Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 1 Wahrscheilichkeitsrechug Eileitug Dieser Text ist etstade, um Schülerie ud Schüler der Jahrgagsstufe 12 die Wiederholug des Stoffs voragegageer Jahre zu erleichter. Nebe viele Übugsaufgabe fide sich auch Erkläruge zu wichtige Begriffe. lle agegebee Lösugswege sid lediglich Vorschläge zur Lösug der ufgabe. Dies ist Versio 1.6 des Textes mit Stad: 22. November Der Text ist leider och uvollstädig ud wird im Laufe der Zeit ergäzt. Eie Versio im PDF-Format, die sich besoders gut für das Drucke eiget, fidet sich uter dem Eitrag Materialie für de Uterricht auf dem Sächsische Schulserver Frage zum Text, Hiweise auf Fehler oder Ähliches teile Sie mir bitte uter mailto:[email protected] mit. Grudbegriffe lle mögliche Ergebisse ω eies Vorgags mit zufälligem Ergebis zusamme ergebe die Ergebismege Ω. Ei Zufallsexperimet ka uterschiedliche Ergebismege habe, je ach dem uter welche Gesichtpukte es betrachtet wird. Oft iteressiert ma sich für das Eitrete bestimmter Ereigisse. Ereigisse sid ussage über die Ergebisse eies Vorgags. Sie werde als Teilmege vo Ergebisse otiert. 1. Es werde ei roter ud ei blauer Würfel geworfe. Beschreibe Sie folgede Ereigisse, idem Sie alle mögliche ugepaare aufzähle, die für das etsprechede Ergebis güstig sid! Schreibe Sie dabei jeweils zuerst die ugezahl des rote Würfels! : Beide Würfel zeige die gleiche ugezahl a. B: Die ugezahl des rote Würfels ist ei Teiler der ugezahl des blaue Würfels. C: Die ugesumme ist eie Primzahl. D: Die ugesumme ist 6. E: Das kleiste gemeisame Vielfache der ugezahle ist größer als 9. F: Der größte gemeisame Teiler der ugezahle ist 3. Quelle: VuW Lösug: 2. xel, Werer, Thomas ud Paul wolle Tischteis spiele. Es sid aber ur 2 Kelle vorhade. Sie köe sich icht eiige, wer zuerst spiele darf ud lose deshalb. a) Schreibe Sie die Ergebismege dieses Loses auf, idem Sie alle mögliche Paare aufstelle, wie das erste Match besetzt sei köte! b) Beschreibe Sie die folgede Ereigisse! : Thomas spielt im erste Match. B: Paul spielt icht zuerst. C: Thomas spielt zuerst ud Paul icht. Quelle: VuW Lösug: 3. Beim "Mesch-ärgere-Dich-icht" darf ma mit seier Figur ur starte, we ma ierhalb vo drei Würfe eie 6 würfelt. Ma köte also ach de Folge 5-6 oder sei Steiche auf das Feld setze. Gebe Sie alle "erfolgreiche" Zahlefolge a! - Sichere Ereigisse werde durch de Buchstabe Ω selbst dargestellt, d. h. jedes mögliche Ergebis ist im sichere Ereigis ethalte. Umögliche Ereigisse ethalte kei mögliches Ergebis. Deshalb stellt ma sie durch die leere Mege Ø dar. Ereigisse, die geau ei Ergebis umfasse, heiße Elemetarereigisse. 4. Welche der folgede Ereigisse sid "umöglich", "sicher" bzw. "möglich, aber icht sicher"?

2 2 : us eier Ure, i der sich ur rote Kugel befide, wird eie rote Kugel gezoge. B: Vo de 8 Familiemitglieder der Familie Kluge hat jedes a eiem adere Wochetag Geburtstag. C: Ei Würfel wird geworfe, ud die ugesumme ist kleier als 10. D: Die Schüler Ihrer Klasse köe sich so aufstelle, dass immer ei Mädche ebe eiem Juge steht. E: Ei Kid hat zwei Geschwister. F: Ei Kid hat Mutter ud Vater. G: Gebe Sie selbst Beispiele für sichere ud für mögliche Ereigisse a!quelle: VuW - Lösug: K Zu jedem Ereigis gibt es ei etgegegesetztes Ereigis. Das Ereigis tritt ei, we icht eitritt. Eie Megedarstellug erhält ma, idem ma die Elemete des Ereigisses aus der Ergebismege Ω streicht. 5. Nee Sie für folgede Ereigisse die etgegegesetzte Ereigisse! : I eier Familie mit 5 Kider gibt es midestes 3 Mädche. B: Beim Ziehe eier Kugel aus eier Ure mit 2 weiße, 3 schwarze ud 4 rote Kugel wird eie weiße Kugel gezoge. C: Bei 3 Schüsse auf eie Zielscheibe werde 3 Treffer erzielt. D: Bei 5 Schüsse auf eie Zielscheibe werde icht mehr als 2 Treffer erzielt. E: Das Eis kostet weiger als 4,-, aber mehr als 2,-. F: Beim Roulette wird eie Zahl aus der mittlere Lägsreihe gezoge. G: I keiem dieser Bücher gibt es weiger als 3 Druckfehler. H: Nadie hat eie Bruder. I: Ich gewie immer dieses Spiel. Megeverküpfuge Megebild (Vediagramm) Symboldarstellug Sprechweise B Ω B = Ø Die Ereigisse ud B sid uvereibar. ud B köe icht gleichzeitig eitrete. B Ω B Das Ereigis B zieht ach sich. B ist Teilereigis vo. Immer, we B eitritt, tritt auch ei. Ω ist das Gegeereigis vo. Das Gegeereigis tritt ei, we das Ereigis icht eitritt.

