Testen statistischer Hypothesen

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1 Kapitel 9 Teste statistischer Hypothese 9.1 Eiführug, Sigifiaztests Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei beatem σ = : X i seie uabhägig ud µ, ) verteilt, µ sei ubeat. Stelle eie Hypothese über µ auf, i diesem Fall: Hypothese H 0 : µ = µ 0. Lege das Sigifiaziveau α ud de Stichprobeumfag vor der Utersuchug der Stichprobe fest. Bestimme ε > 0 aus 9.1.1) ) X µ0 P ε H Satz 8.4.3a 0 = 21 Φε)) =α! Φε) =1! α 2. Setze d := ε. Utersuche Stichprobe vom Umfag. Das Ergebis sei der Schätzwert ˆµ = x für µ. ˆµ µ 0 d ist, ist H 0 abzulehe. ˆµ µ 0 < d ist, ist H 0 mit Vorbehalt) azuehme. Begrüdug der Etscheidugsregel: ach 9.1.1) gilt für die Wahrscheilicheit für eie irrtümliche Ablehug vo H) 0 : P H 0 wird aufgrud des Testergebisses) abgeleht H 0 = P X µ 0 d H 0 = P X µ 0 ε/ ) X µ H 0 = P 0 ε H 0 = α Bem.: a) X, x u. s. w. habe diesselbe Bedeutug wie im erste Teil vo Abschitt 8.4. b) α hat eie adere Bedeutug als γ im Abschitt 8.4. α liegt ahe bei 0, z. B. α = 0.1, 0.05, 0.01 o. ä. c) P... H 0 ) i 9.1.1) bedeutet: 9.1.1) bestimmt die Wahrsch. für das iteressierede Ereigis, we H 0 richtig wäre. Iterpretatio des Testergebisses: Es gibt ach eiem Test 4 verschiedee Situatioe, die i achsteheder schematischer Übersicht dargestellt sid Siehe Tabelle 8-1): 65

2 Tabelle 9-1 H 0 wird uter der Bedigug : ageomme abgeleht H 0 ist richtig falsch richtige Etscheidug Fehler 2. Art Fehler 1. Art richtige Etscheidug Allgemei wird gefordert: 9.1.2) PFehler 1. Art) = PH 0 wird abgeleht H 0 ) α Die Wahrscheilicheit für eie Fehler 2. Art ist erst da i gleicher Weise durch eie Zahl < 1 abzuschätze, we ma H 0 eie geeigete Alterativhypothese H 1 gegeüberstellt ud evtl. das Testverfahre ädert. Ohe geeigete Alterativhypothese gilt also ur P Fehler 2. Art) 1, d. h. ma hat de Fehler 2. Art icht uter Kotrolle. Scheit die Aahme vo H 0 ur durch eie zu leie Stichprobeumfag zustade geomme zu sei was aus o. g. Grüde icht präzise fassbar ist), so ist der Test u. U. mit größerem Stichprobeumfag zu wiederhole. Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei ubeatem σ: X i seie uabhägig ud µ, σ) verteilt, µ ud σ seie ubeat. Stelle eie Hypothese über µ auf, i diesem Fall: Hypothese H 0 : µ = µ 0. Lege das Sigifiaziveau α ud de Stichprobeumfag vor der Utersuchug der Stichprobe fest. Bestimme ε > 0 aus 9.1.3) P X µ 0 i=1 X i X) 2 1 ε H 0 Satz 8.4.8a = 21 F t ε))! =α F t ε)! =1 α 2, wobei F t y) die Verteilugsfutio der t Verteilug mit r = 1) Freiheitsgrade ist. Utersuche Stichprobe vom Umfag. Diese liefert die Meß oder Beobachtugswerte x 1, x 2,... x. Daraus gewie wir de Schätzwert ˆµ = x für µ ud die Testgröße d := ε i=1 x i x) 2 1) ˆµ µ 0 d ist, ist H 0 abzulehe. ˆµ µ 0 < d ist, ist H 0 mit Vorbehalt) azuehme. 66

