1 Vollständige Induktion

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1 1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die für alle gaze Zahle 0 gelte solle. Astatt alle Aussage A( eizel zu zeige, was bei uedlich viele Aussage auch umöglich ist, bildet ma eie Kette vo Aussage, die ma bei 0 veraert. Dieser Idutiosafag 1 ist meist sehr eifach zu zeige; die Arbeit des Beweises stect üblicherweise im sogeate Idutiosschluss oder Idutiosschritt, ämlich dem Nachweis, dass, we die Idutiosvoraussetzug A( erfüllt ist, auch A( + 1 gilt. Sid Idutiosafag ud Idutiosschritt (I.S. erfolgt, habe wir eie Kette vo Aussage A( 0 (I.S. A( (I.S. A( 0 + (I.S. A( (I.S.... Über urz oder lag ommt also jede gaze Zahl 0 a die Reihe. Es wird umgeehrt auch eie gaze Zahl m 0 ausgelasse. Diese Behauptug zeige wir idiret: Nehme wir a, es gäbe ei m 0, so dass A(m falsch ist. Sei m das leiste solche m. Da ist aber etweder 1. m > 0, also A(m 1 wahr, im Widerspruch zum Idutiosschritt A(m 1 A(m, oder es ist. m 0, also A( 0 falsch, im Widerspruch zum Idutiosafag. Wir verdeutliche dies a folgedem 1 bzw. Idutiosveraerug

2 1.1 Idutiosbeweise 3 Beispiel 1.1 Behauptug: Für alle 3 gilt + 1. Beweis: erfüllt. Idutiosafag: 0 3: Die Aussage ist Idutiosschritt: Gelte + 1. Es ist ( ( ( Die Idutiosvoraussetzug gig i Schritt ( ei. Für de weitere Verlauf vereibare wir folgede Bezeichug Seie m gaze Zahle. Für jede Zahl mit m sei a eie reelle Zahl. a : a m + a m a m a : a m a m+1... a m (Summe (Produt Hier ud im Folgede steht A : B für A sei defiiert durch B. Für mache Formel ist es sivoll, och zu vereibare: m 1 m m 1 a : 0 a : 1 m ( leere Summe ( leeres Produt Mit adere Worte: die leere Summe ud das leere Produt habe auf richtige Summe oder Produte eie Eifluss. Aus de Defiitioe vo Summe ud Produt erhalte wir sofort folgede Eigeschafte:

3 4 1 Vollstädige Idutio Sei l m. m a + l m+1 ( m ( a l m+1 a a l l Vo Zeit zu Zeit ist es auch agebracht, de Idex zu verschiebe, also m a l zu schreibe. m+1 l+1 a 1 m l a a a m+1 l+1 a 1 We wir davo Gebrauch mache, dass auf de reelle Zahle für Additio ud Multipliatio das Kommutativ- ud das Assoziativgesetz gelte (was im ächste Kapitel auf eie solidere Grudlage gestellt wird, folgt ferer: Beispiel 1. l m a + l l m b l m (a + b l ( m ( m m a b (a b l Behauptug: ( 1. Beweis: Idutiosafag: 0: Es ist 0 ( Idutiosschritt: Gelte die Idutiosaahme A(: ( 1. Es ist +1 ( 1 ( 1 + ( ( (I.V ( + 1

4 1.1 Idutiosbeweise 5 Wieder gig a der mit (I.V. geezeichete Stelle die Idutiosvoraussetzug ei. Defiitio 1.3 Für IN {0, 1,, 3,...} setze wir! : gelese: Faultät. Isbesodere ist 0! als leeres Produt gleich 1. I verschiedee Lehrbücher wird dies explizit mit defiiert. Beispiel 1.4 Behauptug: Die Azahl aller mögliche Aorduge eier -elemetige Mege {A 1,..., A } ist!. Beweis: Idutiosafag: 1: Die Mege {A 1 } hat ur eie Aordug. Idutiosschritt: Bezeiche wir die (+1-elemetige Mege mit {A 1,..., A +1 }. Die mögliche Aorduge zerfalle i + 1 Klasse K, 1,..., + 1, wobei die Aorduge der Klasse K das Elemet A a erster Stelle stehe habe. Nach Idutiosvoraussetzug besteht jede Klasse K aus! Elemete. Die Gesamtheit der mögliche Aorduge vo {A 1,..., A +1 } ist also (+1! ( + 1!. Defiitio 1.5 Für atürliche Zahle, setzt ma (1.1 ( : (lies: über. j1 j + 1 j ( 1 ( Folgerug für >. (

5 6 1 Vollstädige Idutio. (! (!! für. Die beide Behauptuge sid eifach zu zeige: 1. Ist > taucht i (1.1 der Fator 0 auf.. ( 1 ( + 1 Lemma 1.7 Für 1 gilt ( ( 1 1 ( 1 ( + 1 ( 1 ( 1 ( 1 +.! (! Beweis: Für ist die Aussage offesichtlich. Sei 1 1. ( ( 1 1 ( 1! ( 1! ( 1! ( !!( 1! }{{} (! ( 1! + ( ( 1!!(! (! (!! Bemerug Die Koeffiziete ( sid die Eiträge im sogeate Pascalsche Zahledreiec:

6 1.1 Idutiosbeweise 7 Der Koeffiziet a der -te Stelle i der -te Zeile (wir fage jeweils bei 0 a zu zähle ist gerade ( ud ergibt sich als Summe der beide über ihm stehede Koeffiziete. Satz 1.8 Die Azahl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege {A 1,..., A } ist (. Beweis: Es sei C die Azahl der -elemetige Teilmege vo {A 1,..., A }. Wir zeige C ( durch vollstädige Idutio ach. 1: {A 1 } hat ur eie eielemetige Teilmege, also C1 1 ( : Die beide Fälle C ( +1 0 ud C ( +1 sid offesichtlich. Sei daher 1. Die -elemetige Teilmege vo {A 1,..., A +1 } zerfalle i zwei Klasse K 0 ud K 1. K 0 umfasst alle Teilmege, die A +1 icht ethalte, K 1 alle Teilmege, die A +1 ethalte. Die Azahl der Elemete i der Klasse K 0 ist gleich der Azahl der -elemetige Teilmege vo {A 1,..., A }, also ach Idutiosvoraussetzug gleich (. Bestimme wir u die Mächtigeit vo K 1 : ei Elemet vo K 1 hat die folgede Gestalt: A +1 gehört dazu, die restliche 1 Elemete verteile sich auf {A 1,..., A }. Es folgt: C +1 ( ( Lemma ( + 1 Eie der viele Bedeutuge der Koeffiziete ( ist folgeder Satz, aus dem sich auch der Name Biomialoeffiziet für ( ableitet: Satz 1.9 Seie x, y reelle Zahle ud eie atürliche Zahl. Da gilt ( (1. (x + y x y. 0

7 8 1 Vollstädige Idutio Hierbei vereibare wir: Defiitio 1.10 Für a IR sei a 0 : 1. Umittelbare Folgeruge aus dem Satz sid die Fälle x y 1: ( 0 ud x 1, y 1: 0 0 ( ( 1. Beweis vo Satz 1.9: Wir beweise die Aussage per Idutio ach. Für 0 habe wir (x + y 0 0 ( x 0 y : ( ( (x + y +1 (x + y (x + y x y (x + y 0 ( ( x +1 y + x y ( ( ( 1 ( x +1 + x +1 y + x y +1 + y +1 x +1 + x +1 + ( + 1 x ( x +1 y + 0 ( x ( 1 y + y +1 1 [( ( ] + x +1 y + y +1 1 ( + 1 x +1 y + ( + 1 y

8 1.1 Idutiosbeweise 9 Satz 1.11 (Summeformel für die geometrische Reihe Für eie reelle Zahl x 1 ud jede atürliche Zahl gilt (1.3 0 x 1 x+1 1 x Beweis: Ma a die Formel auf zwei Arte beweise: 1. Diret durch Ausreche: ( x (1 x (1 + x + x x (1 x 0 ( 1 + x + x x (x + x x +1 1 x +1. Die i ( auftretede Summe bezeichet ma auch als Telesopsumme, weil sie sich bildlich gesproche auf Afags- ud Edglied zusammeschiebe lässt.. Beweis durch Idutio: 0: + 1 : +1 x x + x +1 1 x+1 1 x 1 x+1 + (x +1 x + 1 x x 1 1 x 1 x 1 x0+1 1 x. 1 x+ 1 x Aus Satz 1.9 folgt isbesodere ( ( ( (1 + x 1 + x + x x 1 + x. 1 1 Falls ud x > 0, ist ( x > 0 für, wir erhalte also (1.4 (1 + x > 1 + x (Beroullische Ugleichug. Diese Ugleichug gilt für ud reelle x > 1, x 0.

9 10 1 Vollstädige Idutio Wir beweise dies durch Idutio über : : (1 + x 1 + x + }{{} x > 1 + x. >0 + 1 : (1 + x +1 (1 + x (1 + x > (1 + x(1 + x }{{} >0 1 + x + x + }{{} x >0 > 1 + x + x 1 + ( + 1x Lasse wir i der Beroullische Ugleichug 0 zu, müsse wir die Aussage abschwäche, de bei 0 oder 1 gilt i (1.4 Gleichheit. Also fasse wir zusamme: Satz 1.1 (Beroullische Ugleichug Für alle reelle x mit x > 1 ud für alle IN gilt (1 + x 1 + x. Ist x 0 ud 0, 1, gilt strit >. Folgerug 1.13 Es seie a 1,..., a positive reelle Zahle. Da gilt ( a a (1.5 a 1 a a ; Gleichheit gilt geau da, we a 1 a... a. Bezeichug Wir ee a 1 a geometrisches Mittel vo a 1,..., a, arithmetisches Mittel. a a Beweis vo Folgerug 1.13: Wir beweise dies mittels vollstädiger Idutio über : 1: Hier gilt Gleichheit i (1.5, aber der Fall ist uiteressat.