3 3 B B oder B tritt ei. Eies er Ereigisse oder beide trete ei. Ω B B ud B tritt ei. Beide Ereigisse trete gleichzeitig ei. Ω B \B mius B ( ohe B) tritt ei. tritt ei ud B tritt icht ei. Ω B Ω ( B) ( B) Etweder oder B tritt ei. Geau eies der beide Ereigisse tritt ei. XOR 6. Ei Versuch bestehe im eimalige Werfe eies Würfels. Dabei werde folgede Ereigisse betrachtet: : eie 6 wird gewürfelt, B: eie ugerade Zahl wird gewürfelt, C: midestes eie 4 wird gewürfelt, D: höchstes eie 3 wird gewürfelt, E: eie 2 oder eie 4 wird gewürfelt. Tabelle 1 Veraschauliche Sie sich diese Sachverhalt mit eiem Vediagramm, ud beatworte Sie die folgede Frage! a) Welches ist das Gegeereigis zu C? b) Gibt es Ereigisse, die mit B kei Elemet gemeisam habe? - 7. lässlich eier Befragug wird aus de i eier Stadt lebede Ehepaare willkürlich ei Ehepaar ausgewählt. Folgede Ereigisse werde betrachtet: : Der Ehema ist älter als 40 Jahre. B: Der Ehema ist älter als die Ehefrau. C: Die Ehefrau ist älter als 40 Jahre. Beschreibe Sie die Ereigisse B, B; C ud C mit Worte! 8. Es seie ud B beliebige Ereigisse. Überlege Sie, uter welche Bediguge die folgede Beziehuge gelte: a) B =, b) B =, c) B =, d) B = e) B = B!

4 Drei Pärche gehe zur Tazschule. Jeweils ach der Hälfte der Tazstude lässt der Tazlehrer das Los etscheide, welcher Juge mit welchem Mädche tazt, damit ma sich icht zu sehr auf seie Parter "eitazt". Usere Pärche wolle atürlich auch i der zweite Hälfte der Tazstude miteiader taze ud betrachte die Ereigisse 1, 2 bzw. 3, dass das Pärche 1, 2 bzw. 3 doch zufällig zusamme weiter taze ka, als Gewi. Beschreibe Sie die folgede Ereigisse mit Worte: a) 1 2 3, b) 1 2 3, c) 1 2 3, d) 1 2 3, Habe die für die folgede Vorgäge jeweils zwei der agegebee Ereigisse gemeisame Elemete? a) Vorgag: Werfe eier Müze e) ( ) ( ) ( ) Ereigisse: 1 : Zahl liegt obe. 2 : Wappe liegt obe. b) Vorgag: Werfe vo zwei Müze. Ereigisse: B 1 : Die erste Müze zeigt "Zahl". B 2 : Die zweite Müze zeigt "Wappe". B 3 : Beide Müze zeige "Wappe". c) Vorgag: Zweimaliges Schieße auf eie Scheibe. Ereigisse: C l : Kei Treffer. C 2 : Geau ei Treffer. C 3 : Ei Treffer. C 4 : Zwei Treffer. d) Vorgag: Ziehe vo zwei Karte aus eiem Skatspiel. Ereigisse: D l : Zwei Kreuz- oder zwei Pikkarte werde gezoge. D 2 : Ei s wird gezoge. D 3 : Eie Dame wird gezoge. 11. Ei Schüler möchte Bohe zum Keime brige ud legt 4 Stück auf eie Teller uter eie feuchte Wattebausch. Es werde die folgede Ereigisse beobachtet: : Geau eie der 4 Bohe keimt. B: Midestes eie Bohe keimt. C: Zwei oder mehr Bohe keime. D: Geau zwei Bohe keime. E: Geau drei Bohe keime. F: lle vier Bohe keime. Beschreibe Sie die folgede Ereigisse mit Worte: a) B, b) B C, c) D E F, d) B, e) B C! 12. Es werde drei Maschie auf Fuktiostüchtigkeit überprüft. Es sei i das Ereigis "Die i-te Maschie ist defekt". Stelle Sie folgede Ereigisse durch eie Verküpfug der Ereigisse i dar: : lle drei Maschie sid defekt. B: Keie Maschie ist defekt. C: Weigstes eie Maschie ist defekt. D: Weigstes eie Maschie ist itakt. E: Midestes zwei Maschie sid defekt.

