10. Intervallschätzung 10.1 Begriff des Konfidenzintervalls

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1 10. Itervallschätzug 10.1 Begriff des Kofidezitervalls Mit uterschiedliche Stichprobe werde verschiedee Puktschätzer für de Parameter der Grudgesamtheit erzielt. We m Stichprobe aus der Grudgesamtheit etomme werde, da lasse sich daraus bis zu m verschiedee Schätzwerte bereche. Die Puktschätzer werde aufgrud des Stichprobefehlers im Allgemeie auch vo abweiche. ˆ Beispiel 10.1: Gegebe sid m=4 Stichprobe, die der Grudgesamtheit etomme wurde. Für de ubekate Erwartugswert µ der Grudgesamtheit wird die Schätzfuktio eigesetzt. Die beobachtete Realisatioe vo sid die arithmetische Mittel x l der Stichprobewerte, wobei l=1,...,4 ist. Folgedes Ergebis wurde ermittelt: X l x 1 14,5 16,0 15,5 14,8 We u z.b. µ=15 ist, da liegt die i der folgede Abbildug dargestellte Situatio vor. X ˆ

2 Abbildug: Puktschätzug x 1 µ=15 Nr. der Stichprobe Wir sehe, dass sich die Stichprobemittelwerte die alle Realisatioe der erwartugstreue, effiziete ud kosistete Schätzfuktio X sid, uterscheide. Außerdem wird mit keier Puktschätzug der wahre Parameter µ=15 getroffe. Die Gütekriterie für Schätzfuktioe beziehe sich ur auf de Durchschitt vo Stichprobe, icht aber auf eie kokrete Stichprobe. Außerdem ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Puktschätzer ˆ eie Schätzwert liefert, der mit dem ubekate Parameter der Grudgesamtheit,, übereistimmt, klei (bei stetige Zufallsvariable gleich 0). Wir köe aber isbesodere icht beurteile, wie verlässlich der kokrete Schätzwert für ist. Um zumidest de Bereich abzugreze, i dem der ubekate Parameter erwartet werde ka, geht ma zu eier Itervallschätzug über. x 1

3 ˆ Ausgehed vo eier Puktschätzug wird bei der Itervallschätzug ei Itervall [c 1,c ] mit c 1 <c agegebe, i dem der ubekate Parameter bei viele Wiederholuge der Stichprobeziehug häufig, d.h. mit hoher Wahrscheilichkeit liegt. Die Greze dieses Itervall c 1 = -d 1 ud c = +d, werde dabei aus derselbe Stichprobe wie der Schätzwert ermittelt, d.h. c 1 ud c sid Realisatioe vo Zufallsvariable, die im allgemeie vo Stichprobe zu Stichprobe schwake. Beispiel 10.: We im Beispiel 10.1 d 1 = d = 0,8 ist, da erhält ma ˆ l x 1 [c1, c ] 1 14,5 [13,7 ; 15,3] 16,0 [15, ; 16,8] 3 15,5 [14,7 ; 16,3] 4 14,8 [14,0 ; 15,6] ˆ Das arithmetische Mittel i der Grudgesamtheit μ befidet sich aahmegemäß bei 15. Damit stimmt kei Puktschätzer (= Stichprobemittel) mit μ überei. Jedoch wird der wahre Parameter µ=15, de wir vorher mit keier Puktschätzug getroffe habe, i drei vo vier, d.h. vo 75% der Itervalle überdeckt. Grafisch ist diese Situatio i der achfolgede Abbildug wiedergegebe. ˆ

4 Abbildug: Itervallschätzug Stichprobe 4 Stichprobe 3 Stichprobe Stichprobe c, 1 c Ei Itervall [C 1,C ], das mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- de ubekate Parameter der Grudgesamtheit ethält, heißt Kofidez- oder Vertrauesitervall für zum Niveau 1-: (10.1) P(C 1 C ) = 1-. Für das Kofideziveau wird zumeist 1-=0,95 oder 1-=0,99 gewählt. Die Itervallgreze C 1 ud C sid hierbei Stichprobefuktioe, d.h. Zufallsvariable, die sich aus de Stichprobevariable X 1, X,..., X ergebe. Gleichug (10.1) gibt die Situatio vor der Stichprobeziehug wieder.

