Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil

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1 WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer Pukt vo A, falls es ei r > 0 gibt so, dass U r x A. Ei Pukt y X heißt Häufugspukt vo A, falls für alle r > 0 gilt: U r y A\{y}. c Eie Folge x k k N ist eie Cauchyfolge i X, falls für alle ε > 0 ei 0 N existiert so, dass für alle, m N,, m 0 gilt:dx, x m < ε. 2. Behauptug: K j ist kompakt. j= Eie abzählbare Vereiigug kompakter Mege ist im Allgemeie icht kompakt. Beweis: Sei U ι ι I eie offee Überdeckug vo K j. j= Da gilt für jedes j 0 N mit j 0 : K j0 K j U ι. j= ι I Damit ist U ι ι I eie offee Überdeckug vo K jo. Da K j0 kompakt ist, existiert eie edliche Teilmege I j0 I so, dass K j0 U ι. ι I j0 Da gilt also K j U ι mit I := I j. ι I j= j=

2 Da I edlich ist ud I I, ist U ι ι I eie edliche Teilüberdeckug vo U ι ι I, ud damit ist K j kompakt. j= Betrachte die Mege K := [, ], für N. Nach Heie-Borel sid die Mege K kompakt. N ist abzählbar, ud N K = R. Da R icht beschräkt ist, ist R ach Heie-Borel icht kompakt. Also ist eie Vereiigug abzählbar vieler kompakter Mege im Allgemeie icht kompakt. 3. Voraussetzuge: Sei a [0, ], ud sei zu N, 2 : a + = 2 a +. Behauptug: a N kovergiert ud lim a = 2. Beweis: Es gilt a 2, ud falls a 2 für ei N, 2 gilt, so folgt für + : Aus a 2 folgt außerdem a + = 2 a + + = 2. a + = 2 a + 2 a + 2 a = a, ud damit ist die Folge a N mooto wachsed ud beschräkt, also koverget. Sei a := lim a. Die Folge a + N ist auch gege a koverget, ud damit folgt a = lim a + = lim 2 a + = 2 lim a + = 2 a + ud schließlich a = Voraussetzuge: Sei f : R R eie stetige, mooto steigede Fuktio, die icht beschräkt ist, ud sei f0 = 0.

3 Behauptug: Es existiert ei x 0 R mit fx 0 f x 0 =. Beweis: Sei g : R R, x fx f x. Da gilt g0 = f0 f0 = 0. Da g eie Hitereiaderausführug stetiger Fuktioe ist, ist g stetig. Da f ubeschräkt ist, existiert ei x R mit fx. Ist x > 0, so gilt fx f0 = 0, also fx = fx. Da x < 0, ist da f x f0 = 0, ud damit f x 0. Es folgt gx = fx f x fx. I diesem Fall existiert also wege des Zwischewertsatzes ud [0, gx] ei x 0 [0, x] mit fx 0 =. Ist x < 0, so ist fx 0 ud fx 0. Da ist fx = fx. Da x 0, ist f x 0, ud es folgt: g x = f x fx fx. I diesem Fall existiert also wege des Zwischewertsatzes ud [0, g x] ei x 0 [ x, 0] mit fx 0 =. 5. Behauptug: f ist i 0 differezierbar, ud f 0 = 0. Sei x R, x 0. Da gilt: fx f0 x = x2 gx x = xgx. Da g beschräkt ist, existiert ei C > 0 so, dass gy C für alle y R gilt. Es ist also fx f0 x C x. Mit dem Dreifolgesatz ist da lim fx f0 x 0 x = 0. Damit ist gezeigt, dass f i 0 differezierbar ist, ud dass f 0 = 0 gilt. 6. a Wahr oder falsch?

4 Wahr Falsch I R ist jede Cauchy-Folge koverget. I Q, ausgestattet mit der Metrik d : Q Q, x, y x y, ist jede Cauchy-Folge koverget. Eie differezierbare Fuktio ist stetig. Das Produkt eier stetige mit eier ustetige Fuktio ist ustetig. b Sei x N eie Folge i a, b R, mit lim x = x. Kreuze Sie die wahre Aussage a! lim if x = a lim sup x = b lim if x = x lim sup x = x c Sei X, d ei metrischer Raum. Kreuze Sie die wahre Aussage a! Die beliebige Vereiigug vo offee Mege i X ist offe. Die beliebige Vereiigug vo abgeschlossee Mege i X ist abgeschlosse. Der beliebige Schitt vo offee Mege i X ist offe. Der beliebige Schitt vo abgeschlossee Mege i X ist abgeschlosse.