5 5 F: Nicht mehr als eie Maschie ist defekt. G: Nur die erste Maschie ist defekt! 13. I eiem Saatorium beträgt der teil der Kurgäste mit Diabetes 40% ud der mit zu hohem Blutdruck 50%. 30% der Kurgäste habe keie der beide Krakheite. Wie groß ist der teil derer, die beide Krakheite habe? 14. Bei eier Reiheutersuchug werde viele Persoe auf Lugekrebs hi utersucht. Es iteressiere folgede Ereigisse: : Die utersuchte Perso hat Lugekrebs. B: Die utersuchte Perso ist Raucher. Beschreibe Sie die folgede Ereigisse verbal, ud schraffiere Sie jeweils i eiem Vediagramm die etsprechede Fläche! a) B b) B c) B d) B e) ( B ) ( B). 15. Bei Bergleute mit 10jähriger Berufspraxis betrage der teil der a Silikose erkrakte Persoe 40%, der a Brochitis erkrakte 70% ud der Persoe, die a beide Krakheite gleichzeitig leide müsse, 30%. (Silikose ist eie krakhafte Veräderug der Luge durch Quarzstaub.) Wie groß ist der teil der Persoe dieser Gruppe, die keie der beide Krakheite habe? Statistische Erhebuge Wird ei Zufallsexperimet sehr oft durchgeführt, da stabilisiere sich für jedes Ergebis die relative Häufigkeite für das uftrete dieses Ergebisses, sie pedel sich um eie bestimmte Wert ei. Der Wert, um de sich die relative Häufigkeite für ei Ergebis eipegel, et ma die Wahrscheilichkeit dieses Ergebisses. Darstellugsmöglichkeite für Häufigkeitsverteiluge Beispiel: Lehrer Müller korrigiert die Mathearbeit seier Klasse ud otiert die Zesure i eier Urliste: Zesure z i {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit 1 i 25 Strichliste: I IIIII IIIII III II I I II III I I Tabelle mit absoluter ud relativer Häufigkeit 1 Zesure z H 25 (z) h 25 (z) 2/25 7/25 8/25 4/25 3/25 1/25 Stabdiagramm 1 Es gilt: H ( x) h ( x) =. ußerdem gilt auch H ( x) = ud h ( x ) = 1. x x

6 6 absolute Häufigkeit Zesur Säulediagramm relative Häufigkeit 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Zesur Kreisdiagramm 5% 10% 28% 14% 24% 19% Blockdiagramm

7 % 75% 50% 25% 0% Kegröße Mittelwert Der durchschittlich erreichte Wert; im Beispiel z = 3,08. llgemei gilt xi H ( x) x i x x = = h ( x) x = = 1. x Zetralwert Der Wert, der i der geordete Urliste geau i der Mitte steht 2 ; im Beispiel: Urliste: Häufigster Wert oder Modalwert m Der Wert, desse absolute Häufigkeit am größte ist; hier m = 3. Spaweite Gibt die Itervallbreite a, aus dem die Werte stamme. Sie wird allerdigs vo de Extremwerte der Messgröße bestimmt; hier z Mi = 1 bis z Max = 6 Spaweite 5. Mittlere bweichug Verdeutlicht, iwiefer die Werte vom Mittelwert abweiche. Bei der Berechug der bweichug verachlässigt ma das Vorzeiche, d. h. ob der Wert größer oder kleier ist, ist icht vo Belag. Zesure z i H 25 (z i ) bweichug: Mittlere bweichug 3 z= z z i ; hier Δz = 0,9888. z zi 2,08 1,08 0,08 0,92 1,92 2,92 2 Sollte der Zetralwert eier gerade zahl vo Werte bestimmt werde, immt ma de Mittelwert der beide mittlere Werte. 3 Wird als Mittelwert der bweichuge betrachtet ud i der Physik mit x bezeichet. Bei der Berechug des Mittelwertes ist die Häufigkeit des uftretes der Eizelwerte zu beachte. Mit adere Worte es ist der gewichtete Mittelwert zu bereche. Es ist immer ei positiver Wert. Gilt x = 0 so folgt daraus, dass alle Werte idetisch mit dem Mittelwert sid. Ist z. B. beim Würfel immer ur die 3 gefalle, so ist der Mittelwert 3 ud die bweichug vom Mittelwert 0, die mittlere bweichug

8 8 Stadardabweichug ud Variaz 2 Die Variaz beschreibt die mittlere quadratische bweichug V ( z) = ( z zi ) der Werte. Sie gibt damit a, wie stark die Streuug der Werte ist. Die Stadardabweichug σ ist die Wurzel aus diesem Wert: z= V z. Zesure z i H 25 (z i ) bweichug: ( ) 2 z z i 4,3264 1,1664 0,0064 0,8464 3,6864 8,5264 Hier ist V(z) = 1,5936 ud σ(z) = 1,2624. Je kleier die mittlere (lieare) bweichug bzw. die mittlere quadratische bweichug ud damit die Stadardabweichug ist, desto eger liege die Eizelwerte um das arithmetische Mittel dieser Eizelwerte herum. Sie streue also weiger. 16. Bei der Dichtebestimmug vo Stahl fade Schülergruppe die folgede Messwerte (i g/cm³). Stelle Sie die Häufigkeitsverteilug grafisch dar, ud vergleiche Sie diese. Dichte 7,1 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,3 Häufigkeit Gruppe 1 Dichte 7,3 7,4 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 Häufigkeit Gruppe 2 Welche Schülergruppe hat sorgfältiger gearbeitet? Geügt es, die Mittelwerte zu vergleiche? Laplace-Versuche Im Folgede betrachte wir Zufallsexperimete, die edlich viele Ergebisse (usgäge) habe ud bei dee alle Ergebisse gleich wahrscheilich sid. Solche Experimete heiße LPLCE- Experimete. 17. Werde mehrere Versuche acheiader ausgeführt, so spricht ma vo eiem mehrstufige Zufallsexperimet bzw. eier Kette. We mehrfach acheiader gewürfelt wird, et ma die Versuche voeiader stochastisch uabhägig. Stochastisch abhägig wäre das Verteile vo Karte aus eiem Stapel. Erkläre Sie die Begriffe abhägig ud uabhägig ahad vo adere Beispiele. Wie ist das beim Ziehe aus eier Lostrommel mit sehr viele Lose? 18. Das Würfel mit eiem (mathematische) Würfel ist ei solcher Versuch. Nee Sie adere LPLCE-Experimete ud gebe Sie die Ergebismege a. Bereche vo Wahrscheilichkeite Bei eiem LPLCE-Experimete gilt für die Wahrscheilichkeit P(E) eies Ereigisses E: zahl der für E güstige Ergebisse E P(E) = = zahl der mögliche Ergebisse S Kombiatorik Um die zahl der güstige zu bestimme, ist es oft das eifachste, alle mögliche Ergebisse aufzuschreibe ud die Passede zu markiere. Oftmals hätte ma da viel zu tu. Die Kombiatorik diet dazu, für bestimmte Kategorie vo ufgabe scheller zum Ziel zu fide. Eie wichtige Uterscheidug ist die Reihefolge, i der Ereigisse auftrete. somit auch 0.