5 Nach der Stichprobeziehug liege kokrete Werte c 1 ud c für die Itervallgreze vor. [c 1, c ] ist also das kokrete Kofidezitervall zum Niveau 1-. Da die Greze c 1 ud c feste Größe sid ud der Parameter eie Kostate ist, lässt sich ach Ziehe der Stichprobe keie Wahrscheilichkeitsaussage mehr mache. Vielmehr ist das kokrete Kofidezitervall mit eier Häufigkeitsaussage verbude. Ei auf diese Weise kostruiertes Kofidezitervall wird i (1-) 100% aller Fälle de ubekate Parameter der Grudgesamtheit überdecke. Übersicht: Arbeitsschritte bei der Berechug des Kofidezitervalls Arbeitsschritte 1. Schritt: Festlegug des Kofideziveaus 1-. Schritt Wahl eies (1-)-Kofidezitervalls 3. Schritt: Ermittlug des (1-/)-Quatils 4. Schritt: Bestimmug des kokrete (1-)- Kofidezitervalls

6 10. Kofidezitervalle für de Erwartugswert A. Kofidezitervall für bei bekater Variaz Um das Kostruktiosprizip ud die Eigeschafte vo Kofidezitervalle zu erläuter, uterstelle wir zuächst, dass die Variaz der Grudgesamtheit bekat ist. Außerdem ehme wir a, dass die betrachtete Zufallsvariable X ormalverteilt ist. Aahme 1a: Variaz bekat Aahme a: Grudgesamtheit ormalverteilt Als Puktschätzer für verwede wir das arithmetische Mittel der Stichprobe,, das ei erwartugstreuer, effizieter ud kosisteter Schätzer für Erwartugswert ist. Da X ormalverteilt ist mit de Parameter ud /, X ~ N(, /), ist die stadardisierte Zufallsvariable (=stadardisiertes Stichprobemittel) X (10.) Z stadardardormalverteilt. X

7 Abbildug: Dichtefuktio der Stadardormalverteiltug mit symmetrischem Itervall / 1- / Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable Z i das symmetrische Itervall zwische z 1-/ ud z 1-/ fällt: (10.3) z Z z P z Z z P Nach Eisetze vo (10.) für Z erhält ma X (10.4) P z1 z1 1. Bei bekatem µ ud ist (10.4) das zetrale Schwakugsitervall für das stadardisierte Stichprobemittel..

8 Durch elemetare Umformuge erhalte wir daraus das gesuchte Kofidezitervall für de ubekate Parameter µ der Grudgesamtheit zum Niveau 1-: P z1 P z1 P X z1 X X z1 z1 X z1 Wird mit -1 multipliziert, kehre sich die Ugleichheitszeiche um. Ma erhält da PX z1 X z1 ud ach Umstellug schließlich (10.5) PX z1 X z1 1 Das Itervall (10.5) ist das Kofidezitervall für de ubekate Erwartugswert µ eier Grudgesamtheit zum Niveau 1-, sofer die Grudgesamtheit ormalverteilt ud ihre Variaz bekat ist

9 Diese Aussage, die eie Schluss vo der Stichprobe auf die ubekate Grudgesamtheit wiedergibt (idirekter Schluss), bezieht sich auf die Situatio vor der Ziehug der Stichprobe. Ma beachte, dass der idirekte Schluss vollstädig auf de direkte Schluss zurückgeführt werde ka (Schluss vo der Grudgesamtheit auf die Stichprobe). We die Stichprobe etomme wird, da wird im Kofidezitervall die Schätzfuktio durch de festgestellte Stichprobemittelwert ersetzt. Wir erhalte auf diese Weise das kokrete (1-α)-Kofidezitervall (10.6) X x z1, x z1 i dem der ubekate Parameter µ im Mittel i (1-) 100% aller Fälle ethalte ist. Approximative Gültigkeit des Kofidezitervalls (10.5) bei icht-ormalverteilter Grudgesamtheit, we Aahme a durch Aahme b: großer Stichprobeumfag (Faustregel: >30) ersetzt wird ( Zetraler Grezwertsatz). x

