TESTEN VON HYPOTHESEN

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1 TESTEN VON HYPOTHESEN 1. Grudlage Oft hat ma Vermutuge zu Sachverhalte ud möchte diese gere durch Experimete bestätige. Dabei ka es sich i der Praxis zum Beispiel um Verteiluge vo gewisse Zufallsgröße im Allgemeie oder um kokrete Parameterwerte wie Erwartugswert, Variaz, etc. im Spezielle hadel. Hierfür hat ma sogeate Hypothesetests zur Verfügug, mit dee wir us im Folgede beschäftige werde. I diesem erste Abschitt wolle wir dafür erst eimal festlege worüber wir dabei geau spreche. Defiitio Eie Hypothese (hier: Nullhypothese H 0 ) ist eie Behauptug über eie Zufallsvariable X, die aufgrud eier Beobachtug/Stichprobe abgeleht oder ageomme werde soll. Hierfür wird der Wertebereich vo X i zwei Bereich uterteilt, de Aahme- ud de Ablehugsbereich. Eie Hypothese wird a ur eier Stichprobe getestet, daher spricht ma auch vo Eistichprobe-Tests. Bemerkug Meistes will ma die zu testede Hypothese H 0 zuguste der eigee Vermutug (Alterativhypothese H 1 ) widerlege, d.h. ma geht vor wie beim idirekte Beweis (vgl. Beispiel 1 der Vorlesug). Natürlich ka ma bei de Urteile durch Hypothesetests auch falsch liege. Besoders bei Eistichprobe-Tests muss ma die Irrtumswahrscheilichkeit gut kotrolliere. Geerell sid folgede Fehler bei Hypothesetests möglich: Eie wahre Hypothese wird abgeleht (Fehler 1. Art/α-Fehler) Eie falsche Hypothese wird ageomme (Fehler 2. Art/β-Fehler) Für das Vorgehe bei solche Test ka ma sich a dem folgede Ablaufschema orietiere. Ablaufschema 1. Schritt: Formulierug der Nullhypothese H 0 ud eier Alterativhypothese H 1, die geau da eitritt, we H 0 abgeleht wird. 2. Schritt: Festlege eier Irrtumswahrscheilichkeit/eies Sigifikaziveaus α des Tests. 3. Schritt: Agabe eier Aahmeregio A des Tests derart, dass P H0 (X Ā) α, wobei Ā = R \ A demetspreched de Ablehugsbereich bezeichet, d.h. die Aahmeregio wird so bestimmt, dass der Fehler 1. Art höchstes so groß ist wie das vorher festgelegte Sigifikaziveau α. Bemerkuge (1) Beachte Sie, dass P H0 (X Ā), also die Wahrscheilichkeit dafür, dass uter der Aahme vo H 0 die Zufallsvariable X eie Wert außerhalb des Aahmebereiches aimmt, gerade das Risiko eies Fehlers 1. Art beschreibt.

2 (2) Falls es möglich ist die Schrake geau zu bestimme, wählt ma de Aahmebereich derart, dass P H0 (X Ā) = α gilt (z.b. bei Eistichprobe- Gauß-Test). (3) Bei Uklarheit bei der Festlegug der Nullhypothese, ist H 0 so zu wähle, dass der Fehler 1. Art der schlimmere ist (vgl. Bsp. 2 der Vorlesug). (4) Üblicherweise werde i der Wisseschaft Sigifikaziveaus vo α = 5% oder α = 1% gewählt. Beispiel Eie Populatiosgröße vo N > 50 Tiere eier bestimmte Art sei für das Überlebe eier Polulatio otwedig. Mithilfe der Rückfagmethode (vgl. Übug 5) soll N durch eie Stichprobe vo = 20 Tiere utersucht werde, wobei wir aehme, dass M = 20 Tiere bereits markiert worde sid. Wir habe hier zwei, auf de erste Blick gleichberechtigte, Möglichkeite für die Nullhypothese, ämlich { N > 50 H 0 : N 50. Aders als i de bisherige Beispiele der Vorlesug