9 9 We die Reihefolge iteressiert, da bilde die Elemete ei Tupel. Wir schreibe Tupel i rude Klammer (...). Mit (a b c) beschreibt ma also ei 3-Tupel / Tripel aus de Elemete a, b ud c. We die Reihefolge icht iteressiert, da bilde die ausgewählte Elemete eie Mege. Wir schreibe diese Mege wie üblich i geschweifte Klammer {...}. {a b c} ist eie 3-elemetige Mege. Im erste Beispiel sei die Reihefolge vo großer Wichtigkeit: Vier Sportler ehme am gleiche Wettkampf teil. Wie viele mögliche usgäge gibt es? Die Frage beatwortet ma schell durch folgede Überlegug: Es gibt Vier, die die Stelle des Siegers eiehme wolle. Zweiter köe da och Drei werde; Dritter och Zwei ud Letzter wird der Letzte ist doch klar. Isgesamt gibt es also: = 24 verschiedee Eiläufe. Das führt zur Permutatio. Eie ordug vo Elemete auf Positioe et ma Permutatio 4. Die zahl der Permutatioe ergibt sich da aus ( 1) ( 2) =!. 5 merkug: für das Produkt gibt es ählich zur Schreibweise mit dem Summezeiche z. B.: i die Produktschreibweise:! = i= 1 i Das ächste Beispiel ist sehr ählich. Die Reihefolge ist immer och wichtig. cht Sportler ehme am gleiche Wettkampf teil. Wie viele Möglichkeite gibt es für die beste Drei? Die Frage beatworte wir aalog zur Vorhergehede: Es gibt cht, die die Stelle des Siegers eiehme wolle, Siebe köe da och Zweiter werde ud Sechs mache uter sich de Dritte aus. Isgesamt gibt es also = 8!/5! = 336 Möglichkeite. Solle aus Elemete acheiader k Elemete der Reihe ach ausgewählt werde, so gibt es! V k = ( 1) ( k + 1) = Möglichkeite. Dies et ma Variatio 6 ohe ( k)! Wiederholug k merkug: V = i i= k+ 1 Was köte u ei Beispiel für eie Variatio mit Wiederholug sei? Nu bleibe wir beim Sport: cht Zehkämpfer versuche de Sieg uter sich auszumache. Wir betrachte de Sieger i jedem der 10 Kämpfe. Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es? Die Beatwortug der Frage fällt wieder leicht: im erste Kampf köte das jeder sei, im zweite Kampf köte das jeder sei usw. Isgesamt also = 8 10 Möglichkeite Jede mögliche ordug mit Berücksichtigug der Reihefolge aus je k vo Elemete heißt k k Variatio ud berechet sich im Falle der mögliche Wiederholug der Elemete durch: V =. Nu stellt sich die Frage: Wer hat de u gewoe? 7 So lade wir bei de Kombiatioe. Jede mögliche ordug ohe Berücksichtigug der Reihefolge aus je k vo Elemete heißt Kombiatio. Ohe Wiederholug der eizele Elemete ergibt sich: C k! = i= 1 k! k! = k 8 4 Es ist klar, dass sich da kei Elemet wiederhole ka ud das die Reihefolge vo Bedeutug ist. 5 Die mathematische Fuktio! (Fakultät) ist im GTR uter Math+PRoBability zu fide. 6 Variatio k-ter Klasse vo verschiedee Elemete ohe Wiederholug 7 Ud die ka hier atürlich icht beatwortet werde. 8 Sprich über k. Schreibweise für de Biomialkoeffiziete. GTR-Fuktio wieder im Math-Meü uter PRoBability zu fide.