10 Beispiel 10.: I eier Brauerei ist eie Abfüllalage für Bier auf eie Sollmege vo 1 hl (= 100 l) pro Fass eigestellt worde. Der Hersteller der Alage hat agegebe, dass die Abfüllmege mit eier Stadardabweichug vo 0,3 l streue. Im Zeitablauf ist es möglich, dass die Sollmege vo 1 hl icht kostat bleibt, so dass die Abfüllmaschie eu justiert werde muss. Der Produktiosleiter hat Bedeke, ob die Sollmege tatsächlich och 1 hl beträgt, achdem bei eier Stichprobe vo 50 Fässer Bier eie durchschittliche Abfüllmege vo 100, l gemesse worde ist. Er bestimmt ei 95%-Kofidezitervall um zu überprüfe, ob der Produktiosprozess och uter de gesetzte Bediguge verläuft. Schritt 1: Festlegug des Kofideziveaus 1- Das Kofideziveau 1 ist hier i der Aufgabe vorgegebe ud beträgt 0,95. Schritt : 95%-Kofidezitervall für Gesucht ist ei Kofidezitervall für de Mittelwert der Grudgesamtheit (=Sollmege). Als Puktschätzer wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug ist hier aufgrud der Herstelleragabe vorgegebe. Aufgrud des Zetrale Grezwertsatzes (Faustregel: =50 > 30) ist das ormalverteilte Kofidezitervall azuwede. PX z,975 X z0, ,95

11 Schritt 3: Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,975 der Stadardormalverteilug Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der Stadardormalverteilug: ( z) 0,95 z 1,96 Schritt 4: Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls x Mit = 50, = 100, ud = 0,3 erhält ma das kokrete 95%-Kofidezitervall x z0,975, x z0, , 1,96 0,3 50 ; 100, 1,96 0, , 0,083 ; 100, 0, ,117 ; 100,83. Iterpretatio: Aufgrud der vorliegede Stichprobe erstreckt sich das 95%-Kofidezitervall auf eie Bereich vo 100,117 l bis 100,83 l. Da dieses Itervall die eigestellte Soll- Abfüllmege vo 100 l icht ethält, ka icht mehr davo ausgegage werde, dass der Produktiosprozeß och uter de gesetzte Bediguge verläuft. Die Firma wird daher die Abfüllalage eu justiere.

12 B. Kofidezitervall für bei ubekater Variaz (kleie Stichprobe) Aahme 1b: Variaz ubekat Aahme a: Grudgesamtheit ormalverteilt I diesem Fall werde Puktschätzer für ud zur Bestimmug des Kofidezitervalls beötigt. Als Puktschätzer für verwede wir wiederum das arithmetische Mittel der Stichprobe. Als Puktschätzer für die Variaz wird die erwartugstreue Schätzfuktio 1 S Xi X 1i1 verwedet. Da die Grudgesamtheit ormalverteilt ist, ihre Variaz jedoch aus der Stichprobe geschätzt werde muss, ist die stadardisierte Zufallsvariable (=stadardisiertes Stichprobemittel) (10.7) X T S X t-verteilt mit -1 Freiheitsgrade.

13 Exkurs: t-verteilug Die t-verteilug (Studet-t-Verteilug) gehört zu de stetige Verteilugsmodelle ud verläuft symmetrisch um de Nullpukt. Ihre Dichtefuktio ist i Abhägigkeit vo der Azahl der v Freiheitsgrade i achfolgede Abbildug dargestellt. Die t-verteilug ist flacher ud hat breitere Ede als die Stadardormalverteilug. Damit hat sie eie größere Streuug als die Stadardormalverteilug. Sie ergibt sich dadurch, dass mit der Verwedug des Puktschätzers S für die Variaz der Grudgesamtheit ei gewisser Verlust a Geauigkeit eihergeht. We der Stichprobeumfag ud damit auch die Zahl der Freiheitsgrade über alle Greze wächst, geht die t-verteilug i die Stadardormalverteilug über. Abbildug: Dichtefuktioe der t-verteilug ud Normalverteilug f ( t ), f ( z ) t 100 t 60 t 0 N 0 ; 1, t t, z

14 Begriff der Freiheitsgrade Die Summe der Abweichuge der Realisatioe x i der Zufallsvariable X vo ihrem Erwartugswert bei -maliger Wiederholug eies Zufallsvorgags, ( xi ) (x1 ) (x )... (x ) i 1, hat Freiheitsgrade, da sie beliebige Werte aehme ka. Dies ist jedoch icht mehr der Fall, we der Erwartugswert durch de Puktschätzer x ersetzt wird. Die Summe der Abweichuge der Realisatioe x i der Zufallsvariable X vom Stichprobemittelwert ist aufgrud der Schwerpukteigeschaft des arithmetische Mittels gleich 0: (E1) ( xi x) (x1 x) (x x)... (x x) 0 i 1. We -1 Abweichuge (x i - ) gegebe sid, liegt aufgrud der Bedigug (Restriktio) E1 die -te Abweichug (x - ) fest: (xi x) (x1 x) (x x)... (x 1 x) (x x) 0 i1 gegebe icht mehr frei var iierbar x x x Ma sagt daher, dass die Abweichugssumme E1-1 Freiheitsgrade hat, was auch für die Abweichugsquadratsumme ud damit für die Stichprobevariaz s zutrifft. Allgemei gilt, dass mit jedem zusätzlich geschätzte Parameter 1 Freiheitsgrad verlore geht.