10 1.1 Idutiosbeweise 11 : Offesichtlich gilt 0 (a 1 a a 1 a 1 a + a 4a 1 a a 1 a 1 a + a : 4 ( a1 + a a 1 a + 4a 1 a + 1: Nach Idutiosvoraussetzug gilt (1.5. Behauptug: ( a a + a a 1 a a Wir setze dazu u : a a, v : a +1. Die Idutiosvoraussetzug schreibt sich da als ( u a1 a, ud zu zeige ist ( u + v +1 ( u (I.V. v a 1 a Fall 1: u 0. Da gilt die Behauptug für alle 1,,.... Fall : Sei daher u > 0 ud 1. (u + v +1 ( u ( v +1 (u + v +1 u +1 ( v u [ ] u + v +1 [ (1 u( 1 ] u + 1 v + 1 [ ( ( v 1 + u v ] +1 u( + 1 }{{} 1 ( v 1 + ( + 1 u ( + 1 v u v u 1 ( + 1 v u v u v u v u. v u( + 1

11 1 1 Vollstädige Idutio Es bleibt och die Abschätzug i ( achzutrage: ( v 1 1 0, u + 1 de beide Fatore sid 0; ferer ist für Für de Fall gibt es och eie geometrische Beweis vo Satz 1.13: C h A a 1 a B Abbildug 1.1: Beweis der Ugleichug geometrisches Mittel arithmetisches Mittel im Fall. Dem Halbreis über der Strece a 1 + a mit Mittelput a 1 + a ist ach dem Satz vo Thales ei rechtwiliges Dreiec ABC eibeschriebe. Nach dem Höhesatz des Eulid gilt für die Höhe h: a 1 a h. Da aber die Höhe maximal gleich dem Radius des Kreises, also gleich a 1 + a sei a, folgt ( a 1 a h a1 + a. Aus der Abschätzug des geometrische Mittels gege das arithmetische Mittel erhalte wir zwei wichtige Ugleichuge, die im gesamte Verlauf der Aalysis immer wieder i Erscheiug trete.

12 1.1 Idutiosbeweise 13 Satz 1.14 (Cauchy Schwarzsche Ugleichug Seie a ud b reelle Zahle für 1,...,. Da gilt (1.6 ( a b a } {{ } :A 1 ( b } {{ } :B 1 Beweis: Ist a 1... a 0 ( A 0 oder b 1... b 0 ( B 0, gilt die Aussage offebar. Seie A > 0, B > 0. Wir setze α : a A, β : b B. Wir habe da zu zeige: (α β 1. (α β α β ( α + β 1 α + 1 β Bleibt och die letzte Idetität zu beweise; wir zeige dies für de erste Summade: α a A 1 A a. }{{} A (ach Def. Satz 1.15 (Miowsische Ugleichug Seie a ud b reelle Zahle für 1,...,. Da gilt (1.7 ( 1 (a + b ( a 1 ( + b 1

13 14 1 Vollstädige Idutio Beweis: Wir ehme a, dass icht für alle gilt: a b ; i diesem Fall ist die Ugleichug (1.7 trivialerweise erfüllt. Es gilt (a + b (a + b (a + b a + (a + b b, also (a + b (a + b a + (a + b b (a + b a + (a + b b ( 1 ( (a + b a ( 1 ( + (a + b Divisio durch ( (a + b 1 liefert die Ugleichug ( Ei Blic i die mathematische Werzeugiste I diesem Kapitel habe wir icht ur das Beweisprizip der vollstädige Idutio ee gelert, soder auch bereits eiige grudlegede Abschätzuge gewoe: 1. Die Beroullische Ugleichug: IN, x IR, x > 1: (1 + x 1 + x. 1 b 1. Abschätzug geometrisches gege arithmetisches Mittel: IN, 1, a 1,..., a IR, a 1,..., a > 0: a1 a a a. 3. Die Cauchy Schwarzsche Ugleichug: IN, 1, a 1,..., a, b 1,..., b IR: ( 1 ( 1 a b. a b

14 1.3 Aufgabe Die Miowsische Ugleichug:, a, b wie ebe: ( 1 ( (a + b 1.3 Aufgabe Aufgabe 1.1 a 1. Ma beweise ( + 1 ( 1 ( 1 für IN {1,, 3,...}. Für x IR, x 1 ud IN zeige ma: 1 ( + b 1. (1 + x(1 + x (1 + x 4 (1 + x 1 x+1 1 x. Aufgabe 1. Für welche IN gilt 3 + <? Aufgabe 1.3 Für welche IN gilt ( 1 8 3?