10 10 Da wir auf die Frage Wer hat de u gewoe? jede Gewier ur eimal aufzähle, habe wir bei 8 Teilehmer ud 3 Plätze isgesamt 8 3 = 8! 8 3! 3! = verschiedee Möglichkeite zu atworte. merkug: Nicht ohe Grud habe Variatio ud Kombiatio sehr ähliche Formel. Dadurch, dass Wiederholuge zugelasse werde, falle k! Möglichkeite weg. merkug: Der Biomialkoeffiziet wird sehr häufig verwedet. Sehe Sie doch mal ach k dem Biomische Satz oder dem PSCLsche Dreieck. Ud zum bschluss: Wer ware die Sieger der 10 Disziplie? Hier ist u die Widerholug zugelasse, de Eier ka ja i verschiedee Sportarte gewie (oder i alle). Die twort darauf fidet ma i der Kombiatio vo Elemete zur k-te Klasse mit Wiederholug: C k = k 1 k ufgabe zur Kombiatorik 19. Bei eiem 5000 m-lauf sid 5 Läufer am Start. Wie viele Möglichkeite für de Zieleilauf gibt es? Quelle: VuW Lösug: K Persoe solle sich ametlich i eie Liste eitrage. Wieviel Eitragugsmöglichkeite gibt es? 21. Wieviel Wörter ka ma aus de 6 Buchstabe a, b, e, f,, s bilde, we kei Buchstabe doppelt vorkomme soll? (Der Si des Wortes ud die ussprachefähigkeit solle bei dieser Überlegug keie Rolle spiele.) 22. Ei rzt muss auf seier Hausbesuchstour 9 Patiete besuche. Wieviel Möglichkeite hat er für die Reihefolge der Krakebesuche? 23. Wieviel verschiedee füfstellige Zahle ka ma aus 5 Ziffer bilde, we keie Ziffer doppelt vorkomme soll? Wie ädert sich die zahl, we Ziffer auch mehrfach auftrete köe? (Hiweis: Überlege Sie, wieviel Möglichkeite es für jede eizele Stelle gibt!) 24. Für die deutsche utoummer (L - C 3718) wurde das folgede System etwickelt: Zuerst stehe 1 bis 3 Buchstabe, die de Ort bzw. de Kreis bezeiche. Da folge 1 oder 2 Buchstabe ud de bschluss bilde 1 bis 4 Ziffer. Wieviel verschiedee utoummer ka ma auf diese Weise i eiem bestimmte Kreis (bzw. i eiem bestimmte Ort) höchstes ausgebe? 25. Wieviel Möglichkeite gibt es, aus eier Ure mit 5 umerierte Kugel zwei Kugel acheiader herauszuehme, we die Kugel icht zwischedurch wieder zurückgelegt werde? 26. Beim Sportuterricht, a dem 24 Schüler teilehme, solle 2 Schüler zum ufbaue der Turgeräte eigeteilt werde. Wie viele Möglichkeite stehe zur uswahl? 27. Wir sid auf der Rebah ud iteressiere us für die drei Erstplazierte uter 10 Pferde. a) Wieviel verschiedee Tips gibt es, we die Reihefolge, i der die Pferde durchs Ziel gehe, icht berücksichtigt wird? b) Wieviel verschiedee Tips sid es, we die Reihefolge doch berücksichtigt werde soll? 28. Ei roter, ei grüer ud ei blauer Würfel werde geworfe. Wieviel Möglichkeite gibt es für die 3 gewürfelte ugezahle? Wieviel davo zeige auf jedem Würfel eie adere ugezahl?

11 Für welche der folgede uswahle gibt es mehr Möglichkeite: - für die uswahl vo 2 Persoe aus eier Gruppe vo 8, oder - für die uswahl vo 6 Persoe aus eier Gruppe vo 8? 30. Wieviel Möglichkeite gibt es, 8 Türme so auf ei Schachbrett zu setze, dass kei Turm eie adere schlage ka. 31. eiem Volleyball-Wettkampf beteilige sich 16 Maschafte. Wieviel Spiele sid auszutrage, we jede Maschaft gege jede spiele soll? Wieviel Spiele sid es, we durchgägig ach dem k.o.-system gespielt wird, also ur der Meister ermittelt wird? 32. Eie Müze wird füfmal hitereiader geworfe. Nach jedem Wurf wird otiert, ob Zahl (Z) oder Wappe (W) obe liegt. ls Ergebis dieses Vorgags erhält ma eie Folge vo 5 Zeiche, z. B. (ZZWZW). a) Wieviel derartige Folge sid überhaupt möglich? b) Wieviel Folge gibt es, i dee geau zweimal Z registriert wurde? 33. Bei eier statistische Qualitätskotrolle wird aus eier Produktiosserie eie bestimmte zahl Erzeugisse ausgewählt ud utersucht. us dem Ergebis der Stichprobeutersuchug schließt ma da auf die Qualität der gaze Serie. Wieviel verschiedee Stichprobe gibt es bei eier Produktiosserie vo 100 Stück, we die Stichprobe aus 2 Stück besteht? 34. us eier Sedug vo 90 Batterie werde zu eier Stichprobeprüfug 4 willkürlich herausgegriffe. Wieviel uswahlmöglichkeite gibt es? 35. Ei Versorgugsfahrzeug soll vo eiem Großhadelslager aus acheiader 6 verschiedee Verkaufsstelle afahre. Wieviel Möglichkeite eier Versorgugstour gibt es? 36. Wieviel verschiedee dreistreifige Flagge köe aus 7 Farbe zusammegestellt werde? (bbildug 1) 37. I eier Stadt möge es 5stellige Telefoummer gebe. a) Wieviel schlüsse köe i dieser Stadt isgesamt vergebe werde, we a der erste Stelle keie 0 stehe darf? b) Wieviel dieser schlüsse bestehe jeweils bbildug 1 ur aus verschiedee Ziffer? 38. Die Grudform bei der Braille-Blideschrift besteht aus eiem Rechteck, das aus 6 Pukte gebildet wird. Jeder Buchstabe wird durch 1 bis 6 Pukte gebildet, vo dee jeder D a s L e b e i s t s c h ö. a eie bestimmte Stelle des Schemas be bbildug 2 setzt wird (ei- oder hochgedrückt; vgl. mit bbildug 2). Wieviel Zeiche ka ma auf diese rt ud Weise bilde? 39. Wieviel verschiedee Iitiale (z. B. Karl Müller: K. M.) köe aus 2 Buchstabe (aus 3 Buchstabe) gebildet werde? 40. Wie lag muss ei lphabet sei, damit 1 Millio Mesche durch 3buchstabige Iitiale idetifiziert werde köe? (Vgl. Kurt Friedrich Nebel: K. F. N.) Kider stehe im Kreis ud spiele Ball. Wieviel verschiedee Strecke ka der Ball zurücklege, we eie Strecke de Weg vo Kid zu Kid darstellt?

