Metrisierbarkeit. Technische Universität Wien Seminararbeit aus Analysis WS 2014 Sinan Özcaliskan

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1 Metrisierbarkeit Techische Uiversität Wie Semiararbeit aus Aalysis WS 04 Sia Özcaliska

2 Ihaltsverzeichis Eileitug 3 Der Metrisierbarkeitssatz vo Alexadroff-Urysoh 3 3 Der Metrisierbarkeitssatz vo Nagata-Smirov ud der erste Metrisierbarkeitssatz vo Big 6

3 Eileitug I dieser Semiararbeit beschäftige wir us mit eiem Problem aus der Topologie, dem Metrisierbarkeitsproblem. Dabei hadelt es sich um die Frage, ob auf eiem topologische Raum eie Metrik defiiert werde ka, die die Topologie iduziert. Wir werde hier drei Metrisierbarkeitssätze beweise, de Satz vo Alexadroff-Urysoh, de Satz vo Nagata-Smirov ud de erste Metrisierbarkeitssatz vo Big. Uter eiem Metrisierbarkeitssatz verstehe wir eie Aussage, die eie hireichede ud otwedige Bedigug für Metrisierbarkeit liefert. Bevor wir diese Sätze herleite, wolle wir explizit die Defiitio vo Metrisierbarkeit formuliere. Defiitio. Ei topologischer Raum (X, T ) heißt metrisierbar, falls eie Metrik d auf X existiert, sodass die vo ihr iduzierte Topologie T (d) mit T übereistimmt. Der Metrisierbarkeitssatz vo Alexadroff-Urysoh Wir werde zuächst de Satz vo Alexadroff-Urysoh beweise. Dafür beötige wir de Begriff der Verfeierug ud der Stermege. Defiitio. Es sei X eie Mege, x X, A X ud U P(X). Da defiiert ma: S(x, U) := {U U : x U}, S(A, U) := {U U : A U }, U := {S(U, U) : U U}. Die Mege S(x, U) heißt der Ster vo x bezüglich U ud die Mege S(A, U) der Ster vo A bezüglich U. Defiitio. Es sei X eie Mege ud U, V zwei Überdeckuge vo X.. V heißt eie Verfeierug vo U, V < U, falls für jedes V V ei U U existiert mit der Eigeschaft V U.. V heißt eie Sterverfeierug vo U, falls V eie Verfeierug vo U ist. Für de Beweis des Satzes vo Alexadroff-Urysoh werde wir folgedes Lemma verwede. Lemma.3 Es sei X eie Mege ud A eie Teilmege vo X. Es seie U ud V zwei Überdeckuge vo X. Ist V eie Sterverfeierug vo U, da gilt S(S(A, V), V) S(A, U). Beweis: Es gilt S(A, U) := {U U : A U } ud S(S(A, V), V) = {V V : S(A, V) V } = = {V V :( V V : A V, V V )}. Kommt V i dieser Vereiigug vor, da wähle ei V V mit A V ud V V. Wege V < U existiert ei U U mit S(V, V) U. Es gilt V S(V, V) U ud U A S(V, V) A V A, also folgt U S(A, U). Daher erhält ma V S(A, U). Isgesamt folgt damit die Behauptug. Satz.4 (Metrisierbarkeitssatz vo Alexadroff-Urysoh) Es sei (X, T ) ei topologischer T 0 - Raum. Da ist (X, T ) metrisierbar geau da, falls eie Folge vo offee Überdeckuge (U ) N vo X existiert mit folgede zwei Eigeschafte: (a) N : U + < U. 3

4 (b) x X : B(x) := {S(x, U ) : N} ist eie Umgebugsbasis vo x i (X, T ). Beweis: Sei zuächst (X, T ) metrisierbar. Sei d eie Metrik auf X, die die Topologie T iduziert. Weiters sei U ɛ (x) die offee Kugel mit Radius ɛ ud Mittelpukt x bezüglich der Metrik d, da sid die Megesysteme U := {U 3 (x) : x X}, N, offee Überdeckuge vo X ud erfülle die beide obige Eigeschafte. Sei N. Das U eie offee Überdeckug vo X ist, ist klar. Nu wolle wir die erste Eigeschaft achweise. Wir betrachte ei W U+. Es existiert ei x X mit der Eigeschaft Sei u y W, daher existiert ei a X mit W = S(U 3 (+)(x), U + ). U 3 (+)(a) U 3 (+)(x) ud y U 3 (+)(a). Daher existiert ei b U 3 (+)(a) U 3 (+)(x) mit d(y, x) d(y, a) + d(a, x) < + d(a, b) + d(b, x) < 3+ 3, also gilt y U 3 (x) ud U 3 (x) U. Damit ist U + eie Sterverfeierug vo U. Als ächstes zeige wir, dass für jedes x X das Megesystem B(x) := {S(x, U ) : N} eie Umgebugsbasis vo x i (X, T ) ist. Sei daher x X. Es ist klar, dass jede Mege aus B(x) eie Umgebug vo x ist. Nu betrachte wir eie Mege U U(x). Daher gibt es ei ɛ > 0 mit U ɛ (x) U. Für ei N mit 3 < ɛ gilt u S(x, U ) U. Damit ist B(x) eie Umgebugsbasis vo x. Wir setze u voraus, dass eie Folge (U ) N mit de obe erwähte beide Eigeschafte existiert. Wir werde u eie Metrik d auf X kostruiere, die die Topologie T iduziert. Dafür defiiere für jede ratioale Zahl der Gestalt q = k mit N ud k {,,..., } ei Megesystem V( k ). Dazu gehe wir iduktiv vor. Für = defiiere wir V( ) := U. Sid im -te Schritt die Megesysteme V( k ) bereits defiiert, da defiiert ma im + -te Schritt ( ) ( k V + := U +, V + ) ( k ) V + := {S(V, U + ) : V V ( k/ ) := V, falls k gerade, ( [k/] ) }, falls k {3, 5,..., + }. Damit ist für jede ratioale Zahl q, die sich i der Form q = k schreibe lässt, ei Megesystem V(q) wohldefiiert. Wir werde u durch vollstädige Iduktio zeige, dass jedes dieser Megesysteme eie offee Überdeckug vo X ist. = : U ist eie offee Überdeckug vo X. + : U + ist eie offee Überdeckug vo X, V( k/ ) ebefalls ach Iduktiosvoraussetzug, schließlich V( k + ) ebefalls, de S(V, U + ) V ud V( [k/] ) ist eie Überdeckug ach Iduktiosvoraussetzug. Weiters defiiere wir V() := {X}. Wir zeige u iduktiv die folgede Behauptug: Sei N ud k {,,..., }. Da existiert für jedes V V( k ) ei V V( k+ ) mit S(V, U ) V. Es zeige die Behauptug zuächst für =. Es gilt V( ) = U ud V( ) = {X}, also ist die Behauptug richtig. + : Sei k +. Betrachte zuerst de Fall, dass k gerade ist. Da gilt ( k ) ( k/ ) ( [ k+ V + = V = V ] ). Ist u V V( k ) gegebe, so ist ach der Defiitio vo V( k+ + ( k + ) S(V, U + ) V +. Wir köe also V := S(V, U + ) wähle. Nu betrachte wir de Fall, dass k = ist. Da ist V( ) = U + + ud V( + ) = U +. Wege der erste Voraussetzug des Satzes gilt U+ < U. Ist also V U +, so gibt es ei V U mit S(V, U + ) V. Wir betrachte schließlich de Fall k {3, 5,..., + }. Setze k := [ k ], d.h. k = k +, da ist k {,,..., }. Sei V V( k ), )

5 da gibt es ach Defiitio ei V V( k ) mit V = S(V, U + ). Nach Iduktiosvoraussetzug existiert V V( k + ) mit V S(V, U ). Wir erhalte wege der erste Voraussetzug des Satzes ud Lemma.3 die Aussage S(V, U + ) = S(S(V, U + ), U + ) S(V, U ) V. Es seie u q, q zwei ratioale Zahle der Gestalt q = k ud q = k mit k < k ud k, k {,,..., }. Wege dem letzte Schritt gilt isbesodere V( k ) < V( k+ ) <... < V( k ) ud daher V(q) < V(q ). Mit diesem Resultat erhält ma allgemei die Aussage V(q) < V(q ) mit q = k ud q = k, wobei q < q, k {,,..., } ud k {,,..., }. Wir defiiere jetzt zwei Fuktio φ ud d. { k φ : X X R : (x, y) if : N, k {,,.., }, y S(x, V( k } ), { } d : X X R : (x, y) sup φ(x, z) φ(y, z) : z X. Wir zeige u, dass d eie Metrik auf X ist. Es gilt d(x, y) = d(y, x) ud d(x, x) = 0 für alle x, y X. Seie u x, y X mit x y. Wir werde u die Tatsache beutze, dass d(x, y) φ(x, y) φ(y, y) = φ(x, y). () Es seie x, y X