Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

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1 IV Beroulli-Exerimet ud Biomialverteilug Beroulli-Exerimet ud Beroulliette Defiitio: Zufallsexerimete, bei dee ma sich ur für das Eitrete ( Treffer, Symbol ) oder das Nichteitrete ( Niete, Symbol 0 ) eies Ereigisses iteressiert, et ma Beroulliexerimet. Ω = {0,} Ist ei Beroulliexerimet automatisch ei Lalaceexerimet? Nei. z.b. Sechser oder Nichtsechser beim Würfel Beisiele: Müzwurf (Kof/ Nicht-Kof (Zahl)) Würfel (6, Nicht-6) Olaf, go (lis/rechts) Ure (weiße Kugel, icht-weiß) Qualitätsrüfug, gut autt Beachte:. Ei Beroulliexerimet ist icht otwedig ei Lalace-Exerimet.. Trefferwahrscheilicheit => q = Nietewahrscheilicheit Müdliches Beisiel: Jetzt 5 mal acheiader würfel, Treffer bei 6: P ( Treffer) = 5 ( )² Defiitio: Eie Folge vo uabhägige Beroulli-Exerimete mit gleicher Trefferwahrscheilicheit heißt Beroulliette der Läge. Beisiel: Ei 8-öfiger LK trifft sich zum Uterricht. Die Aweseheit wird durch ei 8- Tuel (0 0...) beschriebe. Jedem Tuel des Ergebisraums wird durch die Zufallsgröße X die Azahl der awesede Schüler zugeordet. Ist user Beisiel eie Beroulliette? Was muss vorausgesetzt werde? Auftauchwahrscheilicheite müsse alle gleich groß sei. Also icht: We eier gere ausschläft oder die Oma flege muss, ommt er selteer. Also: Gleich große Tristesse der verschiedee Schülerlebe vorausgesetzt. Darüber hiaus muss jeder mit der gleiche W. uabhägig vo alle adere auftauche. Also icht: We der Igor ommt, omme ich icht. Deshalb: Jeder Schüler ommt zum Kurs mit eier Wahrscheilicheit vo = 80% ubeeiflusst vo alle adere. (also Beroulli-Kette der Läge ) ) Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass die erste füf Schüler des 8-Tuels icht omme, der Rest jedoch awesed ist? Trefferwahrscheilicheit = 0,8 Nietewahrscheilicheit: q = - = 0, Lösug: 0, 5 0,8 3 ) Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass a dem Abed Schüler awesed sid? Wir iteressiere us also ur für die Werte der Zufallsgröße X, die agibt, wie viele Awesede (Treffer) ei -Tuel hat. Die Wahrscheilicheitsverteilug für diese Zufallsgröße heißt Biomialverteilug: 8 6 P(X = ) = 0,8 (0,) Damit ist die Wahrscheilicheit für zum Beisiel 4 awesede Schüler: 4

2 8 B(8;0,8;4) = 0, , 4 = ,8 4 0, 4 = 0,. Biomialverteilug Allgemei: Eie Zufallsgröße X heißt biomial verteilt ach B(;) falls X ur Werte aus {0,,..., } aimmt ud es gilt: P(X = ) = B(,,) = ( ) Die zu B(,,) gehörige Verteilugsfutio F hat für {0,,..., } folgede Wert F = () B(,,i) i= 0 Beisiel zur Verwedug des Tafelwers Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass i eier Kollegstufe vo 00 uabhägige Persoe, die zu 90% awesed sid, a) geau b) höchstes 9 Persoe awesed sid? Mit Tafelwer: B(00;0,9;9) =,48% F0,8 00 (9) = 79,395% Eigeschafte der Biomialverteilug ud ihrer Verteilugsfutio ) B(,,) = B(, q, -) ) F () = - F -(--) 3) Erwartugswert E(X) = Variaz Var(X) = q Beweise:!! zu ) = =, also ( )!( )! ( )!! ürzer: geau Treffer geau Niete = ( ) = q ( q) zu ) P(Höchstes Treffer)=P( Midestes Niete) = P (Höchstes Niete) zu 3) Mit der Formel (I) (X + Y) = (X) + (Y) aus 4. betrachte wir die Elemete der Beroulliette. Jedes der Exerimete liefert mit Wahrscheilicheit de Ausgag ud mit Ausgag 0. Der Erwartugswert ist also jeweils, aufsummiert. Aufgrud der Uabhägigeit lässt sich ei Additiosgesetz auch für die Variaz verwede. Die Variaz eies Exerimets ist da ( )² + (0 )² q = - ² + ³ + ² ( ) = - ² + ³ + ² ³ = - ² = ( ) = q Isgesamt mit Summeregel: Var X = q 4

