Stochastik I. Vorlesungsskript. Universität Mainz. Andrej Depperschmidt. Sommersemester 2014

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1 Stochastik I Adrej Depperschmidt Vorlesugsskript Uiversität Maiz Sommersemester 2014 Versio: 12. Mai 2016

2 Vorwort Bei diesem Skript hadelt es sich um Vorlesugsotize, die parallel zur Vorlesug Stochastik I im Sommersemester 2014 a der Uiversität Maiz geschriebe werde. Die Liste a empfehleswerte Bücher i dee Wahrscheilichkeits- ud Maßtheorie (sowohl auf deutsch als auch auf eglisch) behadelt wird ist sehr umfagreich. Die Literaturliste ethält eie Auswahl a Bücher, die direkt für die Herstellug dieses Skriptes verwedet wurde. Bei spezielle Frage zur Literatur bitte achfrage! Kommetare ud Hiweise auf (Tipp-)Fehler oder Uklarheite sid sehr willkomme. Schicke Sie diese bitte a depperschmidt@stochastik.ui-freiburg.de. 2

3 Ihaltsverzeichis 1 Maße ud Maßräume Megeoperatioe ud Notatio Algebre ud σ-algebre Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre Maße Dyki-Systeme Äußere Maße Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe Messbare Fuktioe ud Abbilduge Übuge Itegratio Defiitio des Lebesgue- oder Maßitegrals Satz vo Rado-Nikodým Produktmaße ud Satz vo Fubii Übuge Zufallsvariable, Verteiluge ud Erwartugswerte Zufallsvariable ud ihre Verteiluge Grudlegede Ugleichuge Uabhägige Ereigisse ud Megesysteme Uabhägige Zufallsvariable Faltug Kovergez vo Zufallsvariable Null-Eis Gesetz vo Kolmogorov Starkes Gesetz der große Zahle Maximalugleichuge Reihe uabhägiger Zufallsvariable Übuge

4 4 Schwache Kovergez ud zetraler Grezwertsatz Schwache Kovergez Straffheit ud relative Kompaktheit Vertauschug vo Itegratio ud Grezwertbildug Charakteristische Fuktioe Zetraler Grezwertsatz Übuge Bedigte Wahrscheilichkeite ud Erwartuge Motivatio ud erste Beispiele Bedigte Erwartuge Eigeschafte bedigter Erwartuge Übuge Literaturverzeichis 155 4

5 1 Maße ud Maßräume Bereits mit Mittel der diskrete Wahrscheilichkeitstheorie typischerweise ist sie Gegestad der eiführede Stochastikvorlesuge köe viele iteressate Theme behadelt werde. Deoch reicht die diskrete Theorie für viele Fragestelluge icht aus. Isbesodere stößt sie a ihre Greze, we es um uedliche Wiederholuge eies Zufallsexperimetes, z.b. eie uedliche Folge vo Müzwürfe, oder um ifiitesimal geaue Operatioe, z.b. ziehe eies zufällige Puktes eies Itervalls geht. Wir demostriere es a eiem Beispiel. Wir betrachte Würfe eier Müze mit Wahrscheilichkeit p [0, 1] für Kopf ud q = 1 p für Zahl. Der zugehörige Wahrscheilichkeitsraum ist (Ω, A, P), wobei Ω = { ω = (ω 1,..., ω ) : ω i {0, 1} }, A = {A : A Ω}, P({ω}) = p i=1 ω i q i=1 ω i. Wir iterpretiere ω i = 1 als Kopf ud ω i = 0 als Zahl beim i-te Wurf der Müze. Das Megesystem A ist die Potezmege vo Ω. Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses A A ist die Summe der Eizelwahrscheilichkeite der Elemete vo A, also P(A) = P({ω}). (1.1) ω A Die Mächtigkeit, d.h. die Azahl der Elemete, der Mege Ω ist 2. Im Fall eier faire Müze ist p = q = 1/2 ud jedes Elemetarereigis ω Ω hat dieselbe Wahrscheilichkeit P({ω}) = 1/2. Ferer ist P(A) = A /2 für A A, wobei A die Azahl der Elemete vo A bezeichet. Wie sieht u das etsprechede Modell im Fall eier uedliche Müzwurffolge aus? Als aheliegede Ereigismege ehme wir Ω = { ω = (ω 1, ω 2,...) : ω i {0, 1} }. 5