3 9.2 Eiseitige Tests Ei eiseitiger Test bei der ormalverteilug X 1,..., X seie uabhägige µ, σ) verteilte ZV mit beatem σ =. Über dem ubeate Parameter µ werde 2 Hypothese aufgestellt : H 0 : µ µ 0, H 1 : µ > µ 0 Alterativhypothese) Fehler 1. Art : Etscheidug gege H 0 ud damit für H 1 ), obwohl H 0 richtig ist. Fehler 2. Art : Etscheidug gege H 1 ud damit für H 0 ), obwohl H 1 richtig ist. Durchführug des Tests: Schritt 1: Lege die Höchstgreze α für die Wahrsch. für eie Fehler 1. Art ud die Höchstgreze β für die Wahrsch. für eie Fehler 2. Art fest. Schritt 2: Lege de Stichprobeumfag fest ud bereche d 0 ud d 1 aus, α ud β ach der folgede Formel: 9.2.1) d 0 = ε 0 / mit Φε 0 ) = 1 α d 1 = ε 1 / mit Φε 1 ) = 1 β Schritt 3: Werte eie Stichprobe vom Umfag aus. x ist da eie Realisierug vo X:= 1 X X )): x µ 0 + d 0 Etscheidug für H 1 x µ 0 d 1 Etscheidug für H 0 µ 0 d 1 < x < µ 0 + d 0 eie Etscheidug u. U. de Test mit größerem Stichprobeumfag wiederhole) Begrüdug für 9.2.1): Aus der Tatsache, dass Φx) mooto wachsed ist, folgt: P Fehler 1. Art) = P X µ 0 + d 0 H 0 ) = 1 Φ µ0 µ+d 0 µ µ0 1 Φ d0 α P Fehler 2. Art) = P X µ 0 d 1 H 1 ) = Φ µ0 µ d 1 µ>µ0 Φ d1 = 1 Φ d1 β Bem.: a) Machmal ist vo der pratische Fragestellug her folgede Gegeüberstellug zwecmäßig: H 0 : µ µ 0, H 1 : µ µ 1 > µ 0 ). Der Test ist da wie obe durchzuführe, wobei aber folgede Äderuge zu beachte sid: x µ 0 + d 0 Etscheidug gege H 0 icht ubedigt für H 1 ) x µ 1 d 1 Etscheidug gege H 1 icht ubedigt für H 0 ) µ 1 d 1 < x < µ 0 + d 0 eie Etscheidug Durch geüged große Stichprobeumfag a ma erreiche, dass µ 1 d 1 µ 0 + d 0 ud damit das 3. Itervall leer ist. Ma ommt da immer zu eier Etscheidug. b) Ist auch σ ubeat, so a ma ählich wie bei de Kofidezitervalle vgl. Satz 8.4.8) oder bei dem Sigifiaztest die eiseitige Tests mit folgede Veräderuge durchführe: 9.2.1) wird ersetzt durch 67

