10. Testen von Hypothesen Seite 1 von 6

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1 10. Teste vo Hypothese Seite 1 vo Eiführug i das Teste vo Hypothese Eie Hypothese ist eie Vermutug bzw. Behauptug über die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses. Mit Hilfe eies geeigete Tests (=Testverfahre) soll etschiede werde, ob die Hypothese ageomme oder abgeleht wird. I beide Fälle ist die Etscheidug mit eier bestimmte Irrtums- bzw. Fehlerwahrscheilichkeit behaftet. Beispiele für Hypothese: - Wie groß ist der Ateil roter Kugel vo so us so viele schwarze ud rote Kugel i eier Ure? - Wie groß ist der Ateil defekter Schraube i eier Packug? Vorgehesweise: Zuächst ist festzulege, was ei Treffer sei soll, also z. B. die rote Kugel, die defekte Schraube usw. Beim Teste der Hypothese wird eie bestimmte Azahl vo Kugel (Schraube) gezoge. Ma spricht vo eier Zufallsstichprobe vom Umfag. Uter de gezogee Kugel ( Schraube) befide sich geau k Treffer. Die Azahl der Treffer et ma die Testgröße Z. Ka ma davo ausgehe, dass die Wahrscheilichkeit p für eie Treffer immer gleich groß ist, so ist die Zufallsstichprobe ei Beroulli-Experimet! Die Wahrscheilichkeit für geau k Treffer lässt sich also mit der Biomialverteilug bereche. Das Teste vo Hypothese ist somit ichts aderes als ei Awedugsbeispiel für die Biomialverteilug! 10.2 Alterativtests Bei eiem Alterativtest soll ma sich zwische 2 Hypothese (=Aahme) H 1 ud H 2 etscheide. Beispiel: Es soll geklärt werde, wie groß der Ateil der rote Kugel i eier Ure mit rote ud schwarze Kugel ist. Eie Vermutug ist, dass der Ateil p 1 sei, eie 2. Vermutug ist, dass der Ateil p 2 (> p 1) sei. 1. Schritt: Formulierug der Hypothese H 1 : Ateil der rote Kugel sei p 1 H 2 : Ateil der rote Kugel sei p 2 Bemerkug: Die Hypothese H 1 wird auch als Nullhypothese H 0 bezeichet. Da ist H1 die Alterative. Die Etscheidug muss davo abhäge, wie groß die Testgröße Z ist, d.h. wie viele rote Kugel bei der Stichprobe gezoge wurde. Dazu stellt ma eie Etscheidugsregel auf. 2. Schritt: Etscheidugsregel aufstelle Z X Etscheidug für H 1 Z > X Etscheidug für H 2 Dabei ist X ei Wert zwische 0 ud ud ka zuächst beliebig gewählt werde. I der Praxis orietiert ma sich a de Erwartugswerte bzgl. ud p 1 bzw. ud p 2. Durch Wahl vo X wird der Wertebereich W={ 1,..., } aufgeteilt i de Aahmebereich A 1 für H 1 mit A 1={ 1,..., X} ud de Aahmebereich A 2 für H 2 mit A 2={X+1, X+2,..., }. Der Aahmebereich A 2 ist damit gleichzeitig der Ablehugsbereich A 1 (= kritischer Bereich) für H 1; etspreched ist A 1 der Ablehugsbereich für H 2. Es gilt: A 1 A 2.

