiheite. Die Ziehug der Elemete für die Stichprobe vom Umfag aus eier solche Liste ka beispielsweise durch Verwedug vo über dem Itervall [0;1] gleichverteilte Zufallszahle erfolge. Dazu köte etwa midestes Zufallszahle ε i (i = 1, 2,..., ) (z. B. mit der Excelfuktio ZUFALLSZAHL) erzeugt werde ud damit durch Multiplikatio mit der Azahl N a Erhebugseiheite i der Grudgesamtheit die immer auf die ächst größere gaze Zahl gerudete Zufallsvariable ϕ i = ε i N berechet werde (mit der Schreibweise y = x : die kleiste gaze Zahl y, für die gilt: y x). Dere Auspräguge liege da zwische 1 ud N. Ei Elemet k ist für die Stichprobe ausgewählt, we für die i-te berechete Zufallszahl gilt: ϕ i = k. Auf diese

3 2.2 Die praktische Umsetzug 35 Weise köe Elemete allerdigs auch mehrmals ausgewählt werde. Deshalb ist dieser Vorgag bei eier ueigeschräkte Zufallsauswahl ohe Zurücklege solage zu wiederhole bis verschiedee Elemete i die Stichprobe aufgeomme wurde. Liege die Erhebugseiheite der Grudgesamtheit (also die Liste) elektroisch vor, da ka ma alterativ mit gleichem Effekt beispielsweise so vorgehe: Ma ordet gleich jedem Elemet der Grudgesamtheit eie i [0;1] gleichverteilte Zufallszahl ε i (i = 1, 2,..., N) zu ud wählt diejeige Elemete für die Stichprobe aus, dee die kleiste ε-werte zugeordet wurde. Dieser letzte Schritt ist etwa i eier EXCEL-Datei durch eie eifache Sortiervorgag vorzuehme. I der Ope Source Software R ka eie solche Stichprobeziehug mit der Fuktio sample eifach bewerkstelligt werde (siehe dazu etwa: Kauerma ud Küchehoff 2011, S. 47 ff.). Machmal wird wege der eifachere Durchführbarkeit der Ziehug eie systematische Auswahl der Erhebugseiheite aus eier eifache vorliegede Liste der obe beschriebee Vorgehesweise vorgezoge, um eie ueigeschräkte Zufallsstichprobe aus eier Populatio zu ziehe. Bevor wir darauf hiweise, dass eie systematische Auswahl ur mit großer Vorsicht verwedet werde darf, wolle wir diese Prozedur beschreibe: Zuächst sid die N Erhebugseiheite der Grudgesamtheit so acheiader auszubreite, dass sich auf eier Gesamtstrecke der Läge N das erste Elemet vom Pukt 0 bis zum Pukt 1 erstreckt, das zweite vo 1 bis 2, ud so fort bis schließlich das letzte Elemet N vom Pukt N 1 bis zum Edpukt N der gesamte Strecke liegt (vergleiche mit de Bemerkuge zur systematische Auswahl i Absch. 7.1). Nu ist eie Schrittweite A so festzulege, dass sie dem Quotiete aus der Größe der Grudgesamtheit ud dem erwüschte Stichprobeumfag etspricht: A = N/. Daach wird mit eier reelle Zufallszahl im Itervall [0; A], die ma zum Beispiel i Excel geeriere ka, der Platz des erste Elemets der Stichprobe ermittelt. Vo dieser Stelle ausgehed wird jedes weitere Elemet i die Stichprobe aufgeomme, das ausgehed vom vorher erzeugte Startwert a eiem gazzahlige Vielfache der Schrittweite A ausgebreitet liegt. Beispiel 7 Soll aus eier Grudgesamtheit vo N = Elemete eie ueigeschräkte Zufallsauswahl vo = 100 Erhebugseiheite durch eie systematische Auswahl erfolge, so gilt für die Bestimmug der Schrittweite A: A = 1.000/100 = 10. Das erste Elemet wird durch eie reelle Zufallszahl bestimmt, die zwische 0 ud 10 liegt. Ageomme, es wurde 7,92 geeriert. Da besteht die Stichprobe vom Umfag = 100 aus dem 8. Elemet der Grudgesamtheit, weil es sich vo 7 bis 8 ausbreitet. Ferer werde wege 7, = 17, 92 auch das 18. Elemet aus der Liste (reicht vo 17 bis 18), wege 7, = 27, 92 das 28. Elemet ud so fort i die Stichprobe aufgeomme (siehe: Abb. 2.2). Auch für icht gazzahlige Schrittweite A werde mit dieser Vorgehesweise Stichprobe vom erwüschte Umfag gezoge, wie a Beispiel 8 erläutert wird.

