18 2 Zeichen, Zahlen & Induktion *

Transkript

1 18 2 Zeiche, Zahle & Idutio * Ma macht sich z.b. sofort lar, dass das abgeschlossee Itervall [ 3, 4] die Eigeschafte if[ 3, 4] 3 mi[ 3, 4] ud sup[ 3, 4]4max[ 3, 4] besitzt, währed das offee Itervall 3, 4 zwar das Ifimum 3 ud das Supremum 4 besitzt, diese jedoch icht Miimum oder Maximum des Itervalls sid, da sie icht zum Itervall gehöre. Damit sid u i ziemlich ompater Form diejeige grudlegede Begriffe ud Kozepte bereitgestellt, die im Folgede städig beötigt werde. 2.3 Vollstädige Idutio * Uter vollstädiger Idutio versteht ma de Nachweis der Korretheit eier Mege vo Aussage A für alle N, 0, durch die Nachweise, dass A 0 wahr ist sowie für alle N, 0, die Impliatio A A +1wahr ist. Sowohl i der Mathemati als auch i der Iformati ist es häufig so, dass ma für eie Mege vo Aussage, die vo eiem Parameter N abhäge, achweise muss, dass diese wahr sid z.b. öte i der Iformati für eie orete Algorithmus behauptet werde, dass er für Eigabewerte stets geau Operatioe beötigt. Zum Eistieg betrachte Sie die folgede leie Übug, die eie weiger formale Zugag zur prizipielle Idee eröffet. Wie gehe Sie vor, we Sie sicherstelle solle, dass eie Reihe vo Domio-Steie beim Falle des erste Steis suzessiv umfällt?

2 2.3 Vollstädige Idutio * 19 I viele Fälle ist es am eifachste, sich bei der Lösug eies derartige Problems vom Prizip der vollstädige Idutio leite zu lasse. Abb : Eiige Domio-Steie. Um die Idee dieses Vorgehes zu verstehe, wird das obige Domio-Problem u geauer betrachtet vgl. Abb Das Prizip besteht eifach dari, jede -te Stei so aufzustelle, dass er beim Falle de +1-te Stei mit umwirft. Ist dies für alle Steie sichergestellt, muss ur och der erste Stei zum Falle gebracht werde, ud die Reihe der Domio-Steie wird ippe. Etwas formalisiert a ma also die Tauglicheit eier Reihe vo Domio-Steie i Hiblic auf suzessives Umfalle wie folgt überprüfe: 1a Ma stelle sicher, dass der erste Stei fällt. Ma stelle sicher, dass das Umfalle irgedeies -te Steis auch das Umfalle seies Nachfolgers, also des +1-te Steis, impliziert. Hat ma diese beide Bediguge erfüllt, da a ma sicher sei, dass die gesamte Domio-Reihe fällt. Geau dies ist das Prizip der vollstädige Idutio.

3 20 2 Zeiche, Zahle & Idutio * Satz Vollstädige Idutio Es sei für jedes N, 0, eie Aussage A defiiert. Um zu beweise, dass A für alle N, 0,wahrist, geügt es, Folgedes zu zeige: A 0 ist wahr Idutiosveraerug 0 : A ist wahr A +1 ist wahr Idutiosschluss Beweis 1b Im Folgede wird lediglich urz die geerelle Beweisidee sizziert. Dass dieses Prizip futioiert, macht ma sich leicht lar: We A 0 wahr ist Idutiosveraerug, da ist auch A 0 +1wahr Idutiosschluss für 0, damit ist aber auch sofort A 0 +2 wahr wieder Idutiosschluss, jetzt für 0 +1 etc. Damit a ma also Schritt für Schritt die Korretheit aller Aussage A für 0 achweise. Agewadt auf das orete der Domio-Steie wäre die für alle N zu verifizierede Aussage A geau die folgede: A :Der -te Domio-Stei fällt. I diesem ist 0 1, also der Idex für de erste Stei. Nach de bereits erfolgte Überleguge geügt es zum Nachweis der Korretheit der Aussage A, 1, die folgede Nachweise zu erbrige: A1 ist wahr, d.h. der erste Domio-Stei fällt Idutiosveraerug. 1: A ist wahr A +1 ist wahr,d.h.für alle 1 folgt aus dem Falle des -te Domio-Steis auch das Falle des +1-te Domio-Steis Idutiosschluss.