15 Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable T i das symmetrische Itervall zwische t -1;1-/ ud t -1;1-/ fällt: (10.8) t T t P t T t P 1, 1,1 1,1 1,1 1 t -1;1-/ ist das (1-/)-Quatil eier t-verteilug mit -1 Freiheitsgrade Nach Eisetze vo (10.7) für T erhält ma X μ P t1,1 α t1,1 α 1 α S Nach eiige Umformuge erhält ma hieraus das Kofidezitervall für µ zum Niveau 1-: (10.9) S S P X t1,1 α μ X t1,1 α 1 α Das Itervall (10.9) ist das Kofidezitervall für de ubekate Erwartugswert µ eier Grudgesamtheit zum Niveau 1-, sofer die Grudgesamtheit ormalverteilt ud ihre Variaz ubekat ist. Da die t-verteilug für gege die Stadardormalverteilug strebt, kommt das t-verteilte Kofidezitervall bei kleie Stichprobe zur Awedug, so-fer die Variaz ubekat ist (Faustregel: 30)..

16 Kokretes (1-)-Kofidezitervall für bei ubekater Variaz (kleier Stichprobeumfag): (10.10) s x t1,1 α, x t1,1 α s I dem kokrete Kofidezitervall (10.10) sid die Zufallsvariable ud S durch ihre Stichproberealisatioe ersetzt worde. Es ethält im Durchschitt i (1-) 100% aller Fälle de ubekate Parameter µ der Grudgesamtheit. Vergleich eiiger (1-/)-Quatile der t-verteilug bei alterative Stichprobeumfäge mit de etsprechede Quatile z 1- / der Stadardormalverteilug: X t -1,1-/ 1- = 5 = 10 = 30 = 60 = z 1-/ 0,95,776,6,045,000 1,960 1,960 0,99 4,604 3,50,756,660,576,576

17 Beispiel 10.3: Wie i Beispiel 10. soll eie Abfüllalage für Bier daraufhi überprüft werde, ob sie korrekt auf eie Sollmege vo 1 hl (= 100 l) pro Fass eigestellt ist. Im Uterschied zum vorherige Beispiel fehlt eie Herstelleragabe über die Streuug der Abfüllmege. Sie ist vielmehr aus eier Stichprobe vo 5 Fässer Bier berechet worde. Hierbei ergab sich eie durchschittliche Abfüllmege vo 100, l bei eier Stadardabweichug vo 0,8 l. Wie lautet uter diese Bediguge das 95%-Kofidezitervall für die durchschittliche Abfüllmege (=Sollmege)? Schritt 1: Festlegug des Kofideziveaus 1- Das Kofideziveau 1 ist hier i der Aufgabe vorgegebe ud beträgt 0,95. Schritt : 95%-Kofidezitervall für Gesucht ist ei Kofidezitervall für de Mittelwert der Grudgesamtheit (=Sollmege). Als Puktschätzer wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug der Grudgesamtheit,, wird aufgrud der fehlede Herstelleragabe durch die Stadardabweichug der Stichprobe, S, geschätzt. Aufgrud des kleie Stichprobeumfags (Faustregel: =5 < 30) ist das t-verteilte Kofidezitervall S S P X t4;0,975 X t4;0, 975 0,95 azuwede.

18 Schritt 3: Ermittlug des (1-/)-Quatil t 4;0,975 der t-verteilug Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der t-verteilug mit -1=4 Freiheitsgrade: t 4;0,975 =,06. Schritt 4: Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls Mit = 5, X = 100, ud s = 0,8 erhält ma das kokrete 95%-Kofidezitervall s x t4;0,975, x t4;0, ,,06 0,8 5 ; 0,8 100,, , 0,115 ; 100, 0, ,085 ; 100,315. Iterpretatio: Da das kokrete 95%-Kofidezitervall die ursprügliche Sollmege vo 100 l icht überdeckt, ist Abfüllalage eu zu adjustiere. s