gibt es hier keie zugrudeliegede Vermutug oder bestehede Hypothese; hier etscheidet der Fehler 1. Art über die Festlegug der Nullhypothese. Wie i der vorherige Bemerkug beschriebe, müsse wir H 0 uter de beide Möglichkeite so wähle, dass der Fehler der 1. Art bei dieser Wahl der schlimmere ist. Lehe wir die Hypothese N > 50 fälschlicherweise ab, hat das lediglich zur Folge, dass wir uötigerweise Maßahme zur Erhaltug der Populatio ergreife, wohigege ei fälschliches Ablehe der Hypothese N 50 dazu führe würde, dass die Populatio, etgege userer Aahme, aussterbe würde. Orietiere wir us also a der Schwere des Fehlers 1. Art, müsse wir als Nullhypothese H 0 : N 50 festlege. Ist u N klei, so ist der Ateil der markierte Tiere i userer Stichprobe wahrscheilich groß, d.h. der Wert vo X = Azahl der markierte Tiere i der Stichprobe ist relativ groß. Als Etscheidugsregel für usere Test lege wir daher fest, dass wir H 0 ablehe, falls X = k k 0 gilt, wobei wir och überlege müsse wie groß die Schrake k 0 gewählt werde sollte. Diese Etscheidugsregel drückt aus, dass wir H 0 ablehe, we die Azahl der markierte Tiere i der Stichprobe zu klei ist (wir erwarte ja eie hohe Ateil), um mit agemesseer Wahrscheilichkeit mit der Nullhypothese verträglich zu sei. Was geau diese agemessee Wahrscheilichkeit bedeutet, wird durch die Wahl der Schrake k 0 bzw. durch das Sigifikaziveau α des Test bestimmt, de das Risiko für eie Fehler 1. Art ist gerade gegebe durch P N (X k 0 ) für N 50. Demetspreched ist k 0 bei gegebeem Sigifikaziveau α bestimmt durch die Forderug P N (X k 0 ) < α für alle N 50, bzw. durch P 50 (X 50) < α, da P N1 (X k 0 ) < P N2 (X k 0 ) für N 1 < N 2. Für die Bestimmug vo k 0 bei α = 0.01 etehme wir der Wertetabelle (X ist ach Aahme hypergeometrisch verteilt ach H 50,20,20 ) k P 50 (X k) Wir ehme u das größte k, so dass P 50 (X k) < α, d.h. k 0 = 3. Wir ehme das größte solche k, da da das Risiko eies Fehlers 2. Art, P N (X > k 0 )

3 für N > 50, am kleiste ist. Hier ist also ei Iteresseausgleich otwedig, de eie Verkleierug des Fehlers 1. Art, d.h. eie kleiere Wahl vo k 0, etspricht eier Vergrösserug des Fehlers 2. Art. Der Aahmebereich für usere Test ist ach userer Wahl vo k 0 also N 4 ud der Ablehugsbereich ist demach N 3 = {0, 1, 2, 3}. Das Risiko eies Fehlers 1. Art ist P N (X N 3 ) P 50 (X N 3 ) = P 50 (X 3) < α. 2. Teste vo Hypothese über de Erwartugswert I de Übuge wurde bereits der Eistichprobe-Gauß-Test eigeführt. Hierbei betrachte wir eie Messreihe x 1,..., x mit X N(µ, σ 2 ) ud bekater Variaz σ 2. Getestet werde hierbei Hypothese über de Erwartugswert µ, beispielsweise die Nullhypothese H 0 : E(X) = µ 0 mit etsprecheder Alterativhypothese H 1 : E(X) µ 0 mithilfe der Testgröße X µ 0 σ/, die uter Aahme der Nullhypothese stadardormalverteilt ist. I diesem Fall erhalte wir P ( z 1 α/2 X µ 0 σ/ z 1 α/2) = P ( X µ 0 σ/ z 1 α/2) P ( X µ 0 σ/ z 1 α/2) bzw. = Φ(z 1 α/2 ) Φ( z 1 α/2 ) = Φ(z 1 α/2 ) (1 Φ(z 1 α/2 )) = 1 α/2 (1 (1 α/2)) = 1 α P (µ 0 σ z 1 α/2 X µ 0 + σ z 1 α/2 ) = 1 α. [ ] Wir ehme daher H 0 a, falls x