3 3 Das Gesetz der große Zahle Sei X eie biomialverteilte Zufallsgröße. Da gilt die Tschebyschow-Ugleichug: Var(X) P( X µ a) a q P( X a) a Da sich a der Aussage der iere Ugleichug ichts ädert, we ma die Ugleichug durch teilt, folgt: X a q P a mit de Abürzuge b := a/ ud H := X/ für die relative Häufigeit gilt: q P( h b) b da q = (-) <= ¼ folgt: Für die relative Häufigeit h der Treffer eier Beroulliette der Läge gilt die Tschebyschow- Ugleichug: FS 07 P( h b) 4b b b Das Tschebyschow-Risio (Term auf der lie Ugleichugsseite) wurde hier durch abgeschätzt. 4b Für das Gegeereigis gilt da: P( H < b) 4b Im Grezfall -> folgt: Schwaches Gesetz der große Zahle vo Jaob Beroulli (FS 06) Sei b > 0 beliebig lei, da gilt: lim P( h < b) = I Worte: Die Wahrscheilicheit, dass sich bei eier Beroulliette die relative Häufigeit H für eie Treffer vo der Trefferwahrscheilicheit um weiger als eie beliebig (leie!!!) vorgegebee Wert b uterscheidet, strebt gege, we die Azahl der Exerimete gege uedlich geht. Ma sagt: h overgiert stochastisch ach. 43

4 Bemerug:. Das Gesetz der große Zahle zeigt, dass der Wahrscheilicheitsbegriff, der allgemei ach Kolmogorow defiiert wurde, sivoll ist. Große Abweichuge vo der Wahrscheilicheit sid für große uwahrscheilich.. Die Betrachtug des Falles b = 0 ist icht sivoll. I diesem Fall ergäbe sich das Gegeteil: lim P (h = ) = 0 3. Im Itervall ] b, + b[ der Läge b liege für großes sehr viele mögliche Werte für H da die mögliche Werte im Abstad / liege, gibt es isgesamt b/(/) = b davo. Jeder Wert a eie sehr leie Wahrscheilicheit habe, zusamme ergebe sie aber beiahe. Ma darf also icht schließe: lim h = Beisiel: I 678 Lottoziehuge fiel die 389 mal, 53 mal öfter als zu erwarte. Für die relative Häufigeit bedeutet dies eie Abweichug vo 53/678 =,9% vom Sollwert. Stares Gesetz der große Zahle vo Borel - Catelli: P(lim h = ) = Srich: Die relative Häufigeit overgiert fast sicher gege die Wahrscheilicheit. 44

5 4 Veraschaulichug der Biomialverteilug durch Exerimete Beisiel : Utersuchug vo B(0, ½ ) Exerimet: 0 mal Würfel ud mere, wie oft Zahl. Jeder Schüler führt das Exerimet drei mal durch, hat also da drei Zahle vo 0 bis Abs. Häuf. Rel. Häuf. B(0,½,) 0, , , ,78 0, , , ,78 0, , Beisiel : Galtobrett Betrueer geht ach Hause i Ameria (immer dem Soeaufgag etgege) 0 q Wahrscheilicheit, dass ma i der 6. Zeile i der vierte Salte ladet: P(A) = 6 6 ( ) Nehme wir a = 0,5. Galtobrett vorführe. 45