12 Ei lphabet bestehe aus de Buchstabe ud B. Wieviel Wörter mit 4 Buchstabe gibt es i diesem lphabet? Bereche Sie auch die zahl der Wörter mit 8, 12 ud 16 Buchstabe! 43. I eiem Krakehaus solle 16 Krakeschwester zu zweit zum Diest auf 8 Statioe eigeteilt werde. a) Wieviel Möglichkeite hat die Oberschwester für de Diestpla? b) Wieviel Möglichkeite verbleibe och, we die Krakeschwester Ia ud Kari auf gar keie Fall auf der Itesiv-Statio ud die Krakeschwester Sabie ud ke ubedigt auf der Woche-Statio arbeite wolle? 44. Sie habe sich vo eier 7stellige Telefoummer ur die erste ud die letzte Zahl merke köe. Dukel erier Sie sich auch och dara, dass außerdem die Ziffer 3, 4, 4, 6 ud 9 auftrate, aber die Reihefolge dieser 5 Ziffer i der Mitte wisse Sie icht mehr. Wieviel Telefogespräche müsste Sie maximal führe, um die richtige Telefoummer herauszufide? Schüler (8 Mädche ud 10 Juge) bewerbe sich i eiem Betrieb für eie Feriejob. Der Betrieb ka die Schüler für drei rbeite eisetze, ud zwar bei der erste rbeit 3 Mädche, bei der zweite 5 Juge ud bei der dritte 4 Mädche oder Juge. Wieviel Eistellugsmöglichkeite gibt es für de Betrieb? 46. I eier Iteratswohug stehe 2 Dreibett- ud 1 Zweibettzimmer zur Verfügug. I die Wohug ziehe 8 Juge ei. Wieviel Möglichkeite der Zimmerbelegug gibt es? 47. Wieviel verschiedee Farbmuster ergebe sich (bbildug 3) we a) 8 verschiedefarbige Perle, b) 4 rote, 2 weiße ud 2 grüe Perle aeiadergereiht werde? 48. Füf Ehepaare habe eie Teisplatz gemietet. a) ls erstes soll ei gemischtes Doppel gespielt werde. bbildug 3 Wieviel Möglichkeite für die uswahl der erste vier Spieler gibt es? b) Gebe Sie auch die zahl der etsprechede Möglichkeite a, we gefordert wird, dass icht beide Parter eies Ehepaares im erste Match spiele (sowie we icht beide Parter eies Paares auf eier Seite spiele) dürfe? 49. Mit welcher Wahrscheilichkeit werde bei der ächste Ziehug im Lotto 6 aus 49 alle 6 Zahle gezoge, die Sie auf eiem Lotto-Schei akreuze würde? 50. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit bei eiem Tip eie 4-er (5-er, 3-er, 2-er, 1-er) zu habe? Lösug: K 51. Eie Schreibmaschie hat 44 Taste. Der kleie Felix tippt 5 verschiedee Taste auf gut Glück. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er das Wort "Felix" tippt? (Bedeke Sie, dass die Reihefolge zu beachte ist!) 52. I eiem Teich befidet sich eie ubekate zahl vo Karpfe. Ma fägt Stück, kezeichet sie ud lässt sie wieder i de Teich zurück. Nach eiiger Zeit fägt ma 150 Karpfe ud stellt fest, dass uter ihe 10 markierte sid. Wieviel Karpfe befide sich midestes i diesem Teich? Wieviel Karpfe befide sich vermutlich i diesem Teich? 53. Das Kobelspiel "Schere-Stei-Papier" wird bestimmt durch gleichzeitiges Zeige bestimmter Hadzeiche vo 2 Leute. Dabei gewit. "Schere" gege "Papier", "Papier" gege "Stei", "Stei" gege "Schere". Zeige beide das gleiche Zeiche, edet die Rude uetschiede. Mit welcher Wahrscheilichkeit gewit Spieler bzw. gewit Spieler B icht bzw. edet es uetschiede, we jeder Spieler willkürlich ei Zeiche zeigt?