5 WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Recheteil Behauptug: f ist beliebig oft differezierbar ud es ist f x = 4x! x + +2 für alle x R\{ } ud N {0}. Beweis: Für = 0 gilt die obige Formel offesichtlich. Als ratioale Fuktio, dere Neer irgeds verschwidet, ist f 0 außerdem differezierbar. Sei u N {0}, ud es gelte f x = 4x! für alle x R\{ } x + +2 ud die Differezierbarkeit vo f.da folgt für + ud x R\{ }: f + x = f x =!4 x x +2 x + +3 =!4 x + + 2x x + +3 =!4 x + x + 2 2x + 2 x + +3 = +!4 + x x + +3 = + +! 4x + x Als ratioale Fuktio, dere Neer irgeds verschwidet, ist f + wieder differezierbar.

6 2. Voraussetzuge: Sei f : C R, z z 2 + 2Rz 2 2Rz 2 2Iz. Behauptug: Es gilt: {z C fz = } = {z C Iz = Rz oder Iz = Rz + }. Beweis: Sei z C, ud seie x, y R so, dass z = x + iy. Da gilt z 2 = x 2 y 2 + 2ixy, z = x iy, ud es folgt fz = x 2 + y 2 + 2x 2 2y 2 2x 2 + 2y = x 2 y 2 + 2y. Es gilt da fz = geau da, we x 2 = 2y + y 2 = y 2 bzw. we x = y oder x = y, also geau da, we Iz = Rz oder Iz = Rz +. y x - 3. a Da für N gilt:, folgt 2 ud damit Es 2 gilt auch = 2 0 ud > 0, ud damit folgt für alle N: Da die Reihe = kovergiert, kovergiert ach dem Majoratekriterium auch die Reihe = = b Die Folge N ud N kovergiere ach Vorlesug mit lim =, lim = 0. Nach Satz aus der Vorlesug kovergiert da auch das Produkt der Folge gege das Produkt der Grezwerte, d.h. lim existiert ud lim = 0.

7 Für alle N gilt: = = = = = Da die Folge 3 N, 2 2 N ud N sowie 2 N gege 0 kovergiere, kovergiert der Zähler der Folge gege 0, der Neer gege. Da 0, gilt ach Satz i der Vorlesug, dass der Quotiet dieser Folge gege de Quotiet der Grezwerte kovergiert, d.h lim + 2 = Behauptug: Die Potezreihe =0 z kovergiert absolut für z < 2 ud divergiert für z > 2. Beweis: Sei z C. Da gilt mit a : : a +z + = a z 8 z 2 + 2!! 2 22! +! = 8 z = 2 z

8 Ist z < 2, so gilt: es existiert ei q [0, mit 2 q = z. Da folgt a +z + a z = q q <, ud damit kovergiert die Potezreihe für z < 2 absolut ach dem Quotietekriterium. Ist z > 2, so existiert ei q, mit z = 2q. Da ist 0,, ud da die Folge q 2+2 N gege kovergiert, existiert ei 0 N so, dass für alle 0 gilt: Es folgt da für 0 : q. a +z + a z = q q q =. Damit divergiert die Potezreihe für z > 2 ach dem Quotietekriterium. 5. Voraussetzuge: Sei f : R R, x x arcta x 2. Behauptug: f hat ur i 2 ei lokales Miimum ud keie lokale Maxima. Beweis: f ist differezierbar, ud für x R gilt f x = 2 x x 3 + x = x x x = xx x Es gilt also f x = 0 geau da, we xx = 2 3. Da x > 0 ist für alle x R ud 2 3 > 0 ist, ka xx = 2 3 ur für positive x gelte. Für positive x ist da xx = 2 3 x 2 x = 2 x = 6 x = 4 x 2 = 2 x = 2.

9 Für x R gilt weiterhi f x = Im Pukt 2 folgt x x x x x x = x2 + 4x x 2 x x x = 4x x x f 2 = > 0, ud damit liegt i 2 ei Miimum vor. Da ei Miimum oder Maximum ur vorliege ka, we f x = 0 ist, ka es keie weitere Miima oder Maxima gebe. 6. a Es gilt: 3s 9 s + 2s = 5 s s 3s 9 s + 2s ds = log x x dx = b Da log x = x l Hospital: x 3 lim x log x, ud damit ist 5 s ds = 5 l s+2 2 l s +C. s log x log x dx = 2 log2 x + C. mit log = 0, gilt mit der Regel vo x 3 existiert, ud lim x log x = lim 3x 2 x x = 3 = 3.