19 C. Kofidezitervall für bei ubekater Variaz (große Stichprobe) Aahme 1b: Variaz ubekat Aahme b: großer Stichprobeumfag (>30) Da die t-verteilug für gege die Stadardormalverteilug strebt, geht das t-verteilte Kofidezitervall (10.9) bei großem Stichprobeumfag i das ormalverteilte Kofidezitervall (10.11) S PX z1 X z1 S 1 über (Faustregel: >30). Die Aahme eier ormalverteilte Grudgesamtheit ist hier icht mehr erforderlich, da die Normalverteilug der Greze des Kofidezitervalls aus dem Zetrale Grezwertsatz folgt. Kokretes (1-)-Kofidezitervall für bei ubekater Variaz (großer Stichprobeumfag): (10.1) s x z1, x z1 s

20 Beispiel 10.3: Hauptursache für Löcher bei Iveture im Eizelhadel sid Kudediebstähle. Eie Stichprobeerhebug bei 30 Eizelhadelsuterehme i eier Regio ergab, dass bei 1600 Ladediebstähle i eiem Geschäftsjahr im Durchschitt Ware im Wert vo 101,50 etwedet worde sid. Der Wert der etwedete Ware variiert dabei mit eier Stadardabweichug vo 60. a) Wie lautet das 99 %-Kofidezitervall für de durchschittliche Wert der Diebstähle? Schritt 1: Festlegug des Kofideziveaus 1- Das Kofideziveau 1 ist hier i der Aufgabe vorgegebe ud beträgt 0,99. Schritt : 99%-Kofidezitervall für Gesucht ist ei Kofidezitervall für de Mittelwert aller Kudediebstähle (=Grudgesamtheit). Als Puktschätzer für wird daher das Stichprobemittel X verwedet, die Stadardabweichug aller Kudediebstähle,, wird durch die Stadardabweichug der Stichprobe, S, geschätzt. Aufgrud des große Stichprobeumfags (Faustregel: =1600 > 30) ka trotz fehleder Ketis der Variaz das ormalverteilte Kofidezitervall S S PX z0,995 X z0, 995 0,99 agewadt werde.

21 Schritt 3: Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,995 der Stadardormalverteilug Zu dem Kofideziveau 1- = 0,99 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,995-Quatil der Stadardormalverteilug: Ψ(z) 0,99 z,5758 Schritt 4: Bestimmug des kokrete 99%-Kofidezitervalls Mit = 1600, = 101,50 ud s = 60 erhält ma das kokrete 99%- Kofidezitervall s s x z0,995, x z0, 995 X 101,50, , ,50, ,50 3,86, 101,50 3,86 97,64, 105,36. Iterpretatio: Als Itervallschätzug für die durchschittliche Höhe der Diebstähle erhält ma bei eiem Kofideziveau vo 99% eie Bereich vo 97,64 bis 105,36.

22 b) Wir iteressiere us u dafür, wie hoch ma bei eiem Kofideziveau vo 99% de Werteverlust zu veraschlage hat, we die Eizelhadelsuterehme vo Kudediebstähle ud eier Aufklärugsquote vo 60% ausgehe köe. Es wird damit gerechet, dass 40% der Diebstähle, also 1900 Diebstähle icht aufgeklärt werde. Da ur durch diese Diebstähle ei Verlust etsteht, ist hier vo eiem Umfag der Grudgesamtheit i Höhe vo N=1900 auszugehe. Es bezeichet 1 N x i N i1 die durchschittliche Höhe der Kudediebstähle i der Grudgesamtheit mit dem Umfag N, so dass N N x i i1 der Werteverlust ist, der bei N=1900 Diebstähle auftrete wird. Da µ ubekat ist, ist atürlich auch Nµ ubekat. Gesucht ist also das 99%-Kofidezitervall für Nµ. Hierzu beötige wir die Variaz des Schätzers N X für Nµ, V NX N VX N da µ durch X geschätzt wird. Bei ubekater Variaz i der Grudgesamtheit wird durch S ersetzt. Die Stadardabweichug der Zufallsvariable N X ist da

23 durch gegebe. Var NX N S Daraus erhält ma das 99 %-Kofidezitervall für Nµ: P NX z oder P N X z 0,995 0,995 NS S N N NX z 0,995 N X z NS 0,99 1 S 0,99. Offebar erhält ma die Itervallgreze des Kofidezitervalls für Nµ, idem die Greze des Kofidezitervalls für µ mit N multipliziert werde. Mit N=1900 ergibt sich als kokretes Kofidezitervall: [190097,64; ,36] [ ; 091] I durchschittlich 99 % aller Fälle ist der Werteverlust durch Kudediebstähle i diesem Itervall ethalte. Dieses Ergebis gilt allerdigs ur da, we etwa 40% der Diebstähle icht aufgeklärt werde.