4 2.3 Vollstädige Idutio * 21 Im Folgede solle u eiige Probleme aus dem mathematische Umfeld uter Zugriff auf das Prizip der vollstädige Idutio gelöst werde. Zu zeige ist die Gültigeit der Summeformel +1 A: für alle N. 2 Idutiosveraerug: Für 0 ist die Aussage A0 wahr, de es gilt Idutiosschluss: Es gelte die Aussage A für ei beliebiges N Idutiosaahme. Da folgt Idutiosaahme , 2 also die behauptete Aussage A +1für de Idex +1. Isgesamt ergibt sich damit die Korretheit der Aussage A für alle N. Im obige wurde zur Verdeutlichug für jede der Idetitäte och die Bezeichug A mitgeführt, damit ma de Zusammehag zum allgemeie Prizip der vollstädige Idutio umittelbar eret. Es ist allerdigs i der Praxis üblich, auf diese ausführliche Notatio zu verzichte, da sich die i Frage stehede Aussage stets diret aus dem Kotext ergebe. Im Folgede wird also auf

5 22 2 Zeiche, Zahle & Idutio * die präzise Idetifiatio jeder zu zeigede Aussage mit eiem formale Aussageürzel A verzichtet. Zu zeige ist die Gültigeit der Summeformel für alle N. Idutiosveraerug: Für 0 ist die Aussage wahr, de Idutiosschluss: Es gelte die Aussage für ei beliebiges N Idutiosaahme. Da folgt Idutiosaahme , also die behauptete Aussage für +1. Isgesamt folgt die zu zeigede Idetität für alle N. Zu zeige ist die sogeate Beroulli-Ugleichug Jaob Beroulli I, x 1+x für alle N, wobei x R, x 1, beliebig ud fest gegebe ist.

6 2.3 Vollstädige Idutio * 23 Idutiosveraerug: Für 0 ist die Aussage wahr, de 1 + x Idutiosschluss: Es gelte die Aussage für ei beliebiges N Idutiosaahme. Da folgt 1 + x +1 1+x 1 + x 1 + x1 + x Idutiosaahme 1+ +1x + x x, also die behauptete Aussage für +1. Isgesamt folgt die zu zeigede Idetität für alle N. Um im Folgede die Notatio lägerer mathematischer Ausdrüce etwas zu verürze, werde eiige Kurzschreibweise vereibart. Für, m, N ud a R gelte die Summeotatio a : a m + a m a, falls m, m a : 0, falls <m, m die Produtotatio a : a m a m+1 a, falls m, m a : 1, falls <m, m sowie die Faultät- ud Biomialotatio! :, 1

7 24 2 Zeiche, Zahle & Idutio * :!, falls 0.!! Die beide letzte defiierte Abürzuge spiele i der Mathemati eie sehr wesetliche Rolle. Ma bezeichet! als -Faultät, wobei gemäß Defiitio 0! 1 gilt. Die Zahl wird Biomialoeffiziet geat ud gelese als über. Er erfüllt z.b. die Symmetriebedigug ud gibt, wie ma leicht zeige a, geau die Azahl aller -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege a. Betrachtet ma die Mege M : {1, 2, 3, 4}, so ergebe sich z.b. alle zweielemetige Teilmege dieser Mege zu {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} ud {3, 4}. Dies sid offesichtlich geau 4 4! 2 2!4 2! 24 4 Teilmege. Die folgede beide e zur vollstädige Idutio schließe diese Wissesbaustei ab. Zu zeige ist die sogeate geometrische Summeformel x 1 x+1 1 x für alle N, wobei x R \{1} beliebig ud fest gegebe ist. Idutiosveraerug: Für 0 ist die Aussage wahr, de 0 x 1 1 x 1 x.

8 2.3 Vollstädige Idutio * 25 Idutiosschluss: Es gelte die Aussage für ei beliebiges N Idutiosaahme. Da folgt +1 x x + x +1 1 x+1 1 x + x+1 Idutiosaahme 1 x+1 +1 xx +1 1 x 1 x x also die behauptete Aussage für +1. Isgesamt folgt die zu zeigede Idetität für alle N., Zu zeige ist der sogeate biomische Lehrsatz auch urz biomische Formel geat a + b a b für alle N, wobei a, b R beliebig ud fest gegebe sid. Idutiosveraerug: Für 0 ist die Aussage wahr, de 0 a + b 0 1 a b 0 a 0 b Idutiosschluss: Es gelte die Aussage für ei beliebiges N Idutiosaahme. Da folgt a + b +1 a + b a + b a b a + b Idutiosaahme a +1 b + a b a b +1 + a b

9 2 2 Zeiche, Zahle & Idutio * a a b +1 + b +1 1 }{{} +1 a b +1, achreche! also die behauptete Aussage für +1. Isgesamt folgt die zu zeigede Idetität für alle N.