ud V eie beliebige Überdeckug vo X. Nu gilt x S(y, V) geau da, falls y S(x, V). Wege der zweite Voraussetzug des Satzes ud da (X, T ) ei T 0 Raum ist, existiert daher ei N mit y / S(x, U ) = S(x, V( )), ud da V(q) < V( ) für alle q mit q < gilt, folgt y / S(x, V(q)), für jedes q mit dieser Eigeschaft. Daher gilt φ(x, y) ud daher isbesodere d(x, y) 0. Es seie u x, y, a X, da gilt d(x, y) = sup{ φ(x, z) φ(y, z) : z X} sup{ φ(x, z) φ(a, z) : z X}+ sup{ φ(a, z) φ(y, z) : z X} = d(x, a) + d(a, y). Wir zeige u, dass die vo der Metrik d iduzierte Topologie gleich T ist. Im Folgede bezeiche wir mit U(x) de Umgebugsfilter vo x im Raum (X, T ) ud mit U ɛ (x) die ɛ Kugel vo x im Raum (X, T (d)). Es sei ei U U(x) gegebe. Wege der zweite Voraussetzug des Satzes existiert ei N mit S(x, U ) U. Sei 0 < ɛ < ud y U ɛ (x). Es gilt d(x, y) < ɛ ud es folgt wege (.), dass auch φ(x, y) < ɛ ist. Daher existiert ei 0 < δ < ɛ mit y S(x, V(δ)) S(x, V( )) = S(x, U ). Damit folgt U ɛ (x) U. Wir werde u zeige, dass es umgekehrt zu jeder Kugel U ɛ (x) ei U U(x) gibt mit U U ɛ (x). Dazu beötige wir folgede Hilfsaussage. Es seie x, y X ud N, sodass x S(y, U + ), da gilt folgede Aussage: Zum Beweis dieser Aussage betrachte wir drei Fälle: () φ(y, z) < () k {, 3,..., } : k φ(y, z) < k (3) φ(y, z) z X : φ(x, z) φ(y, z) + 3. () + ad(): Da φ(y, z) <, folgt z S(y, V( )), also existiert ei V V( ) mit z, y V. Nu gilt x S(y, V( )) ud daher auch x S(V, V( + )). Offebar ist auch z V S(V, V( + )). Nach + Defiitio gilt V := S(V, V( + )) = S(V 3, U + ) V( + ), 5

6 ud wir schließe, dass z S(x, V( 3 + )), de x, z V. Also habe wir φ(x, z) 3 + ud daher ad(): I diesem Fall ist φ(y, z) < z, y V. Es gilt φ(x, z) φ(y, z) φ(x, z) 3 +. k, also z S(y, V( k )), ud daher gibt es ei V V( k ) mit x S(y, V( + )) S(V, U + ) =: V V( k + + ), sowie z V V. Dadurch erhalte wir z S(x, V( k+ + )) ud damit φ(x, z) k+ +. Also erhalte wir φ(x, z) k φ(y, z) ad(3): Es gilt φ(x, z) < + + = φ(y, z) Damit erhalte wir die Aussage + (.). Es gilt x S(y, U + ) geau da, falls y S(x, U + ). Daher ka ma diese Hilfsaussage auch achweise, idem ma die Rolle vo x ud y vertauscht. Damit erhält ma auch die Aussage Aus (.) ud (.3) erhält ma damit die Aussage ud daher schlussedlich z X : φ(y, z) φ(x, z) 3. (3) + z X : φ(x, z) φ(y, z) 3 + d(x, y) Wir betrachte u ei ɛ > 0 ud ei x X. Wir wähle jetzt ei N, sodass < ɛ. Weiters + setze wir U := S(x, U + ). Da U + eie offee Überdeckug vo X ist, gilt U U(x). Für ei y U gilt d(x, y) 3 < ɛ ud damit ist y U + ɛ (x). Damit gilt U U ɛ (x). Wir betrachte u ei O T ud ei x O. Da x ei ierer Pukt vo O ist, existiert ei U U(x) mit U O. Wir habe achgewiese, dass es jetzt ei ɛ > 0 gibt mit U ɛ (x) U. Damit erhalte wir x U ɛ (x) O. Damit ist O eie Umgebug vo x i (X, T (d)) ud daher gilt O T (d). Sei u umgekehrt O T (d) ud x O. Es existiert ei ɛ > 0 mit U ɛ (x) O. Wir habe achgewiese, dass es jetzt ei U U(x) gibt mit U U ɛ (x). Daher gibt es ei W T mit x W O. Damit ist O eie Umgebug vo x i (X, T ) ud daher gilt O T. Damit erhalte wir T = T (d). 3 Der Metrisierbarkeitssatz vo Nagata-Smirov ud der erste Metrisierbarkeitssatz vo Big I diesem Abschitt wolle wir zuächst de Satz vo Nagata-Smirov beweise ud aus dieser Aussage de erste Metrisierbarkeitssatz vo Big herleite. Diese beide Sätze sid ählich ud ma erhält umittelbar aus dem Satz vo Nagata-Smirov de erste Metrisierbarkeitssatz vo Big. Die beide Aussage wurde aber uabhägig voeiader bewiese. Wir werde hier wieder eiige eue Begriffe eiführe, die im Laufe dieses Abschitts immer wieder verwedet werde. Zuerst defiiere wir de Begriff des (σ-)lokal edliche bzw. des (σ-)diskrete Megesystems. 6