4 36 2 Die ueigeschräkte Zufallsauswahl Abb. 2.2 Eie systematische Auswahl zur Erzeugug eier ueigeschräkte Zufallsauswahl aus ier Liste i Beispiel 7 A 7,92 Є [7;8] A=10 A A Beispiel 8 Soll zum Beispiel aus eier Grudgesamtheit vo N = Erhebugseiheite eie ueigeschräkte Zufallsauswahl vo = 100 Erhebugseiheite durch eie systematische Auswahl erfolge, so gilt für die Bestimmug der Schrittweite A: A = 1.005/100 = 10,05. Das erste Elemet wird durch eie reelle Zufallszahl bestimmt, die zwische 0 ud A = 10,05 liegt. Ageomme, es wurde wieder 7,92 geeriert. Da besteht die Stichprobe vom Umfag = 100 auch hier wie i Beispiel 7 aus dem 8. Elemet der Liste: Wege 7, ,05 = 17,97 sid ferer das 18. Elemet, das vo 17 bis 18 reicht, wege 7, ,05 = 28,02 da als ächstes das 29. Elemet, das vo 28 bis 29 reicht, ud so fort i die Stichprobe aufgeomme. Als ueigeschräkte Zufallsauswahl aus U ka eie solcherarts gezogee Stichprobe atürlich ur gelte, we die Aordug der Elemete i der Liste zufällig war. Stehe i eier Liste vo Ehepaare zum Beispiel immer die Fraue vor de Mäer ud ist A eie gerade Zahl, da komme auf diese Weise etweder ur Fraue oder ur Mäer i die Stichprobe. Da eie ichtzufällige Aordug der Erhebugseiheite i der Liste häufig icht so augescheilich ist, ist vo eier systematische Auswahl geerell abzurate, we die völlig zufällige Aordug icht zu 100 % gesichert ist. De i eiem solche Fall lässt sich beispielsweise die Variaz des Horvitz-Thompso-Schätzers icht bestimme, weil die otwedige Bedigug π kl > 0 icht für alle k ud l aus U gilt: Die gemeisame Auswahl vo Elemete k ud l, die icht um A Plätze voeiader etfert i der Liste stehe, ist umöglich. Liegt die Liste elektroisch vor, da ka ma atürlich durch zufällige Sortierug der Erhebugseiheite vor eier systematische Auswahl für die Zufälligkeit sorge. Allerdigs köte ma da auch gleich mit Hilfe vo Zufallszahle wie obe beschriebe ueigeschräkt zufällig aus der Liste ziehe.

5 2.3 Die Schätzug eier Merkmalssumme Die Schätzug eier Merkmalssumme Die Schätzug ud ihre Geauigkeit Im achfolgede Satz adaptiere wir de Horvitz-Thompso-Schätzer t HT = s d k y k ach (1.7) für die ueigeschräkte Zufallsauswahl vo Erhebugseiheite aus der Grudgesamtheit U: Satz 5 Der Horvitz-Thompso-Schätzer t HT = s d k y k für die Merkmalssumme t ach Defiitio 7 aus Absch. 1.4 immt bei ueigeschräkter Zufallsauswahl ( SI; egl.: simple radom samplig) der Stichprobe aus der Grudgesamtheit folgede Form a: Dabei ist y s = 1 s y k der Stichprobemittelwert vo y. Die theoretische Variaz des Schätzers t SI ist t SI = N y s (2.1) V(t SI ) = N 2 (1 f ) S2 (2.2) mit f = /N ud der zur Harmoisierug der Darstelluge der theoretische Variaz ud ihres Schätzers folgedermaße defiierte (N 1)-Variaz S 2 des Utersuchugsmerkmals y i der Grudgesamtheit U: S 2 = 1 N 1 (y k y) 2. U Der erwartugstreue Schätzer für die Variaz (2.2) ist ˆV(t SI ) = N 2 (1 f ) S2 s (2.3) mit der Stichprobevariaz Ss 2 vo y ach Ss 2 = 1 1 (y k y s s ) 2. Beweise Die Beweise ware Bestadteil der Beispiele 5 ud 6 i Absch Diese aufeiader abgestimmte, harmoische Darstellug der theoretische Variaz des Horvitz-Thompso-Schätzers bei eiem SI-Stichprobedesig, V(t SI ) = N 2 (1 f ) S2,