2 10. Teste vo Hypothese Seite 2 vo 6 Die Etscheidug für oder gege H 1 bzw. für oder gege H 2 ist jeweils vo der Stichprobe abhägig, damit zufällig, ud ka somit jeweils wahr oder falsch sei. Ma wird sich also mit eier bestimmte Wahrscheilichkeit richtig oder falsch etscheide. Vergleiche dazu folgede Übersicht: Für die Testgröße Z gilt: Z X Z > X H 1 trifft zu: Irrtümliche Ablehug vo H 1 Richtige Etscheidug für H p = p 1 1 Fehler 1. Art H 2 trifft zu: Irrtümliche Ablehug vo H 2 Richtige Etscheidug für H p = p 2 2 Fehler 2. Art Bei eiem Fehler 1. Art wird also H 1 wird irrtümlich verworfe (= abgeleht). Beim Fehler 2. Art wird H 1 irrtümlich ageomme. 3. Schritt: Berechug der Fehlerwahrscheilichkeite Die zugehörige Wahrscheilichkeite sid Biomialverteilugswahrscheilichkeite ud lasse sich allgemei wie folgt bereche: Z X Z > X p1 p1 p = p 1 P p 1 (Z X) P (Z X) 1 P (Z X) p2 p2 p = p 2 P p 2 (Z X) P (Z X) 1 P (Z X) Beachte: Die Fehlerwahrscheilichkeite häge jeweils vo X ud p 1 bzw. p 2 ud ab! Als Risiko 1. Art bezeichet ma die Wahrscheilichkeit für de Fehler 1. Art, also die Wahrscheilichkeit, dass ma sich irrtümlich für die Hypothese H 2 etscheidet. D. h. es ist Z > X, aber p = p 1. Etspreched ist das Risiko 2. Art die Wahrscheilichkeit für de Fehler 2. Art, also die Wahrscheilichkeit, dass ma sich irrtümlich für die Hypothese H 1 etscheidet. D. h. es ist Z X, aber p = p 2. Ädert ma bei gleichem p ud die Etscheidugsregel, so vergrößert sich das Risiko 1. Art währed sich das Risiko 2. Art verkleiert oder umgekehrt. I der Praxis wird ma bemüht sei, die Risike 1. ud 2. Art möglichst gerig zu halte, d.h. ma wird die Etscheidugsregel etspreched so alege ud gegebefalls äder, dass diese beide Wahrscheilichkeite oder zumidest eie davo möglichst klei ist. Beispiel: Eie Firma stellt Schraube her. Ist der Ausschussateil der Schraube 10%, so hadelt es sich um Schraube 1. Wahl. Beträgt der Ausschussateil der Schraube jedoch 40%, so hadelt es sich um Schraube 2. Wahl. Aus eier Schachtel werde Schraube gezoge. Es soll etschiede werde, ob es sich um Schraube 1. oder 2. Wahl hadelt. a) Bereche die Risike 1. ud 2. Art, we ma aimmt, dass es sich um Schraube 1. Wahl hadelt, we weiger als 2 defekte Schraube uter de gezogee sid. b) Ädere die Etscheidugsregel ab ud überprüfe, wie sich dadurch die Risike 1. ud 2. Art äder. c) Wie wirkt sich eie Vergrößerug des Stichprobeumfags auf für die Risike 1. ud 2. Art aus? d) Wie muss ma die Etscheidugsregel aufstelle, damit Schraube 2. Wahl bei eier Stichprobe vom Umfag mit höchstes 2% Wahrscheilichkeit irrtümlich für Schraube 1. Wahl gehalte werde?

3 10. Teste vo Hypothese Seite 3 vo 6 Lösug: a) Hypothesetest 1. Schritt: Formulierug der Hypothese H 1 : p 1 = H 2 : p 2 = 4 2. Schritt: Etscheidugsregel aufstelle Zuächst sei X=1 willkürlich (ud damit möglicherweise och icht optimal) gewählt. Somit: Z 1 Etscheidug für H 1 Z > 1 Etscheidug für H 2 Dadurch wird der Wertebereich W={ 1, 2, 3, 4, } aufgeteilt i de Aahmebereich A 1 für H 1 mit A 1={ 1} ud de Aahmebereich A 2 für H 2 mit A 2={2, 3, 4, }. 