Kombinatorik. Systematisches Abzählen und Anordnen einer endlichen Menge von Objekten unter Beachtung vorgegebener Regeln.

Transkript

1 Systematisches Abzähle ud Aorde eier edliche Mege vo Objekte uter Beachtug vorgegebeer Regel Permutatioe Variatioe Kombiatioe

2 Permutatioe: Eie eieideutige (bijektive) Abbildug eier edliche Mege i sich selbst (Umordug). Die Reihefolge wird grudsätzlich beachtet, d.h.:

3 Permutatioe ohe Wiederholug: Ziehe alle durchummerierte Kugel ohe Zurücklege mit Notierug der Reihefolge. Azahl der Permutatioe vo verschiedee Elemete: P! Beispiele: sämtliche Permutatioe der Elemete 1,2,3 123, 132, 213, 231, 312, 321 P 3 3! 6 Wie viele Möglichkeite gibt es, vier Bilder waagerecht azuorde? P 4 4! 24

4 Permutatioe mit Wiederholug: Ziehe vo durchummerierte Kugel mit Zurücklege ud mit Notiere der Reihefolge, wobei die i-te Kugel i mal gezoge wurde. Azahl der Permutatioe vo verschiedee Elemete mit Wiederholuge 1, 2,..., r : P 1,..., r 1!! Beispiel: Wie viele verschiedee elf-buchstäbige Wörter ka ma aus de Buchstabe des Wortes MISSISSIPPI bilde? 11; 1 (M)1, 2 (I)4, 3 (S)4, 4 (P)2 11! 1!4!4!2! P 1,4,4,2 11 r! 34650

5 Variatioe: Aorduge, die aus eier Mege G vo Elemete eie bestimmte Azahl k mit berücksichtigug der Reihefolge ethalte (Variatioe vo Elemete zur k-te Klasse).

6 Variatioe ohe Wiederholug: Ziehe vo k Kugel aus durchumerierte ohe Zurücklege ud mit Notiere der Reihefolge (geordete Stichprobe). Azahl der Variatioe vo Elemete zur k-te Klasse ohe Wiederholug:! V k 1 k k! ( ) Beispiele: Wie viele Würfe mit verschiedee Auge sid mit drei Würfel möglich? 6! V ! Wie viele zweistellige Zahle lasse sich aus de Zifer 1,2,3 ohe Wiederholug bilde? 3! V ! ( 12,13,21,23,31,32)

7 Variatioe mit Wiederholug: Ziehe vo k Kugel aus durchummerierte mit Zurücklege ud mit Notiere der Reihefolge (geordete Stichprobe mit Zurücklege). Azahl der Variatioe vo Elemete zur k-te Klasse mit Wiederholug: V k k,w Beispiel: Wie viele Variate gibt es beim Ausfülle eies Fußballtoto- Scheies? 3 (1,x,2) k 11 (Azahl der Spiele) V3, W

8 Kombiatioe: Aorduge, die aus eier Mege G vo Elemete eie bestimmte Azahl k ohe Berücksichtigug der Reihefolge ethalte, heiße Kombiatioe vo Elemete zur k-te Klasse. D.h.: 123, 132 ud 213 als eie eizige ud icht als drei verschiedee gezählt werde.

9 Kombiatioe ohe Wiederholug: Ziehe vo k Kugel aus durchummerierte ohe Zurücklege ud ohe Notiere der Reihefolge (ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege). Azahl der Kombiatioe vo Elemete zur k-te Klasse ohe Wiederholug: k C k!! k ( ) k V! k! 1 k Beispiel: Wie viele Möglichkeite gibt es beim Akreuze vo 6 Zahle aus dem Bereich vo 1 bis 49 (Zahlelotto 6 aus 49)? 49! C ! 43!

10 Kombiatioe mit Wiederholug: Ziehe vo k Kugel aus durchummerierte mit Zurücklege ud ohe Notiere der Reihefolge (ugeordete Stichprobe mit Zurücklege). Azahl der Kombiatioe vo Elemete zur k-te Klasse mit Wiederholug: ( + k 1 )! C k,w Beispiel: k! ( 1)! Wie viele Zifferkombiatioe ohe Berücksichtigug der Reihefolge gibt es bei eiem Wurf mit zwei Würfel? ( 6+ 2 ) 2! ( 6 1 )! 1! 7! 6 7 2!5! 1 2 C 2 6, W (11,12,13,14,15,16,22,23,24,25,26,33,34,35,36,44,45,46,55,56,66) 21

11 Aufgabe: 1. Wie viele Zahle mit füf Ziffer ka ma aus de Zahle 1,3,5,7,9 bilde, we ma keie Wiederholug erlaubt? 2. Wie bei Aufgabe 1 aber aus de Zahle 0,1,3,5,7? 3. Wie viele verschiedee Reihefolge sid möglich, we ma aus eier Ure 3 weiße, 5 rote ud 2 schwarze Kugel zieht? 4. Wie viele Zahle mit 4 Ziffer sid aus de Zahle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 herstellbar, we jede Ziffer ur eimal vorkomme darf? 5. Wie bei Augabe 4 aber diesmal dürfe die Ziffer mehrmals vorkomme? 6. Aus eier Packug Karte (32 Blätter) ziehe wir 5 Blätter. I wie viele Fälle fide wir dabei geau 3 rote Blätter (die gesamtzahl der rote Blätter i der Packug ist 8)? 7. I eier Gruppe vo 20 Persoe werde 8 Preise ausgelotet so, daß ei Perso auch mehrere Preise erhalte ka. Wie viele Ergebisse sid möglich?

12 Lösuge: 1. Verschiedee Reihefolge vo 5 verschiedee Zahle ohe Wiederholug, d.h. Permutatio ohe Wiederholug: P! P 5 5! 120

13 2. Da wir Zahle mit 5 Ziffer suche, ka vore kei 0 stehe. D.h. ma muss vo alle Möglichkeite diejeeige abziehe, die mit 0 afahe. Alle Möglichkeite: P P 5! 5! 120 Abzuziehe sid: 0 auf der erste Stelle, sost die Reihefolge der restliche 4 Zahle: P 4 4! 24 D.h.:P 5 P

14 3. Umordug vo 10 Elemete, davo 3, 5 bzw. 2 sid gleich. Permutatio vo 10 Elemete mit Wiederholug: P P 1, 2 3,5,2 10,..., r 1!!! 2 r 10! 6x7x8x9x !5!2! 12!

15 4. Variatio ohe Wiederholug Zahl aller Möglichkeite: V V k 4 10! ( k) 10!! ( 10 4) 7x8x9x ! Die Zahle, die mit 0 afage: 9! V 3 9 7x8x9 504 ( 9 3 )! Das Ergebis ist demetspreched:

16 5. Variatio mit Wiederholug V V k,w 4 10,W k V 10, W Ergebis: alle Möglichkeite Zahldere,bei dee0 auf der erstestellesteht

17 6. Drei Blätter aus de Rote (Kombiatio ohe Wiederholug): C C k 3 8 k! 3!! ( k) 8!! 6x7x8 56 ( 8 3 )! 1x2x3 Die weitere zwei (icht rote) Blätter aus de icht rote Karte: Das Ergebis ist: 56x ! 23x24 C !! 1x2 ( 24 2)

18 7. Die Reihefoge wird icht beachtet, deshalb hadelt es sich um eie Kombiatio mit Wiederholug: C k, W ( + k ) 1! k! ( 1)! ( ) 8! ( 20 1 )! 1! 27! 20x21x22x23x24x25x26 x27 8!19! 1x2x3x4x5x6x7x8 C 8 20, W