13 us eier Ure mit 3 weiße ud 2 rote Kugel werde ohe zurücklege, acheiader zwei Kugel etomme. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit der folgede Ereigisse : Beide Kugel sid weiß. B: Die Kugel sid verschiedefarbig. C: Die erste Kugel ist weiß. D: Die zweite Kugel ist rot. Baumdiagramme Mehrstufige Zufallsexperimete lasse sich durch Baumdiagramme veraschauliche. Da bei mehrstufige Zufallsexperimete die Wahrscheilichkeite der eizele Ergebisse zu ermittel sid ud zu jedem Ergebis geau ei Pfad im Baumdiagramm existiert, et ma die vo us zu fidede Rechevorschrifte Pfadregel. Pfadregel sid Rechevorschrifte zum Ermittel vo Wahrscheilichkeite vo Ergebisse ud Ereigisse mehrstufiger (-stufiger, 2) Zufallsexperimete. Die Wahrscheilichkeite der Ergebisse i de eizele Stufe müsse bekat sei. 55. us eier Lotterie werde 5 Lose ohe zurücklege etomme. I der Ure liegt ei Hauptgewi vo 1000, 10 Trostpreise vo 10 ud 89 Niete. Gebe Sie die Wahrscheilichkeitsverteilug a. Hiweis: Die Lösug der ufgabe erfordert ei weig Geduld. Summe ud Produktregel Die Wahrscheilichkeite etlag eies Pfades multipliziere sich. Die Wahrscheilichkeite verschiedeer Wege (Pfade) addiere sich. Zufallsgröße Wahrscheilichkeitsverteilug Lösug: K Wird jedem Ergebis eies Zufallsexperimets geau eie reelle Zahl zugeordet, da et ma diese bbildug Zufallsgröße X (ZG). Eie Fuktio, die jeder dieser reelle Zahle - ausgehed vo der Wahrscheilichkeitsverteilug der Ergebisse des Zufallsexperimets - eie bestimmte Wahrscheilichkeit zuordet, heißt Wahrscheilichkeitsverteilug dieser Zufallsgröße P(X = x i ). Erwartugswert Uter dem Erwartugswert eier Zufallsgröße versteht ma de zu erwartede Mittelwert der Werte dieser Zufallsgröße. Ma bestimmt de Erwartugswert E(X) eier Zufallsgröße X, idem ma jede mögliche Wert x 1, x 2,... x der Zufallsgöße mit der zugehörige Wahrscheilichkeit multipliziert ud diese Produkte addiert, d. h. E(X) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) x P(X = x ).

14 14 BERNOULLI-Experimete 9 Ei BERNOULLI-Versuch ist ei spezielles LPLCE-Experimet. Er hat ämlich ur zwei mögliche Ereigisse. So ist z. B. das eimalige Würfel ei LPLCE-Experimet, aber och kei BERNOULLI-Experimet, de es köe ja sechs verschiedee Ergebisse betrachtet werde. Würde ma aber ur darauf achte, ob ei Sechs fällt oder icht, da hätte ma ur zwei mögliche usgäge ud somit ei BERNOULLI-Experimet. 56. Nee Sie adere BERNOULLI-Experimete. 57. I eier Ure liege eie rote ud drei schwarze Kugel. Ma zieht dreimal je eie Kugel. Treffer i sei das Ziehe der rote Kugel beim i-te Zug. Offebar ist sowohl beim Ziehe mit Zurücklege wie auch beim Ziehe ohe Zurücklege P( i ) = ¼ für i = 1, 2, 3. Eie Beroulli-Kette liegt jedoch ur beim Ziehe mit Zurücklege vor. a) Begrüde Sie die letzte Behauptug; idem Sie mit Hilfe eies Baums die Wahrscheilichkeitsverteiluge für das Ziehe mit bzw. ohe Zurücklege erstelle. b) Zeige Sie, dass beim Ziehe ohe Zurücklege 1 ud 2 stochastisch abhägig sid. (Quelle: Barth) BERNOULLI-Kette Wiederholt ma eie BERNOULLI-Versuch ei- oder mehrmals ud beeiflusst das Ergebis des eie Versuches icht das des adere Versuches, so etsteht eie BERNOULLI-Kette. 58. We wir mehrmals acheiader mit der Müze werfe 10, etsteht also eie BERNOULLI-Kette. Warum ist es keie solche Kette, we wir mehrmals aus eiem Lostopf ziehe ud otiere, ob ei Gewi erzielt wurde oder icht? Nee Sie weitere Experimete, die zur Etstehug (oder icht Etstehug) eier BERNOULLI- Kette führe. Lösug: K 59. Beim Mesch-ärgere-dich-icht darf ma dreimal würfel. We dabei eie 6 gewürfelt wird, darf ma eie Figur auf das Spielfeld setze. Mit welcher Wahrscheilichkeit ka ma scho i der erste Rude starte? () 60. I eier Ure befide sich 3 rote ud 7 weiße Kugel. Viermal hitereiader wird folgeder Versuch durchgeführt: Es wird eie Kugel gezoge, die Farbe otiert ud schließlich wieder zurückgelegt. Bereche Sie die Wahrscheilichkeite folgeder Ergebisse: a) Erst werde 2 rote, da 2 weiße Kugel gezoge. b) Erst werde 2 weiße, da 2 rote Kugel gezoge. c) Die erste 3 Kugel sid rot, die vierte ist weiß. d) Die erste 3 Kugel sid rot. e) 2 der 4 Kugel sid rot. () 61. Bei eier Prüfug werde jedem Prüflig 10 Frage gestellt. Zu jeder Frage sid 3 tworte vorgegebe, vo dee aber ur eie richtig ist. Nehme wir a, ei Prüflig weiß überhaupt ichts ud tippt jedes Mal, ohe zu überlege, irgedeie twort. Bereche Sie für jede mögliche zahl vo richtige tworte die etsprechede Wahrschei 9 Beroulli, Jakob ( ), Schweizer Mathematiker ud Physiker, gebore am 27. Dezember 1654 i Basel. Beroulli stammte aus eier bedeutede Gelehrtefamilie ud ahm auf Wusch seies Vaters das Studium der Theologie auf. Seie besodere ufmerksamkeit aber galt der Mathematik. Nach Beedigug des Studiums lehrte er als Privatdozet im europäische uslad ud lerte dabei bedeutede Wisseschaftler seier Zeit kee erreichte ih die Berufug zum Professor für Mathematik a der Uiversität Basel. Beroulli war eier der bedeutede Mathematiker des 17. Jahrhuderts. Gemeisam mit seiem Bruder Joha Beroulli schuf er grudlegede Beiträge zur Theorie der Differetialgleichuge. Er erzielte wichtige Resultate auf dem Gebiet der Wahrscheilichkeitsrechug ud gab etscheidede stöße zur Etwicklug der Variatiosrechug wurde seie umfagreiche wisseschaftliche bhadluge als Gesamtwerk herausgegebe. Jakob Beroulli starb am 16. ugust 1705 i Basel. (Quelle: Ecarta) 10 Müzwurf hat immer ur zwei Ergebisse. uf dem Rad ka keie (mathematische) Müze stehe.