µ 0 σ z 1 α/2, µ 0 + σ z 1 α/2 ud α ist das Niveau des Tests. Nebe dieser Nullhypothese gibt es och die eiseitige Alterative für de Erwartugswert. Dere Aahmebereiche berechet ma gaz aalog. Wir halte die Ergebisse i der folgede Tabelle fest. Gauß-Test H 0 wird ageomme, falls H (1) 0 : E(X) = µ 0, H (1) 1 : E(X) µ 0 µ 0 σ z 1 α/2 x µ 0 + σ z 1 α/2 H (2) 0 : E(X) µ 0, H (2) 1 : E(X) < µ 0 µ 0 σ z 1 α x H (3) 0 : E(X) µ 0, H (3) 1 : E(X) > µ 0 x µ 0 + σ z 1 α t-test: Ist i der obige Situatio die Variaz icht bekat, so muss sie mittels s 2 = 1 1 i=1 (x i x) 2 geschätzt werde. Wie bei der Berechug der Kofidezitervalle müsse i diesem Fall i der obige Tabelle lediglich σ durch s = s 2 ud die Quatile z 1 γ der Stadardormalverteilug durch die der etsprechede t-verteilug t 1,1 γ ersetzt werde. t-test H 0 wird ageomme, falls H (1) 0 : E(X) = µ 0, H (1) 1 : E(X) µ 0 µ 0 s t 1,1 α/2 x µ 0 + s t 1,1 α/2 H (2) 0 : E(X) µ 0, H (2) 1 : E(X) < µ 0 µ 0 s t 1,1 α x H (3) 0 : E(X) µ 0, H (3) 1 : E(X) > µ 0 x µ 0 + s t 1,1 α

4 Biomialtest: Tests über de Erwartugswert bei Beroulli-Experimete et ma Biomialtests. Hierbei ist also X B 1,p, d.h. X(Ω) = {0, 1} mit Erwartugswert E(X) = p ud Variaz V (X) = p(1 p). Für hireiched umfagreiche Messreihe ist auch hier die stadardisierte Variable wieder aäherd ormalverteilt ud wir erhalte, wie obe, folgede Ergebisse Test H (1) 0 : E(X) = p 0, H (1) 1 : E(X) p 0 p 0 H (2) 0 : E(X) p 0, H (2) 1 : E(X) < p 0 p 0 H (3) 0 : E(X) p 0, H (3) 1 : E(X) > p 0 x p 0 + H 0 wird ageomme, falls z 1 α/2 x p 0 + z 1 α x z 1 α z 1 α/2 Da X jedoch icht ormalverteilt ist, muss groß sei, damit ma hier de Zetrale Grezwertsatz awede ka. Als Faustregel verwedet ma hier die Bedigug p 0 (1 p 0 ) 9. Diese Bedigug muss also jeweils vor Awedug des Biomialtests überprüft werde. Beispiel Ei Uterehme der Pharmaidustrie behauptet, dass bei eiem bestimmte Medikamet bei icht mehr als 2% der Patiete Nebewirkuge auftrete. Um diese Aussage zu überprüfe, betrachte wir die B 1,p -verteilte Zufallsvariable { 1, bei Nebewirkuge X = 0, sost. ud teste die Nullhypothese H 0 : p 0.02 zum Niveau α = 5%. Hierzu führe wir eie Versuch mit = 800 Teilehmer durch, bei dem wir bei 2.9% der Probade Nebewirkuge feststelle. Da die Bedigug p 0 (1 p 0 ) = = erfüllt ist, köe wir de Biomialtest i diesem Fall verwede. Wir ehme also ach obige Überleguge H 0 a, falls p0 (1 p 0 ) = x p 0 + z 1 α = = wobei wir das Ergebis auf drei Stelle hiter dem Komma gerudet habe. Aufgrud useres Tests müsse wir daher H 0 (zum Niveau α = 5%) ablehe. 3. Chi-Quadrat-Test Defiitio Ei Apassugstest (auch Goodess-of-fit-Test) ist ei Hypothesetest, der die Übereistimmug eier hypothetische Wahrscheilichkeitsverteilug eier Zufallsvariable mit eier vorliegede Stichprobe utersucht, d.h. es wird die Hypothese überprüft, dass eie vorliegede Stichprobe aus eier Verteilug mit eier bestimmte (vermutete) Verteilugsfuktio stammt. Der χ 2 -Apassugstest utersucht diese Art vo Hypothese mittels eier χ 2 -verteilte Testprüfgröße (vgl. hierzu auch χ 2 -Uabhägigkeits- ud Homogeitätstest).