6 38 2 Die ueigeschräkte Zufallsauswahl ud ihrem Schätzer ˆV(t SI ) = N 2 (1 f ) S2 s ist ur deshalb möglich, weil wir i S 2 die Summe der quadrierte Abweichuge vom Mittelwert icht durch N, soder für diese Verschöerug durch N 1 dividiere. Würde wir die herkömmliche Variaz S 2 N = 1 N U (y k y) 2 verwede, da würde die theoretische Variaz vo t HT wege der Beziehug folgedermaße aussehe: S 2 = V(t SI ) = N 2 N N 1 S2 N ( ) N S2 N N 1 ud somit ihrem Schätzer ˆV(t SI ) = N 2 (1 f ) S2 s eifach icht mehr ählich sehe (siehe Beispiel 6 i Absch ). Bei im Vergleich zur Grudgesamtheit kleie Stichprobe, so dass die Grudgesamtheit aus der Sicht des Stichprobeumfags beiahe als uedlich groß erscheit, reduziere sich (2.2) ud (2.3) wege 1 f 1zuV(t SI ) = N 2 S2 beziehugsweise ˆV(t SI ) = N 2 S2 s. Der Faktor 1 f wird deshalb als Edlichkeitskorrektur bezeichet. Für ausreiched große Stichprobeumfäge ist ach (1.3) aus Absch mit ˆθ = t SI ud dem Variazschätzer ˆV( ˆθ) = ˆV(t SI ) das Itervall CI(s) = N y s ± u 1 α/2 N 2 (1 f ) S2 s (2.4) das äherugsweise Kofidezitervall zur Sicherheit 1 α für de Parameter t bei ueigeschräkter Zufallsauswahl. Beispiel 9 Mit eier ueigeschräkte Zufallsauswahl ( = 1.000) aus der Grudgesamtheit aller Haushalte eies Lades (N = ) soll die Gesamtzahl der TV- Geräte i dieser Grudgesamtheit geschätzt werde. Die Stichprobeerhebug ergab hisichtlich des Merkmals y: Zahl der TV-Geräte i eiem Haushalt folgede Häufigkeitsverteilug:

7 2.3 Die Schätzug eier Merkmalssumme 39 Azahl y i Häufigkeit h i Daraus ergibt sich: s y k = ud Ss 2 = 0,460. Der Horvitz-Thompso-Schätzer für die Gesamtzahl der TV-Geräte i alle Haushalte des Lades ist damit ach (2.1) t SI = N y s = ,02 = Das approximative Kofidezitervall zur Sicherheit 1 α = 0,95 etspricht mit (2.4): CI(s) = N y s ± u 1 α/2 N 2 (1 f ) S2 s = ± 1, (1 0,000 3) 0,460 = ± ud besitzt somit die Greze [ ; ]. Mit aäherd 95 %-iger Sicherheit wird vo diesem Itervall die iteressierede Azahl der TV-Geräte i der Grudgesamtheit überdeckt. Widme wir us kurz dem ebe der Pukt- ud Itervallschätzug dritte Aufgabegebiet der schließede Statistik (siehe Absch. 1.3), dem statistische Teste vo Hypothese. Beim Teste vo Hypothese über Merkmalssumme auf Basis des Horvitz-Thompso-Schätzers wird bei eier ueigeschräkte Zufallsauswahl der Erhebugseiheite aus der Grudgesamtheit ud zweiseitiger Fragestellug der Form H 0 : t = t 0 ud H 1 : t = t 0 ach (1.4) bei geüged große Stichprobeumfäge der Bereich [t SI,u, t SI,o ] = t 0 ± u 1 α/2 = t 0 ± u 1 α/2 [V( ˆθ) H 0 ] t 0 ± u 1 α/2 N 2 (1 f ) S2 s [ ˆV( ˆθ) H 0 ] zur Beibehaltugsregio für die Nullhypothese auf dem Sigifikaziveau α. Diese Regio umfasst jee Werte für de Schätzer t SI, die bei Gültigkeit der Nullhypothese, we also gilt, dass die Merkmalssumme de i der Nullhypothese festgelegte Wert t 0 aufweist, als icht ugewöhlich zu betrachte sid ud daher lediglich als schwache Idizie gege die Nullhypothese gewertet werde. Somit ist für t SI [t SI,u, t SI,o ] die Nullhypothese beizubehalte. Erst we der tatsächlich berechete Schätzer t SI außerhalb dieses Bereiches liegt wird die Eishypothese akzeptiert.