15 15 lichkeit! Stelle Sie die Ergebisse im Streckediagramm dar ud diskutiere Sie darüber! () 62. uf eiem Galto-Brett rolle acheiader 25 Kügelche über ei Hiderisfeld. Bei jedem Hideris rolle die Kügelche etweder ach rechts oder ach liks ud falle schließlich i die dafür vorgesehee Fächer uterhalb des Galto-Brettes. Wie viele verschiedee Wege führe zu jedem eizele Fach? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Kügelche im Fach 2 liege bleibt? Gibt es eie Zusammehag zwische der zahl der Wege zu eiem Fach ud der etsprechede Wahrscheilichkeit? (Quelle: VuW - Lösug: K) 63. Ei Düseflugzeug hat 4 Triebwerke. Es ka aber sogar och fliege, we ur ei Triebwerk arbeitet, also 3 Triebwerke ausgefalle sid. Jedes Triebwerk arbeitet mit großer Zuverlässigkeit ud fällt ur i eiem vo 1000 Fälle aus we der Flug 8 Stude icht überschreitet. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit für de Fall, dass das Flugzeug bei eiem 8-Stude-Flug mit ur eiem Triebwerk auskomme muss! (Quelle: VuW - Lösug: K) 64. Die usschussrate bei der Herstellug vo 60 W-Glühlampe beträgt 1%. Was ist wahrscheilicher, uter 25 weigstes eie defekte Glühlampe zu fide oder dass bei 15 zufällig ausgewählte Glühlampe alle i Ordug sid?(quelle: VuW - Lösug: K) 65. uf eier Tüte mit Saatgut steht, dass bei Eihaltug der Hiweise 80% der Same aufgehe werde. Mit welcher Wahrscheilichkeit wird weigstes eis vo 10 gesäte Samekörer aufgehe? () 66. Eiem Poste vo 100 Teile werde "auf gut Glück" 10 Teile zur Qualitätskotrolle etomme. Der Hersteller hat sich zu höchstes 5% usschuss verpflichtet. Der Poste wird abgeleht, we midestes ei defektes Teil i der Stichprobe ist. a) Mit welcher Wahrscheilichkeit wird der Poste abgeleht, we der vereibarte usschussateil gerade och eigehalte wird? b) Wie veräder sich die ebe berechete Wahrscheilichkeite, we der Poste i Wirklichkeit 10% defekte Teile ethält? c) Wie veräder sich die ebe berechete Wahrscheilichkeite, we der Poste höchstes ei defektes Teil ethalte darf, um ageomme zu werde? () 67. Eie Operatio habe 80% ussichte auf Erfolg. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass 4 der ächste 5 Patiete erfolgreich operiert werde? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass der füfte Patiet erfolgreich operiert wird, we die vier Patiete vor ihm eie erfolgreiche Operatio hatte? () 68. Biomialverteilug muss och ergäzt werde

16 32 Stichwortverzeichis abhägig...8 bweichug... mittlere...7 Biomialkoeffiziet...10 Biomialverteilug...15, 24, 25 Blockdiagramm...6 Ereigis...1 Elemetar-...1 etgegegesetztes...2 sicheres...1 umögliches...1 Ergebismege...1 Ergebisse...1 Erwartugswert...13 Häufigkeit...5 Häufigkeit... Formel...5 relative...5 Häufigkeitsverteilug... Darstellug...5 Kombiatorik...8 Kreisdiagramm...6 Laplace...8 Mege... Bild...2 Verküpfuge...2 Mittelwert...7 Modalwert...7 Permutatio...9 Säulediagramm...6 Spaweite...7 Stabdiagramm...5 Stadardabweichug...8 Statistische Erhebuge...5 Strichliste...5 uabhägig...8 Urliste...5 Variaz...8 Variatio...9 Vediagramm...2 Wahrscheilichkeitsverteilug...13 Zetralwert...7 Quelleagabe VuW Barth Ecarta Fisz Schwa Paetec Oldebourg Weber, Grit: Stochastik; Volk ud Wisse Verlag GmbH Berli 1992; 1. uflage ISBN Barth Microsoft Ecarta Ezyklopädie Microsoft Corporatio. lle Rechte vorbehalte. Fisz Schwa Themearbeitsheft für die Sekudarstufe I Stochastik; paetec Gesellschaft für Bildug ud Techik mbh Berli 1997; ISBN Bock H., Walsch W.: Mathematik Stochastik. 1. uflage Müche, R. Oldebourg Verlag GmbH 1993 ISBN Iteret GaltoBrett