4 9.2.2) d 0 = ε 0 i=1 x i x) 2 1) mit F t ε 0 ) = 1 α, d 1 = ε 1 i=1 x i x) 2 1) mit F t ε 1 ) = 1 β, wobei F t y) die Verteilugsfutio der t Verteilug mit r = 1) Freiheitsgrade ist. c) Astelle des Tests auf H 0 : µ µ 0 gege H 1 : µ > µ 0 fidet ma i der Literatur oft Tests auf H 0 : µ = µ 0 gege H 1 : µ > µ 0 oder H 0 : µ < µ 0 gege H 1 : µ µ 0 oder H 0 : µ < µ 0 gege H 1 : µ = µ 0. Alle diese Tests sid recherisch gleichwertig Ei eiseitiger Test bei der Biomialverteilug X sei eie biomial verteilte ZV mit de Parameter wird och festgelegt) ud p ubeat). X ist damit selbst scho mit eier Stichprobe vom Umfag verbude, d. h. X i etspricht abgesehe vo de verschiedee Verteiluge der ZV X i Hypothese über p : H 0 : 0 p p 0, H 1 : p 1 p 1, 0 p 0 p 1 < 1. Fehler 1. Art: Etscheidug gege H 0 ud damit für p > p 0 ), obwohl H 0 richtig ist. Fehler 2. Art: Etscheidug gege H 1 ud damit für p < p 1 ), obwohl H 1 richtig ist. Durchführug des Tests: Schritt 1: Lege die Höchstgreze α für die Wahrscheilicheit für eie Fehler 1. Art ud die Höchstgreze β für die Wahrscheilicheit für eie Fehler 2. Art fest. Schritt 2: Lege fest. Schritt 3: Werte eie Stichprobe vom Umfag aus, die eie Realisierug x vo X liefert. Fall 1: x/ < p 1. Setze q 1 := 1 p 1. x =0 ) p1 ) β q 1 q1 gilt, ist die Hypothese H 1 mit ausreicheder Sicherheit abzulehe. Aderefalls a die Hypothese H 1 auf Grud der vorliegede Date icht mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ < p 1 spricht gege die Hypothese H 1. Um aber H 1 mit ausreicheder Sicherheit ablehe zu öe, müsse wir prüfe, ob die die Wahrscheilicheit für eie Fehler 2. Art β ist, d.h. ob die Wahrscheilicheit dafür, dass die ZV X de vorliegede Wert x oder 68

5 Werte aimmt, die och mehr gege die Hypothese H 1 spreche, β ist: ) x x P X x H 1 ) P X x p = p 1 ) = p 1q1 = q1 =0 =0 ) p1 q 1 )? β. Die erste Ugleichug gilt, weil die Wahrscheilicheit für X x< p 1 ) für p > p 1 och leier ist als für p = p 1. Fall 2: x/ > p 0. Setze := 1 p 0. =x ) p0 ) α q0 x 1 =0 ) p0 ) 1 α ) gilt, ist die Hypothese H 0 mit ausreicheder Sicherheit abzulehe. Aderefalls a die Hypothese H 0 auf Grud der vorliegede Date icht mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ > p 0 spricht gege die Hypothese H 0. Um aber H 0 mit ausreicheder Sicherheit ablehe zu öe, müsse wir prüfe, ob die die Wahrscheilicheit für eie Fehler 1. Art α ist, d.h. ob die Wahrscheilicheit dafür, dass die ZV X de vorliegede Wert x oder Werte aimmt, die och mehr gege die Hypothese H 0 spreche, α ist: ) ) p0 )? P X x H 0 ) P X x p = p 0 ) = p 0 q 0 = q0 α. =x Die erste Ugleichug gilt, weil die Wahrscheilicheit für X x> p 0 ) für p < p 0 och leier ist als für p = p 0, ud die zweite Gleichug, weil X ur gazzahlige Werte aehme a. Fall 3: x/ = p 0 = p 1. Es a weder die Hypothese H 0 och die Hypothese H 1 auf Grud der vorliegede Date mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ = p 0 = p 1 spricht weder gege die Hypothese H 0 och gege die Hypothese H 1. Eie Aahme vo H 0 oder vo H 1 auf Grud der vorliegede Date ist mit ausreicheder Sicherheit aber auch icht gerechtfertigt; de eie eie Aahme vo z.b. H 0 bedeutet eie Ablehug vo p > p 0, ud dies ist recherisch gleichwertig mit eier Ablehug vo H 1. Aus der Ablehugsugleichug vo H 1 folgt: ) β x p1 ) ) p1 ) 0 = 1 β q1 l β l q 1. 0 q 1 =0 Damit muss für der Stichprobeumfag q 1 l β l q 1 gelte. Sost wird ei Ziehugsergebis zur Ablehug vo H 1 führe. Aus der Ablehugsugleichug vo H 0 folgt: ) p0 ) p0 α q 0 =x ) Damit muss für der Stichprobeumfag q 1 ) = p 0 q 0 =x q 0 α p 0 l α l p 0. l α l p 0 gelte. Sost wird ei Ziehugsergebis zur Ablehug vo H 0 führe. 69