24 10.3 Kofidezitervall für de Ateilswert Gesucht ist ei Kofidezitervall für de ubekate Ateil p der Merkmalsträger mit eier Eigeschaft A. Da p zugleich die Wahrscheilichkeit agibt, dass a eiem zufällig ausgewählte Merkmalsträger die Eigeschaft A festgestellt wird, lässt sich dieses Kofidezitervall auch als eie Itervallschätzug für eie ubekate Wahrscheilichkeit P(A) iterpretiere. Die uabhägige ud idetisch verteilte Stichprobevariable X 1,...,X köe ur die Werte 0 oder 1 aehme. Als Puktschätzer für de ubekate Ateilswert p der Grudgesamtheit verwede wir de Stichprobeateilswert 1 P X i i1, der die relative Häufigkeit derjeige Merkmalsträger agibt, die über die Eigeschaft A verfüge. P ist eie erwartugstreue, effiziete ud kosistete Schätzfuktio für p. Die stadardisierte Zufallsvariable (= stadardisierter Stichprobeateilswert) P p (10.13) Z p1 p ist bei große Stichprobe aufgrud des Zetrale Grezwertsatzes asymptotisch stadardormalverteilt (Faustregel: 9/[p(1 p)] ), so dass P p P z1 z1 1 p 1 p

25 hieri uter Verwedug der Schätz- gilt. Wird der Stadardfehler fuktio für die Variaz vo P1 P (10.14) ˆ P P P p1 p geschätzt, erhält ma das Kofidezitervall für de Ateilswert p zum Niveau 1-: P(1 P) P(1 P) (10.15) P. P z1 p P z1 1 Das kokrete Kofidezitervall für p ist durch (10.16) p(1 p) p z1 ;p z1 p(1 p) gegebe.

26 Beispiel 10.4: Bei eier Qualitätskotrolle wurde a 100 vo 500 Stücke ei Magel festgestellt. Wie groß ist das 95%-Kofidezitervall für de Ateil p der mit eiem Magel behaftete Teile i der Produktio? Schritt 1: Festlegug des Kofideziveaus 1- Das Kofideziveau 1 ist hier i der Aufgabe vorgegebe ud beträgt 0,95. Schritt : 95%-Kofidezitervall für p Zu bestimme ei Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p, dass ei produziertes Stück eie Magel aufweist. Als Puktschätzer für p verwede wir de Stichprobeateilswert, mit dem auch der Stadardfehler geschätzt wird. Mit = 100/500 = 0, erhält ma die Ugleichug 9 9 ( 500) 56,5 p(1 p) 0, (1 0,) p P die es erlaubt, das ormalverteilte Kofidezitervall P P(1 P) P P z,975 p P z0, 975 P(1 P) 0 für die ubekate Wahrscheilichkeit p azuwede. 0,95

27 Schritt 3: Ermittlug des (1-/)-Quatils z 0,975 der Stadardormalverteilug Zu dem Kofideziveau 1- = 0,95 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,975-Quatil der Stadardormalverteilug: z / z0, ,96 Schritt 4: Bestimmug des kokrete 95%-Kofidezitervalls Mit = 500 ud p = 0, erhält ma das kokrete 95%-Kofidezitervall p(1 p) p z0,975 ;p z0, 975 p(1 p) 0, (1 0,) 0, (1 0,) 0, 1,96 ; 0, 1, , 1,960,018; 0, 1,960,018 [0,165; 0,35].

28 10.4 Kofidezitervall für die Variaz Wir gehe wieder vo eier uabhägige ud idetisch verteilte Stichprobe (X 1,X,...,X ) eier Grudgesamtheit aus. Es wird ei Kofidezitervall zum Niveau 1- für die ubekate Variaz uter folgede Voraussetzuge kostruiert: Aahme 1: (Approx.) ormalverteilte Grudgesamtheit Aahme : Erwartugswert ubekat. Wird der Erwartugswert durch de Stichprobemittelwert geschätzt, da ist die Schätzfuktio 1 S Xi X 1i1 ei geeigeter Puktschätzer für die ubekate Variaz. Die Zufallsvariable (-1). S / ist chi-quadrat-verteilt ( -verteilt) mit -1 Freiheitsgrade: ( 1) S (10.17a). 1 X ka alterativ durch * S (10.17b) 1 gleichwertig berechet werde. oder (10.17c) (Xi X) i1 1

29 Exkurs: Chi-Quadrat-Verteilug ud F-Verteilug Exkurs: Chi-Quadrat-Verteilug -Verteilug Es seie Z1,Z,,Z, Xi μ Zi, σ uabhägige, stadardormalverteilte Zufallsvariable. Da besitzt die Quadratsumme f (*) χ Z1 Z Z i1 Z i eie -Verteilug mit Freiheitsgrade. Hierbei lässt sich die Quadratsumme auch i der Form Xi X i i1 i1 darstelle.