7 Defiitio 3. Es sei (X, T ) ei topologischer Raum ud U P(X) ei Megesystem.. U heißt lokal edlich, falls für jede Pukt x X ei W U(x) existiert mit der Eigeschaft, dass W mit höchstes edlich viele Mege aus U ichtleere Durchschitt besitzt.. U heißt σ-lokal edlich, falls eie Folge (U ) N vo lokal edliche Megesysteme existiert, sodass U = N U. 3. U heißt diskret, falls für jede Pukt x X ei W U(x) existiert mit der Eigeschaft, dass W mit höchstes eier Mege aus U ichtleere Durchschitt besitzt. 4. U heißt σ-diskret, falls eie Folge (U ) N vo diskrete Megesysteme existiert, sodass U = N U. Hat ma edlich viele Teilmege eies topologische Raums (X, T ), da ist der Abschluss der Vereiigug dieser Mege gleich der Vereiigug der Abschlüsse. Vereiigt ma higege uedlich viele Mege, da muss dies icht mehr gelte. Im folgede Lemma werde wir achweise, dass bei lokal edliche Megesysteme Abschlussbildug ud Vereiigug stets vertauscht werde köe. Lemma 3. Es sei (X, T ) ei topologischer Raum ud Da gilt U = U P(X) ei lokal edliches Megesystem. Beweis: Sei U eie lokal edliches Megesystem ud x / U. Wir betrachte zuächst de Fall, dass es eie Umgebug W vo x gibt, die mit jeder Mege U U leere Schitt besitzt. Damit würde da gelte W U =. U. Damit gilt x / U. Die umgekehrte Iklusio folgt aus der Tatsache, dass für jedes U U gilt U Nu betrachte wir de Fall, dass eie Umgebug V vo x existiert mit der Eigeschaft, dass V mit edlich viele Mege, U,..., U mit U i U für alle i {,..., }, ichtleere Schitt besitzt. Es gilt x / U i, daher ist U i c eie offee Umgebug vo x. Daher ist auch W := V c eie Umgebug vo x. Nu gilt W U i =, für alle i =,...,, de U i Ui =. Ist U U ud U / {U,..., U }, da gilt V U =. Also folgt auch i diesem Fall W U =. Daher erhält ma W U = U. i= U i c ud daher x / U. Die umgekehrte Iklusio erhält ma wie beim erste Fall. 7

8 Als ächstes wolle wir ei Aussage achweise, die eie hireichede Bedigug für Normalität liefert. Lemma 3.3 Es sei (X, T ) ei topologischer T -Raum mit der Eigeschaft, dass für jede abgeschlossee Teilmege F vo X ud jede offee Teilmege W vo X, die F ethält, eie Folge (W ) N vo offee Teilmege vo X existiert, sodass F N W ud W W, für jedes N. Da ist der Raum (X, T ) ormal. Beweis: Es seie A ud B disjukte abgeschlossee Teilmege der Mege X. Wir setze u F := A ud W := X\B, da gibt es eie Folge (W ) N vo offee Teilmege vo X, sodass gilt A N W ud B W = für alle N. Setze wir F := B ud W := X\A, da gibt es aalog zu obe eie Folge (V ) N Teilmege vo X, sodass gilt vo offee B N V ud A V = für alle N. Wir defiiere jetzt für jedes N jeweils zwei Mege, G := W \ V k ud H := V \ W k. (4) k Offesichtlich sid G ud V für jedes N offee Mege. Wir defiiere u zwei Mege U ud V durch U := N k G ud V := N H. Offesichtlich ist U eie offee Mege die A ethält ud V eie offee Mege die B