3. Schritt: Berechug der Fehlerwahrscheilichkeite Berechug des Fehlers 1. Art, d. h. H 1 sei wahr, also p=, aber Testgröße aus A 2, also Z > 1: Risiko 1. Art P Z 1 1 P Z 1 1 F(1) ,1% Berechug des Fehlers 2. Art, d. h. H 2 sei wahr, also p=4, aber Testgröße aus A 1, also Z 1: Risiko 2. Art P 4 Z 1 F(1) ,7% Iterpretatio: Ma etscheidet sich eher für H 1, obwohl H 1 falsch ist, d. h. irrtümliche Etscheidug für H 1. b) Äderug der Etscheidugsregel 1. Schritt: wie bei a) 2. Schritt: geäderte Etscheidugsregel: Jetzt sei X=0 (icht ubedigt sivoll gewählt!): Z 0 Etscheidug für H 1 Z > 0 Etscheidug für H 2 Dadurch wird der Wertebereich W={ 1, 2, 3, 4, } aufgeteilt i de Aahmebereich A 1 für H 1 mit A 1={0} ud de Aahmebereich A 2 für H 2 mit A 2={1, 2, 3, 4, }. 3. Schritt: Berechug der Fehlerwahrscheilichkeite Risiko 1. Art Risiko 2. Art P P Z 0 1 P Z 0 1 F(0) ,0% 4 Z 0 F(0) ,8% Ma erket: Das Risiko 1. Art hat sich verkleiert, gleichzeitig ist das Risiko 2. Art gestiege. c) Vergrößerug des Stichprobeumfags auf =. 1. Schritt: wie bei a) 2. Schritt: Wie soll A 1 sivoll festgelegt werde? Betrachte die Erwartugswerte bzgl p 1 ud p 2: Falls H 1 wahr 1==2 Falls H 2 wahr 2=4=8 Damit sollte X zwische 2 ud 8 liege, z. B. X=4. Somit: Z 4 Etscheidug für H 1 Z > 4 Etscheidug für H 2 Dadurch wird der Wertebereich W={ 1,..., } aufgeteilt i de Aahmebereich A 1 für H 1 mit A 1={ 1, 3, 4} ud de Aahmebereich A 2 für H 2 mit A 2={, 6,..., }.

4 10. Teste vo Hypothese Seite 4 vo 6 3. Schritt: Berechug der Fehlerwahrscheilichkeite Risiko 1. Art Risiko 2. Art P P Z 4 1 P Z ,3% 4 Z 4 F(1) 009,1 % Ma erket: Je größer, desto geriger sid die Risike 1. ud 2. Art, d..h desto zuverlässiger ist der Test. d) Das Risiko 2. Art soll höchstes 2% sei. Daraus ergibt sich die Etscheidugsregel. Es soll also gelte: P 4 (Z c) 02 Aus dem Tafelwerk folgt: P 4 (Z 3) ud P 4 (Z 4) Damit muss c = 3 gewählt werde ud die Etscheidugsregel lautet: Z 3 Etscheidug für H 1 Z > 3 Etscheidug für H 2. Bemerkug: Bei der Wahl c=3 sid die Risike 1. ud 2. Art etwa gleich. Dagege würde bei der Wahl c=2 das Risiko 1. Art zuehme Sigifikaztests Problemstellug Gibt es zu eier Hypothese H der so geate Nullhypothese, eie Vielzahl vo Gegehypothese, so ist eie alterative Etscheidug icht möglich. Da geht es darum, die falsche Etscheidug für H also de Fehler 1. Art, möglichst klei zu halte. Ma gibt deshalb ei so geates Sigifikaziveau für das Risiko 1. Art vor ud ermittelt dazu die Etscheidugsregel. Eie solche Form vo Test heißt Sigifikaztest. Bei eiem Sigifikaziveau vo =% spricht ma vo eiem sigifikate, bei =1% vo eiem hochsigifikate Test bzw. Ergebis. Die Wahrscheilichkeit 1- wird als Sicherheits-Niveau bezeichet, da sie eie utere Schrake für die Wahrscheilichkeit, H 0 zu Recht azuehme, darstellt. Muster: Nullhypothese H 0: p = p 0 Alterative H 1: p > p wobei p icht bekat ist (p<1) Bemerkug: Geauso gut köte ma als Alterative p < p 0 aehme. Die Etscheidugsregel ist da: H0 ZA H Z A mit A A 1 Dabei wird A so gewählt, dass das vorgegebee Sigifikaziveau eigehalte wird. Für das Risiko 1. Art gilt da: P p 0 (Z A), falls H 0 wahr ist. Für das Sicherheits-Niveau 1- gilt: P p 0 (ZA) 1, falls H 0 wahr ist.