5 Gegebe seie Messwerte x 1,..., x eies Merkmals X, desse Wahrscheilichkeitsverteilug ubekat sei. Das folgede Ablaufschema beschreibt die Vorgehesweise bei der Aufstellug ud Überprüfug eier Hypothese H 0 über de (vermutete) kokrete Verteilugstyp vo X. Ablaufschema 1. Schritt: Überleguge zum stochastische Modell z.b. durch grafische Darstellug oder theoretische Herleitug. 2. Schritt: Bestimmug der Parameter des Verteilugstyps durch geeigete Puktschätzuge, z.b. für Biomialverteilug: Schätzug vo p durch das arithmetische Mittel der Stichprobe, d.h. bei k Erfolge durch ˆp = k/. Poisso-Verteilug: Schätzug vo λ durch das arithmetische Mittel der Stichprobe. Normalverteilug: Schätzug vo µ durch das arithmetische Mittel ud vo σ durch Stadardabweichug der Stichprobe. A dieser Stelle sei dara eriert, dass das arithmetische Mittel 1/ i=1 x i der Stichprobe gerade dem Erwartugswert der empirische Verteilug etspricht. 3. Schritt: Apassugstest: χ 2 -Test. Es seie x 1,..., x Messuge des Merkmals X, die i k disjukte Klasse K i mit Klassehäufigkeite i, i {1,..., k}, falle, d.h. isbesodere ist = k i=1 i. Aufgrud userer Vorüberleguge köe wir da die theoretische Wahrscheilichkeite p i = Wahrscheilichkeit, dass X eie Realisatio i K i aimmt agebe. Die Testgröße T χ 2 = k ( i p i ) 2 i=1 p i ist da ei Maß für die Abweichug der theoretische Klassehäufigkeite p i, die user vermutetes Modell vorgibt vo de tatsächliche Klassehäufigkeite i, d.h. T χ 2 misst, i gewisser Hisicht, wie gut die Date zur vermutete Verteilug passe. Ma ka zeige, dass für hireiched große i die Testgröße T χ 2 aäherd χ 2 - verteilt mit k 1 r Freiheitsgrade ist, wobei r die Azahl der Parameter ist, die im zweite Schritt geschätzt werde müsse, d.h. z.b. bei Gleichverteilug: r = 0, also T χ 2 χ 2 k 1, Poisso-Verteilug/Biomialverteilug: r = 1, also T χ 2 χ 2 k 2, Normalverteilug: r = 2, also T χ 2 χ 2 k 3. Ist u H 0 wahr, so ist T χ 2 sehr wahrscheilich klei, d.h. wir lehe H 0 bei zu großem Prüfwert ab. Ausgehed vo eier χ 2 -Verteilug der Testgröße T χ 2 bedeutet das kokret, dass wir bei eiem Sigifikaziveau α die Nullhypothese H 0 ablehe, falls T χ 2 > χ 2 k 1 r;1 α, wobei wir mit χ2 k 1 r;1 α wieder das (1 α)-quatil der χ 2 k 1 r-verteilug bezeiche. Der Aahmebereich ist daher bei diesem Test gegebe durch das Itervall (, χ 2 k 1 r;1 α ].

6 Beispiel Bei eiem Kreuzugsversuch mit Fruchtfliege wurde ormalfarbige ud ormalflügelige Fliege mit schwarzfarbige ud stummelflügelige Fliege gekreuzt. I der F2-Geeratio ergab der Versuch 385 Fruchtfliege, 205 ormalfarbig ud ormalflügelig 65 ormalfarbig ud stummelflügelig wovo 68 schwarzfarbig ud ormalflügelig 20 schwarzfarbig ud stummelflügelig ware. Nach Medels Theorie müsste das Verhältis 9 : 3 : 3 : 1 sei. Wir stelle us daher die Frage, ob ma Medels Theorie mithilfe des χ 2 -Tests bei eiem Sigifikaziveau vo α = 1% auf Grudlage dieses Versuchs aehme ka. Hierzu teile wir die F2-Geeratio wie folgt i vier Klasse K i ei K 1 : ormalfarbig ud ormalflügelig, K 2 ormalfarbig ud stummelflügelig, K 3 schwarzfarbig ud ormalflügelig, schwarzfarbig ud stummelflügelig. K 4 Die theoretische Klassewahrscheilichkeite p i erhalte wir aus Medels Theorie durch p 1 = 9/16, p 2 = 3/16, p 3 = 3/16, p 4 = 1/16 ud somit ( /16)2 T χ 2 = / ( /16) /16 + ( /16) /16 + ( /16) /16 Da hier im Vorhiei keie Parameter geschätzt werde, etehme wir aus der Tabelle der χ 2 -Verteilug das Quatil χ 2 3;0.99 = als Greze des Aahmebereichs. Da T χ 2 < χ 2 3;0.99 gilt, bestätigt somit dieser Versuch Medels Theorie bei eiem Sigifikaziveau vo 1%.