ethält. Nu zeige wir, dass die beide Mege disjukt sid. Wege (.) erhalte wir G V k = für k ud daher G H k = für k. Aalog erhält ma H k W = für k ud daher G H k = für k. Daher folgt G H k = für alle, k N ud daher U V =. Defiitio 3.4 Es sei (X, T ) ei topologischer Raum ud A eie Teilmege vo X.. Die Mege A heißt eie G δ -Teilmege vo X, falls sie dargestellt werde ka als der Durchschitt vo abzählbar viele offee Teilmege vo X.. Die Mege A heißt eie F σ -Teilmege vo X, falls A c eie G δ -Teilmege vo X ist. 3. Der Raum (X, T ) heißt perfectly ormal, falls er ormal ist ud falls jede abgeschlossee Teilmege vo X eie G δ -Teilmege ist. Im folgede Korollar verwede wir de Begriff der σ-lokal edliche Basis. Das ist eie Basis des Raums, die dargestellt werde ka als Vereiigug vo abzählbar viele lokal edliche Megesysteme. Diese Megesysteme müsse aber keie Base des Raums sei. Korollar 3.5 Es sei (X, T ) ei regulärer topologischer Raum mit eier σ-lokal edliche Basis. Da ist (X, T ) perfectly ormal. Beweis: Es sei B = N B eie σ lokal edliche Basis des Raums (X, T ). Wir betrachte eie abgeschlossee Teilmege F ud eie offee Teilmege W vo X mit F W. Da der Raum regulär ist, existiert für jedes x W ei (x) N ud eie offee Mege O x B (x) mit x O x O x W. Wir defiiere jetzt für jedes N die offee Mege W := x W {O x : (x) = }. Es gilt W = N W ud wege Lemma 3. gilt W W, für jedes N. Die Normalität des Raums folgt u mit Lemma 3.3 ud wege W = N W ist der Raum sogar perfectly ormal. 8

9 Wir komme u zu eier wichtige Aussage i der Topologie, die aus historische Grüde als das Lemma vo Urysoh bezeichet wird. Sie stellt eie Charakterisierug der topologische Räume dar, die die Treugseigeschaft T 4 besitze. Wir werde diese Satz hier icht beweise, da er i de Grudlagevorlesuge über Aalysis bewiese wird. De Beweis dieses Satzes fidet ma atürlich auch i der Literatur. Satz 3.6 (Lemma vo Urysoh) Es sei (X, T ) ei topologischer Raum. Da erfüllt (X, T ) das Treugsaxiom T 4 geau da, falls gilt: Sid A, B zwei disjukte abgeschlossee Teilmege vo X, da existiert eie stetige Fuktio f : X [0, ] mit f(a) = {0} ud f(b) = {}. Korollar 3.7 Es sei (X, T ) ei topologischer T 4 -Raum ud A X. Da ist A eie abgeschlossee G δ -Teilmege vo X geau da, falls eie stetige Fuktio f : X [0, ] existiert mit A = f ({0}). Beweis: Sei A X ud es soll eie stetige Fuktio f : X [0, ] existiere mit A = f ({0}). Als Urbild eier abgeschlosse Mege uter eier stetige Abbildug ist A damit abgeschlosse. A ist eie G δ -Teilmege vo X, da gilt A = f ( N [0, )) = N f ([0, )). Sei u A eie abgeschlossee G δ -Teilmege eies T 4 -Raumes X. Da existiert eie Folge vo abgeschlossee Teilmege (F ) N vo X mit X\A = N F, da das Komplemet vo A eie F σ - Teilmege vo X ist. Wege dem Lemma vo Urysoh existiert u für jedes N eie Fuktio f : X [0, ] mit f (F ) = {} ud f (A) = {0}. Da f für jedes N stetig ist ud die Folge ( m = f ) m N gleichmäßig gege die Fuktio f : X [0, ] : x = f (x) kovergiert, ist auch die Fuktio f stetig. Nu gilt für ei x A, dass f(x) = 0 ud für ei x / A existiert ei N mit f (x) =. Daher gilt f(x) f (x) = > 0. Damit erhält ma A = f ({0}). Geht ma im obige Korollar zu de Komplemete über erhält ma folgede Aussage. Korollar 3.8 Es sei (X, T ) ei topologischer