5 10. Teste vo Hypothese Seite vo Eiseitige Tests über p Bei eiem eiseitige Test über p wird p ach eier Seite - häufig ach obe - begrezt. D. h. die Nullhypothese ist p=p 0; die Alterative ist p>p 0. Der Aahmebereich ist ebefalls eiseitig, also vo der Form A={ 1,..., c}. Sid für p mehrere Werte möglich, also pp so spricht ma vo zusammegesetzter Nullhypothese. Dabei rechet ma eifach mit p=p Beispiel: a) Ei Lieferat behauptet, der Ausschussateil seier Ware sei geau 1%, also p=1%. Es wird deshalb folgede Vereibarug getroffe: Der Kude erhält eie Preisachlass, we bei eier Stichprobe vom Umfag achgewiese werde ka, dass p deutlich größer als 1% ist. Das Risiko für de Lieferate, zu Urecht eie Preisachlass gewähre zu müsse, soll höchstes 10% sei. Wie ist die Etscheidugsregel zu treffe? Lösug: H 0: p = Z c H 1: p > Z > c Mit = ud 10% folgt: P 1 (Z, c) 1 P (Z c) 1 P 1 (Z c) aus dem Tafelwerk folgt: c Ma wählt damit das kleiste mögliche c, also c =. Damit lautet die Etscheidugsregel: H0 Z, 2, 3, 4, H1 Z6, 7,..., Das tatsächliche Risiko 1. Art ist da 1 P Z ,7% 10% D. h. H 0 ka somit mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 93,3% abgeleht werde. Das Risiko 2. Art hägt atürlich vo p für H 1 ab. Hier köe ur exemplarisch eiige Werte ermittelt werde. Hier: (p) P (Z ) 1 mit p > p z. B. (2) = 80421, (3) = usw. b) Der Lieferat behauptet jetzt, dass der Ausschussateil seier Ware höchstes 1% beträgt, also p1%. Was ädert sich dadurch? Lösug: Dies etspricht dem Fall a), wobei jetzt jedoch mit p gerechet wird. Mit = ud 10% folgt: H 0: p Z c H 1: p > Z > c Für p = ist = = 3 für p < ist < 3. Folgerug: Z wird mit och größerer Sicherheit als bei a) im Aahmebereich vo H 0 liege. Ma rechet daher mit dem selbe Aahmebereich wie bei a). Das Risiko 1. Art immt ab, je kleier p ist. Z. B. p = 0 = c) Wie ist die Etscheidugsregel abzuäder, damit das Ergebis hochsigifikat ist? Lösug: P 1(Z c) 01 P 1(Z c) Damit lautet die Etscheidugsregel: H0 Z, 2, 3, 4,, 6, 7 H Z 8, 9,..., 1 c 7, also

6 10. Teste vo Hypothese Seite 6 vo Zweiseitige Tests über p Bei eiem zweiseitige Test über p wird p sowohl ach ute als auch ach obe begrezt, d. h. H 0: p=p H 1: pp 0. Damit die Risike, z. B. für Preisaufschlag bzw. Preisachlass, etwa gleich groß sid, wird üblicherweiße vereibart: Jeweils die Hälfte des Sigifikaziveaus wird auf die utere bzw. auf die obere Hälfte vo A verteilt. 2. Beispiel: Ei Lieferat behauptet, der Ausschussateil seier Ware sei 30%. Er gibt deshalb ach eiem Sigifikaztest mit % eie Preisachlass, we bei eier Stichprobe vom Umfag 2 achgewiese werde ka, dass p deutlich größer als 30% ist ud er fordert eie Preisaufschlag, we p deutlich kleier als 30% ist. Wie ist die Etscheidugsregel zu treffe? Lösug: H 0: p = 3 c < Z d H 1: p 3 0 Z c d < Z Mit = 2 ud % folgt ach Aufteilug vo : 2 (1) P0,3(0 Z c) (2) P0,3(d 1 Z 2) 1 2 wobei c möglichst groß zu wähle ist wobei d möglichst klei zu wähle ist. aus (1) folgt: c 4, vergleiche dazu F(4) = ud F() = 9349 aus (2) folgt: d 1 vergleiche dazu F(9) ud F(10). Somit ist der Aahmebereich A für H 0: A = {, 6, 7, 8, 9, 10} ud der Ablehugsbereich A = { 1, 2, 3, 4} { 11, 12,..., 2}. Damit liegt der Erwartugswert = 23 = 7, schö i der Mitte vo A. Das tatsächliche Risiko1. Art ist dabei: 2 2 P3 (Z 4) P3 (11 Z 2) F(4) 1 F(10) ,8% Das tatsächliche Risiko 2. Art hägt wieder vo p ab; z. B. für p = 2 folgt: 2 (2) P2 ( Z 10) F(10) F(4) ,4%