8 40 2 Die ueigeschräkte Zufallsauswahl Bei eiseitige Fragestelluge der Art H 0 : t t 0 ud H 1 : t > t 0 beziehugsweise H 0 : t t 0 ud H 1 : t < t 0 ist (1.5) ud (1.6) folged jeweils ur eie Schrake der Beibehaltugsregio für H 0 zu bereche. Beispiel 10 Mit de Date vo Beispiel 9 soll im betreffede Lad mit eier ueigeschräkte Zufallsauswahl ( = 1.000) aus der Grudgesamtheit aller Haushalte (N = ) überprüft werde, ob die Gesamtzahl a TV-Geräte scho über drei Millioe liegt. Die Hypothese laute somit: H 0 : t ud H 1 : t > Mit der aus der gezogee SI-Stichprobe errechete Stichprobevariaz Ss 2 = 0,460 errechet sich für diese eiseitige Fragestellug t SI,o = t 0 ± u 1 α N 2 (1 f ) S2 s ± 1, (1 0,000 3) 0, = ,0 als Obergreze der Beibehaltugsregio für die Nullhypothese. Wege t SI = N y s = ,02 = gilt: t SI t SI, o. Demzufolge liegt die Schätzug vo 3,06 Mio. TV-Geräte i dieser Beibehaltugsregio ud wir behalte auf dem Sigifikaziveau α = 0,05 die Nullhypothese bei. Die Stichprobe liefert zu schwache Idizie gege diese Hypothese. Das Testergebis wird als icht sigifikat bezeichet. Bevor wir us der Frage des erforderliche Stichprobeumfags zuwede beschäftigt sich achfolgede Defiitio mit dem Vergleich der Effiziez verschiedeer Stichprobedesigs bestehed aus Stichprobeverfahre ud Schätzmethode bei gleiche Stichprobeumfäge. Defiitio 9 Der Desig-Effekt deff (P, ˆθ) eies Stichprobeverfahres P gibt das Verhältis der theoretische Variaz des Schätzers ˆθ beim Stichprobeverfahre P zur theoretische Variaz dieses Schätzers beim Stichprobeverfahre SI bei gleiche Stichprobeumfäge beziehugsweise erwartete Stichprobeumfäge E() a: deff (P, ˆθ) = V( ˆθ P ) V( ˆθ SI )