30 Es bezeiche ud das / ud 1-/-Quatil der -Verteilug mit -1 Freiheitsgrade. Da ist die Wahrscheilichkeit, dass die Zufallsvariable (10.17) i das Itervall zwische ud fällt, durch gegebe. Hieraus erhält ma ach Umformuge das (1-)-Kofidezitervall für die ubekate Variaz : (10.18) 1 S 1) ( P 1;1 1; (10.19) 1 S 1 S 1 P 1; 1;1. / 1; / 1;1 / 1;1 Wird durch de Stichprobemittelwert geschätzt, da ist die Quadratsumme -verteilt mit -1 Freiheitsgrade. Allgemei ist (*) -verteilt mit -k Freiheitsgrade, we k Parameter aus der Stichprobe zu schätze sid. X 1 i i X) (X / 1;

31 Abbilug: Dichtefuktio ud Quatile der -Verteilug Kokretes Kofidezitervall für zum Niveau 1-: (10.0) 1; 1;1 s 1, s 1

32 Beispiel 10.5: Ei Uterehme stellt Schraube her. Eie Zufallsstichprobe vom Umfag 91 ergibt für de Durchmesser ei arithmetisches Mittel vo 5 mm bei eier Stadardabweichug vo 0,03 mm. Führe Sie eie Itervallschätzug für die mit der Stadardabweichug gemessee Präzisio des Schraubedurchmessers bei eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 90% durch! Wir bestimme zuächst ei 90%-Kofidezitervall für die Variaz, aus dem da das Itervall für die Stadardabweichug bestimmt wird. Schritt 1: Festlegug des Kofideziveaus 1- Das Kofideziveau 1 ist hier i der Aufgabe vorgegebe ud beträgt 0,90. Schritt : 90%-Kofidezitervall für Gesucht ist ei Kofidezitervall für die Variaz des Schraubedurchmessers der vo dem Uterehme produzierte Schraube. Als Puktschätzer hierzu verwede wir de erwartugstreue Variazschätzer S : 1 S 1 S P 0,90. 1;0,95 1;0,05

33 Schritt 3: Ermittlug des Quatile 1; / ud 1;1 / der -Verteilug Zu dem Kofideziveau 1- = 0,90 beötigt ma zur Bestimmug der Greze des Kofidezitervalls das 0,05- ud 0,95-Quatil der -Verteilug. Für -1=90 Freiheitsgrade ergebe sich die Tabellewerte 90;0,05 69,1 ud ,1. Schritt 4: Bestimmug des kokrete 90%-Kofidezitervalls für Mit = 91 ud s = 0,03 erhält ma das kokrete 90%-Kofidezitervall, 90;0,95 1 s 1 s 90;0,05 ;0,95 900,03 113,1 900,03 ; 69,1 0,081 ; 113,1 0,081 69,1 [0,000716; 0,00117] für. Das 90%-Kofidezitervall für die Stadardabweichug (= Präzisio) ergibt sich ach Ziehe der Wurzel aus de Itervallgreze: 0,000716; 0, ,07; 0,034 Mit 90%iger Sicherheit liegt die Stadardabweichug des Schraubedurchmessers zwische 0,07 ud 0,034 mm.

34 10.5 Notwediger Stichprobeumfag Zielkoflikt zwische Sicherheit ud Geauigkeit Der Zielkoflikt zwische Sicherheit ud Geauigkeit soll ahad des Kofidezitervalls für de Erwartugswert bei bekater Variaz aufgezeigt werde. Läge L des Kofidezitervalls (10.5) als Differez zwische Itervallobergreze ud utergreze: (10.1) L X z1 X z1 z1 - Wird das Kofideziveau 1- erhöht, hat ma zwar eie größere Sicherheit, dass der ubekate Parameter µ i dem Kofidezitervall liegt. - Mit eiem höhere Kofideziveau 1- wird das Quatil z 1- / größer, so dass das Itervall breiter wird. Ei breiteres Itervall bedeutet aber eie ugeauere Itervallschätzug. Stichprobeumfag ud Geauigkeit Bei gegebeem Kofideziveau 1- hägt die Läge des Kofidezitervalls (10.5) allei vom Stichprobeumfag ab. Bei gleichem Stichprobeumfag ergibt sich eie gleiche Läge der Kofidezitervalle. Mit wachsedem Stichprobeumfag erhöht sich die Geauigkeit.