T 4 -Raum ud A X. Da ist A eie offee F σ -Teilmege vo X geau da, falls eie stetige Fuktio f : X [0, ] existiert mit A = f ((0, ]). Nu wolle wir de Begriff der kompatible Familie eiführe ud daraus eie Aussage gewie die stetige Fuktioe charakterisiert. Defiitio 3.9 Es seie (X, T ) ud (Y, R) zwei topologische Räume, (U i ) i I eie Überdeckug vo X ud (f i ) i I eie Familie vo Abbilduge mit f i : (U i, T Ui ) (Y, R), für alle i I.. Die Familie (f i ) i I heißt kompatibel, falls für alle i, j I gilt f i Ui U j = f j Ui U j.. Für eie kompatible Familie (f i ) i I heißt die durch f(x) = f i (x) für x U i defiierte Abbildug vo (X, T ) ach (Y, R) die Kombiatio der Familie (f i ) i I. Lemma 3.0 Es seie (X, T ) ud (Y, R) zwei topologische Räume, (U i ) i I eie offee Überdeckug vo X ud (f i ) i I eie kompatible Familie vo stetige Abbilduge mit f i : (U i, T Ui ) (Y, R) für alle i I. Da ist die Kombiatio f dieser Familie ebefalls stetig. Beweis: Sei U eie offee Teilmege vo Y. Es gilt f (U) = i I f i (U). Für jedes i I ist die Mege f i (U) offe i U i ud daher auch offe i X. Daher ist die Mege f (U) offe i X ud deshalb ist f stetig. 9

10 Aus obigem Lemma erhält ma umittelbar folgede Aussage. Korollar 3. Es seie (X, T ) ud (Y, R) zwei topologische Räume. Da ist eie Abbildug f : (X, T ) (Y, R) stetig geau da, falls für jede Pukt x X eie Umgebug U U(x) existiert mit der Eigeschaft, dass f U : (U, T U ) (Y, R) stetig ist. Für de Beweis des Satzes vo Nagata-Smirov bzw. des erste Metrisierbarkeitssatzes vo Big brauche wir folgede wichtige Eigeschaft metrisierbarer Räume. Satz 3. Es sei (X, T ) ei metrisierbarer topologischer Raum ud U eie offee Überdeckug vo X. Da existiert eie offee Verfeierug V vo U, die lokal edlich ud σ-diskret ist. Beweis: Es sei U = {U s : s S} eie offee Überdeckug vo X ud d eie Metrik auf X, die die Topologie T iduziert. Wir wähle u auf der Idexmege S eie Relatio <, sodass (S, <) eie wohlgeordete Mege ist. Weiters defiiere wir für jedes i N ei Megesystem V i = {V s,i : s S} vo Teilmege vo X durch V s,i = U i (c), wobei i dieser Vereiigug ei c X geau da vorkommt, falls es die folgede 3 Bediguge erfüllt: () s ist das kleiste Elemet der Mege S mit der Eigeschaft c U s () c / V t,j für alle t S ud j < i (3) U 3 i (c) U s Die Mege V s,i sid offe ud wege (3) gilt auch V s,i U s. Sei u x X. Wir betrachte das kleiste s S mit x U s ud ei i N mit der Eigeschaft U 3 i (x) U s. Nu gilt etweder x V t,j für ei j < i ud ei t S oder x V s,i. Damit erhält ma isgesamt, dass V = i N V i eie offee Verfeierug vo U ist. Wir zeige u, dass für jedes i N folgede Aussage gilt: Für alle x V s,i ud x V s,i mit s s gilt d(x, x ) > i. (5) Es geügt we wir de Fall s < s betrachte. Es seie x V s,i ud x V s,i. Aufgrud der Defiitio der Mege V s,i ud V s,i existiere Pukte c, c X, die die Bediguge ()-(3) erfülle mit x U (c ) ud x U i (c ). Aus (3) folgt U i 3 (c ) U s ud aus () erhält ma c / U s. Damit i folgt d(c, c ) 3. Wedet ma u zwei mal die Dreiecksugleichug a erhält ma schlussedlich i d(x, x ) d(c, c ) d(x, c ) d(x, c ) ud damit die Behauptug (.). Sei u x X ud i N. Da ka die offee Kugel U (x) i+ wege (.) mit höchstes eier Mege aus V i ichtleere Schitt besitze. Damit ist das Megesystem V = i N V i σ-diskret. Nu wolle wir achweise, dass V = i N V i auch lokal edlich ist. Wir zeige u, dass für jedes t S, x X ud alle atürliche Zahle j, k N folgede Aussage gilt: Aus U k (x) V t,j folgt U i+k (x) V s,i = für alle i j + k, s S. (6) Seie also s, t S, i, j, k N mit i j + k ud x X. Ei Pukt c X i der Defiitio vo V s,i ist wege () ud i j + k kei Elemet der Mege V t,j. Wege userer Voraussetzug U (x) V t,j folgt k daher d(x, c) für jedes solche c. Aufgrud der Ugleichuge j + k k + ud i k + erhält k ma daher U (x) U j+k (c) =. Damit erhält ma die Aussage (.3). Sei u x X, da existiere i t S ud j, k N mit U (x) V t,j. Aufgrud vo (.3) ka u die offee Kugel U k (x), wobei i+k i j + k, mit höchstes j + k Mege aus V ichtleere Schitt besitze. Daher ist V lokal edlich. 0

11 Das folgede Lemma liefert eie hireichede Bedigug für die Metrisierbarkeit vo T 0 -Räume. Lemma 3.3 Es sei (X, T ) ei topologischer T 0 -Raum ud (d ) N eie Folge vo Halbmetrike auf X mit folgede drei Eigeschafte: (a) N, x, y X : d (x, y). (b) N : d : (X X, T T ) (R, E) ist stetig, wobei E die euklidische Topologie auf R ist. (c) Für jedes x X ud für jede ichtleere abgeschlossee Teilmege A vo X mit x / A existiert ei N, sodass d (x, A) := if{d (x, a) : a A} > 0. Da ist der Raum (X, T ) metrisierbar, wobei die Fuktio d : X X R : (x, y) eie Metrik auf X ist, die die Topologie T iduziert. = d (x, y) Beweis: Aufgrud vo (a) existiert d. Ma sieht umittelbar, dass d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) ud d(x, z) d(x, y) + d(y, z) für alle x, y, z X gilt. Es seie u x, y X mit x y. Da (X, T ) ei T 0 -Raum ist, gilt x / {y} oder y / {x}. Aufgrud vo (c) folgt damit d(x, y) > 0, also ist d eie Metrik auf X. Wir wolle u achweise, dass T = T (d) gilt. Dazu zeige wir, dass A T = A T (d) für jede Teilmege A vo X gilt. Wir werde dabei die Tatsache A T (d) = {x X : d(x, A) = 0} verwede. Wir betrachte u eie beliebige Teilmege A vo X. Sei x / A T, da gilt wege (c), dass ei N existiert mit der Eigeschaft d (x, A T ) = r > 0. Damit folgt d(x, A) d(x, A T ) r > 0 ud daher x / A T (d). Aufgrud vo (b) ist d : (X X, T T ) (R, E) eie stetige Fuktio, da d stetig ist, für alle N, ud die Folge ( m = d ) m N gleichmäßig gege d kovergiert. Aufgrud der Stetigkeit vo d erhält ma auch die Stetigkeit der Fuktio f : (X, T ) (R, E) : x d(x, A). Sei u x A T. Da gilt f(x) f(a T ) f(a) E = {0}. Daher folgt d(x, A) = 0 ud daher x A T (d). Lemma 3.4 Es sei (X, T ) ei topologischer Raum ud B T. Da ist B eie Basis vo (X, T ) geau da, falls für jedes x X das Megesystem B(x) := {O B : x O} eie Umgebugsbasis des Puktes x ist. Beweis: Wir setze zuächst voraus, dass B eie Basis vo (X, T ) ist. Es sei x X ud V eie Umgebug vo x. Daher existiert ei O T mit x O V. Da B eie Basis ist, existiert ei O B mit x O O V, womit B(x) eie Umgebugsbasis vo x ist. Wir setze u umgekehrt voraus, dass B(x) für jedes x X eie Umgebugsbasis vo (X, T ) ist. Es sei O T. Für jedes x O existiert u ei O x B mit x O x O. Daher gilt x O O x = O, womit B eie Basis des Raums (X, T ) ist. Satz 3.5 (Metrisierbarkeitssatz vo Nagata-Smirov) Es sei (X, T ) ei regulärer topologischer Raum. Da ist (X, T ) metrisierbar geau da, falls eie σ-lokal edliche Basis existiert.