6 9.2.3 Ei eiseitiger Test bei der hypergeometrische Verteilug X sei eie hypergeometrisch verteilte ZV mit de Parameter wird och festgelegt), M ubeat) ud. Bei der Qualitätsotrolle wäre die Zahl der Stüce i der Lieferug, M die Zahl der Stüce i der Lieferug ud der Umfag eier Stichprobe o.z. X ist also selbst scho mit eier Stichprobe vom Umfag verbude, d. h. X i etspricht abgesehe vo de verschiedee Verteiluge der ZV X i Hypothese über M : H 0 : 0 M M 0, H 1 : M 1 M, 0 M 0 M 1. Fehler 1. Art: Etscheidug gege H 0 ud damit für M > M 0 ), obwohl H 0 richtig ist. Fehler 2. Art: Etscheidug gege H 1 ud damit für M < M 1 ), obwohl H 1 richtig ist. Durchführug des Tests: Schritt 1: Lege die Höchstgreze α für die Wahrscheilicheit für eie Fehler 1. Art ud die Höchstgreze β für die Wahrscheilicheit für eie Fehler 2. Art fest. Schritt 2: Lege fest. Schritt 3: Werte eie Stichprobe vom Umfag aus, die eie Realisierug x vo X liefert. Fall 1: x/ < M 1 /. ) ) x M1 M1 =0 ) β gilt, ist die Hypothese H 1 mit ausreicheder Sicherheit abzulehe. Aderefalls a die Hypothese H 1 auf Grud der vorliegede Date icht mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ < M 1 / spricht gege die Hypothese H 1. Um aber H 1 mit ausreicheder Sicherheit ablehe zu öe, müsse wir prüfe, ob die die Wahrscheilicheit für eie Fehler 2. Art β ist, d.h. ob die Wahrscheilicheit dafür, dass die ZV X de vorliegede Wert x oder Werte aimmt, die och mehr gege die Hypothese H 1 spreche, β ist: P X x H 1 ) P X x M = M 1 ) = x =0 M1 ) M1 ) ) = 1 ) ) ) x M1 M1? β. Die erste Ugleichug gilt, weil die Wahrscheilicheit für X x< M 1 /) für M > M 1 och leier ist als für M = M 1. Fall 2: x/ > M 0 /. ) ) M1 M1 =x ) α x 1 =0 M1 =0 ) ) M1 ) ) 1 α) gilt, ist die Hypothese H 0 mit ausreicheder Sicherheit abzulehe. Aderefalls a die Hypothese H 0 auf Grud der vorliegede Date icht mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ > M 0 / spricht gege die Hypothese H 0. Um aber H 0 mit ausreicheder Sicherheit ablehe zu öe, müsse wir prüfe, ob die die Wahrscheilicheit für eie Fehler 70

7 1. Art α ist, d.h. ob die Wahrscheilicheit dafür, dass die ZV X de vorliegede Wert x oder Werte aimmt, die och mehr gege die Hypothese H 0 spreche, α ist: P X x H 0 ) P X x M = M 0 ) = =x M1 ) M1 ) )? α. Die erste Ugleichug gilt, weil die Wahrscheilicheit für X x> M 0 /) für M < M 0 och leier ist als für M = M 0, ud die zweite Gleichug, weil X ur gazzahlige Werte aehme a. Fall 3: x/ = M 0 / = M 1 /. Es a weder die Hypothese H 0 och die Hypothese H 1 auf Grud der vorliegede Date mit ausreicheder Sicherheit abgeleht werde. Begrüdug: x/ = M 0 / = M 1 / spricht weder gege die Hypothese H 0 och gege die Hypothese H 1. Eie Aahme vo H 0 oder vo H 1 auf Grud der vorliegede Date ist mit ausreicheder Sicherheit aber auch icht gerechtfertigt; de eie eie Aahme vo z.b. H 0 bedeutet eie Ablehug vo M > M 0, ud dies ist recherisch gleichwertig mit eier Ablehug vo H 1. 71