35 Determiate des otwedige Stichprobeumfags Kofideziveau 1- Streuug i der Grudgesamtheit Geauigkeit A. Notwediger Stichprobeumfag bei Itervallschätzug vo Fehlermarge (= halbe Läge des Kofidezitervalls) 1 z1 (10.) e L Notwediger Stichprobeumfag: Stichprobeumfag, der midestes erforderlich ist, damit eie vorgegebee Fehlermarge e bei gegebeem Kofideziveau 1- icht überschritte wird (10.3a) z 1 e z 1 e

36 Reduktio der Fehlermarge (= Stichprobefehler) um die Hälfte wird icht durch Verdoppelug, soder Vervierfachug des Stichprobeumfags erreicht: z z 1 1 e / 4 e (e / ) (1/ 4) e e : Stichprobeumfag bei ursprüglicher Fehlermarge e e/ : Stichprobeumfag bei halber Fehlermarge Allgemei ka eie Verrigerug der Fehlermarge ur durch eie überproportioale Erhöhug des Stichprobeumfags erreicht werde. I der Regel wird die Variaz der Grudgesamtheit,, ubekat sei. Ma ka de Stichprobeumfag i (10.3a) i diesem Fall icht eifach uter Verwedug der Stichprobevariaz s bestimme, da die Stichprobe ja erst och gezoge werde soll. Vielmehr ist durch die Vorabiformatio * zu ersetze: (10.3b) z 1 e *. Eie Vorabiformatio * über die Variaz der Grudgesamtheit ka sich z.b. aus vorherige Utersuchuge ergebe.

37 Beispiel 10.6: Ei Marktforschugsistitut führt eie Utersuchug über die Eikommessituatio der deutsche Bevölkerug durch. Aufgrud ählicher Utersuchuge i Frakreich ud de Niederlade wird eie Stadardabweichug i der Grudgesamtheit vo *.000[ ] uterstellt. Wie groß muss der Stichprobeumfag midestes sei, we die Fehlermarge bei 00 ud der Sicherheitsgrad 1- bei 95 % liege solle? Wir bestimme de otwedige Stichprobeumfag uter Verwedug vo Formel (10.3b): * z 0,975 1, ,16. e 00 Aufgrud der Midestbedigug wähle wir de ächsthöhere Wert. Der otwedige Stichprobeumfag muss also midestes 385 Persoe umfasse.

38 B. Notwediger Stichprobeumfag bei Itervallschätzug vo p Bei eier Schätzug des Ateilswerts oder der Wahrscheilichkeit p ist die Variaz der Grudgesamtheit (= Variaz der Beroulli-Verteilug) durch p(1-p) gegebe: = p (1-p). Damit erhält ma bei 0,1-Variable (1: Ereigis A, 0: Ereigis 1 z1 p (1 p) (10.4) e L. A ) die Fehlermarge Nach Auflöse ach ergibt sich hieraus z p (1 p) 1 (10.5a) e. Ersetzt ma hieri die ubekate Wahrscheilichkeit p durch die Vorabifomatio p*, da erhält ma de otwedige Stichprobeumfag z p* (1 p*) 1 (10.5b). e Sofer keierlei Vorabiformatioe vorhade sid, geht ma bei der Festlegug des Stichprobeumfags vom ugüstigste Fall p*=0,5 aus (max. Variaz): z 1 (10.5c). 4 e

39 Beispiel 10.7: Ei Meiugsforschugsistitut soll ermittel, ob die Mehrheit der Budesbürger für eie Direktwahl des Budespräsidete ist. Wie groß ist der Stichprobeumfag midestes zu wähle, we die Geauigkeit der Schätzug bei eiem Kofideziveau vo 90 % bei ±3 % liege soll? Da keie Vorabiformatioe über p vorhade sid, gehe wir vom ugüstigste Fall p = 0,5 aus. Damit beträgt der otwedige Stichprobeumfag z, 95 1,6449, ,6 4e 40,03 0,0036 Das Meiugsforschugsistitut muss also midestes 75 Persoe befrage.