12 Beweis: Wir gehe zuächst davo aus, dass der Raum (X, T ) eie σ-lokal edliche Basis besitzt. Es existiert also eie Basis B vo (X, T ) ud eie Folge vo lokal edliche Megesysteme (B ) N mit der Eigeschaft, dass B = N B. Es sei weiters B = {U i : i I }. Für jede atürliche Zahl N ud jedes i I existiert wege Korollar 3.5 ud Korollar 3.8 eie stetige Fuktio f i : X [0, ] mit der Eigeschaft U i = f i ((0, ]). Für jedes N ist das Megesystem {W i : i I } mit W i := (U i X) (X U i ) lokal edlich i (X X, T T ) ud es gilt f i (x) f i (y) = 0, für alle (x, y) / W i. Im Folgede betrachte wir für jedes N die Fuktio g : (X X, T T ) (R, E) : (x, y) i I f i (x) f i (y). Die Fuktio g existiert, da fast alle Summade der Reihe Null sid. Weiters ist die Fuktio wege Korollar 3. stetig. Es ist leicht eizusehe, dass für jedes N durch d (x, y) :=mi{, g (x, y)} eie Halbmetrik auf der Mege X defiiert wird, die durch beschräkt ist. Die Fuktioe d sid weiters für jedes N stetig ud erfülle damit die erste beide Pukte vom Lemma 3.3. Sei u x X ud A eie ichtleere abgeschlossee Teilmege vo X mit x / A. Da existiert ei U B mit der Eigeschaft x U ud A X\U. Da U i B liegt gibt es ei N ud ei i I mit U = U i ud U i B. Aufgrud der Tatsache, dass eie stetige Fuktio f i : X [0, ] existiert mit f i (x) > 0 ud f i (A) = {0}, folgt if{d (x, a) : a A} f i (x) > 0. Damit ist auch der dritte Pukt vo Lemma 3.3 erfüllt ud daher ist der Raum (X, T ) metrisierbar. Wir wolle u voraussetze, dass der Raum metrisierbar ist. Für jedes N sei B eie, aufgrud vo Satz 3. existierede, lokal edliche offee Verfeierug des Megesystems U := {U (x) : x X}. Wir defiiere u das Megesystem B := N B. Wir betrachte ei x X ud eie Umgebug V des Puktes x. Damit existiert ei (x) N mit U (x) V. Nu betrachte wir ei W B (x), dass (x) x ethält. Ei solches W existiert, da B (x) eie Überdeckug vo X ist. Da B (x) eie Verfeierug vo U (x) ist, existiert ei y X mit x W U (y) U (x) V. (x) (x) Damit habe wir achgewiese, dass B(x) := {O B : x O} eie Umgebugsbasis des Puktes x ist. Wege Lemma 3.4 ist B damit eie Basis des Raums (X, T ). Isgesamt erhalte wir, dass B sogar eie σ-lokal edliche Basis vo (X, T ) ist. Korollar 3.6 (Erster Metrisierbarkeitssatz vo Big) Es sei (X, T ) ei regulärer topologischer Raum. Da ist (X, T ) metrisierbar geau da, falls eie σ-diskrete Basis existiert. Beweis: Wir gehe zuächst davo aus, dass der Raum (X, T ) eie σ-diskrete Basis besitzt, da ist diese auch σ-lokal edlich ud wege dem Metrisierbarkeitssatz vo Nagata-Smirov ist der Raum (X, T ) metrisierbar. We umgekehrt der Raum (X, T ) metrisierbar ist, da sei B für jedes N eie, aufgrud vo Satz 3. existierede, σ-diskrete offee Verfeierug des Megesystems U := {U (x) : x X}. Damit ist das Megesystem B := N B eie σ-diskrete Basis vo (X, T ).

13 Literatur [] Egelkig, Ryszard: Geeral Topology. Helderma-Verlag, Berli, 989. [] Woracek, Harald: Allgemeie Topologie. Vorlesugsskript, Techische Uiversität Wie,