9 2.3 Die Schätzug eier Merkmalssumme 41 Dieser Desig-Effekt besitzt im Falle des Horvitz-Thompso-Schätzers t HT somit folgede Darstellug: deff (P, t HT ) = V(t P) U V(t SI ) = kl yk π k yl π l. N 2 (1 f ) S2 Der so defiierte Desig-Effekt beschreibt für eie Horvitz-Thompso-Schätzug der Merkmalssumme t die Effiziez des Stichprobeverfahres P im Vergleich zur Referezstrategie SI. Ei Wert vo deff (P, t HT ) > 1 kezeichet somit Verfahre, die bei gleichem (erwartete) Stichprobeumfag ugeauere Horvitz-Thompso-Schätzer als das Verfahre SI produziere. Dagege zeichet deff (P, t HT ) < 1 Stichprobeverfahre aus, die gegeüber eier ueigeschräkte Zufallsauswahl bei gleichem (erwartete) Stichprobeumfag eie Geauigkeitsgewi bei der Schätzug der Merkmalssumme erziele Der erforderliche Stichprobeumfag Köe Nichtstichprobefehler weitestgehed vermiede werde ud wird eie geeigete Schätzmethode für eie Parameter oder eie iteressierede Verteilug wie die Horvitz- Thompso-Schätzug für Merkmalssumme verwedet, da sid ueigeschräkte Zufallsstichprobe ach Defiitio 2 aus Absch. 1.1 hisichtlich aller Verteiluge ud dere Parameter für die Grudgesamtheit ur da repräsetativ, we beim gewählte Stichprobeumfag auch och der für die Erhebug vorgegebee Geauigkeitsaspruch erfüllt wird. Zur kokrete Festlegug dieses Aspruchs müsse die diesbezügliche Wüsche gege die Koste der Erhebug abgewoge werde. Für die Bestimmug des für eie Erhebug erforderliche Stichprobeumfags ka das Hauptiteresse der Stichprobeerhebug bei mehrere iteressierede Variable auf ei oder zwei der wichtigste fokussiert werde. Bezeiche wir mit ε die uter diese Gesichtspukte erwüschte Geauigkeit i Form der halbe Itervallbreite des Zufallsstreifes zur Sicherheit 1 α. Daruter versteht ma jees approximative Itervall, i dem uter Voraussetzug ausreicheder Aäherug der Verteilug vo t SI a die Normalverteilug mit eier Wahrscheilichkeit vo 1 α (zumeist 0,95) der Schätzer t SI liege wird: t ± u 1 α/2 N 2 (1 f ) S2 }{{ } ε Dies ist also kei Kofidezitervall, das mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit 1 α de Parameter überdeckt, soder ei Zufallsbereich, i dem bei gegebeem Parameter mit dieser Wahrscheilichkeit der Schätzer für diese Parameter liege wird. Die Größe ε

10 42 2 Die ueigeschräkte Zufallsauswahl ist die Schwakugsbreite des Stichprobeergebisses. Um diese Wert soll die Schätzug mit der vorgegebee Wahrscheilichkeit maximal vom Parameter abweiche dürfe. Daraus lässt sich der für eie Erhebug bei ueigeschräkter Zufallsauswahl erforderliche Mideststichprobeumfag erf bestimme: 2 ε = u 1 α/2 N 2 (1 f ) S2 Schließlich gilt: ( ε 2 = u1 α/2 2 N 2 1 ) S2 N ε 2 + u 2 1 α/2 N S2 = u 2 1 α/2 N 2 S2 erf = u 2 1 α/2 N 2 S 2 ε 2 + u 2 1 α/2 N S2. (2.5) Diese also immer aufzurudede Größe erf ist der für die Eihaltug des Geauigkeitserforderisses midestes erforderliche Stichprobeumfag. Die Faktore, die desse Wert beeiflusse, sid die Sicherheit 1 α des obe beschriebee Zufallsitervalls: Soll die Sicherheit bei sost gleicher erwüschter Geauigkeit ε, gleicher Größe der Grudgesamtheit N ud gleicher (N 1)-Variaz S 2 zuehme, da muss atürlich auch erf wachse. Die Sicherheit, mit der ei Zufallsitervall das Stichprobeergebis beihalte soll, ist jedoch im Normalfall icht frei wählbar, soder wie auch bei Kofidezitervalle durch Kovetio mit 1 α = 0,95 festgelegt. Soda ist u 2 1 α/2 = 1, 962. die Größe N der Grudgesamtheit: Mit zuehmeder Größe der Grudgesamtheit wird bei kostate adere Faktore der erforderliche Stichprobeumfag größer. die (N 1)-Variaz S 2 des Utersuchugsmerkmals: Bei Merkmale, die selbst stärker als adere streue, streue atürlich auch die Stichprobeergebisse stärker. Dies bedigt da eie bei kostate adere Faktore ötige höhere Stichprobeumfag. Die (N 1)-Variaz S 2 ist klarerweise vor der Erhebug ubekat, so dass ma auf Vermutuge darüber agewiese ist. Auch auf diesbezügliche Ergebisse aus frühere Erhebuge oder vo Pretests zur aktuelle Utersuchug ka ma zurückgreife. Ferer lässt sich S 2 machmal durch eie verüftig begrüdete oder rei recherische Obergreze S 2 max limitiere (z. B. bei der Erhebug vo Azahle oder Ateile; siehe Absch ). We tatsächlich S 2 S 2 max gilt, da wird durch Eisetze vo S2 max für S2 i (2.5) die Forderug a die Geauigkeit des Stichprobeergebisses i jedem Fall erfüllt.

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