6 1.1 Megeoperatioe ud Notatio Es ist bekat, dass jede Zahl a (0, 1] eie eideutige (icht-abbrechede, d.h. mit uedlich viele Eise) dyadische Darstellug a = a a , a i {0, 1} hat. Isbesodere köe wir (ud tu es auch) Ω = (0, 1] als Ereigismege ehme, was überabzählbar ist. Ituitiv sollte jedem Elemetarereigis ω Ω dieselbe Wahrscheilichkeit zugeordet werde. Da Ω aber überabzählbar ist, muss P({ω}) = 0 für alle ω Ω gelte. Aus Symmetriegrüde sollte mit Wahrscheilichkeit 1/2 ei zufällig gezogeer Pukt aus (0, 1] zu (0, 1/2] gehöre. Wie passt das aber zu P({ω}) = 0 für alle ω Ω? Offebar ka ma i diesem Fall icht die Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse agebe ud da wie i (4.6) vorgehe. Bei überabzählbare Ereigismege sollte die Wahrscheilichkeite also für bestimmte Familie vo Teilmege vo Ω agegebe werde. Ferer ka ma sich überlege, dass diese Familie abgeschlosse bezüglich verschiedee Megeoperatioe sei sollte damit die Wahrscheilichkeitsmaße darauf kosistet defiiert werde. Mathematisch rigorose Behadlug der Wahrscheilichkeitstheorie baut auf Maßtheorie auf wird ermöglicht durch die Axiome vo Kolmogorov; siehe Kolmogoroff (1933). I diesem Kapitel behadel wir die für diese Vorlesug beötigte Begriffe ud Resultate aus der Maß- ud Itegratiostheorie. 1.1 Megeoperatioe ud Notatio I diesem Abschitt wiederhole wir eiige Begriffe ud Notatio aus der Megelehre. Im Folgede ist Ω stets eie ichtleere Mege. Die Potezmege vo Ω ist als die Mege aller Teilmege vo Ω defiiert ud wird mit P(Ω) bezeichet. Also ist P(Ω) {A : A Ω}. (1.2) Mit A B, A B bezeiche wir wie üblich de Durchschitt bzw. die Vereiigug der Mege A ud B. Für A Ω bezeiche wir mit A c Ω \ A = {x Ω : x A} das Komplemet vo A i Ω. Die symmetrische Differez der Mege A ud B ist defiiert durch A B (A \ B) (B \ A). (1.3) 6

7 1.1 Megeoperatioe ud Notatio Oft wird es ützlich sei Vereiiguge vo Mege als Vereiiguge vo disjukte Mege darzustelle. Wie das geht, zeigt das folgede Resultat. Propositio 1.1 (Disjukte Vereiiguge). Es sei A 1, A 2,... eie Folge vo Teilmege vo Ω ud A = A. Da sid die Mege 1 B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ B 1,..., B = A \ B k,... paarweise disjukt ud es gilt A = B. Beweis. Übug! k=1 Auch sehr ützlich (isbesodere beim Reche mit Wahrscheilichkeite) sid die De Morgasche Regel: Für (A i ) i I, A i Ω mit eier beliebige Idexmege I (abzählbar 1 oder überabzählbar) gilt ( ) c ( ) c A i = ud A i = A c i. (1.4) i I i I A c i Ist (x ) N eie reellwertige Folge, da sid die Operatore lim sup ud lim if bekatermaße defiiert durch lim sup x = if sup x k bzw. lim if x = sup if x k. (1.5) N k k Die etsprechede Operatore gibt es auch für Folge vo Mege. Für eie Zusammehag zwische diese Begriffe verweise wir auf Übug 1.3. Defiitio 1.2 (lim if ud lim sup vo Megefolge). Für A 1, A 2,... P(Ω) sid Limes superior ud Limes iferior defiiert durch lim sup A =1 k= i I A k bzw. lim if i I A N =1 k= A k. (1.6) Falls lim sup A = lim if A gilt, so ee wir die Megefolge (A ) koverget ud schreibe lim A = lim sup A = lim if A. (1.7) 1 Ohe eie besodere Hervorhebug meie wir mit abzählbar immer edlich oder abzählbar uedlich 7

8 1.1 Megeoperatioe ud Notatio Bemerkug 1.3. Für ω Ω gilt ud Ferer gilt ω lim sup A N, k : ω A k ω A für uedlich viele. ω lim if A N, k : ω A k ω A für alle bis auf edlich viele. lim if A lim sup A, (1.8) de aus ω A für alle bis auf edlich viele folgt atürlich ω A für uedlich viele. Schließlich ka ma mit Hilfe der De Morgasche Regel leicht folgede Aussage zeige: ( ) c ( lim sup A = lim if Ac ud lim if A ) c = lim sup A c. (1.9) Beispiel 1.4. Es sei A das iere der Kreisscheibe (i R 2 ) mit Radius 1 ud Mittelpukt ( ( 1) /, 0 ). Da ist lim if A die offee Kreisscheibe um (0, 0). Die Mege lim sup A ethält och de Rad bis auf die Pole (0, 1) ud (0, 1). Beispiele vo kovergete Megefolge sid mootoe Megefolge. Propositio 1.5 (Mootoe Megefolge). Es sei A 1, A 2,... eie Folge vo Teilmege vo Ω. Da gelte folgede Aussage. (i) Ist A 1 A 2 A 3, da gilt ud wir schreibe A A. A lim A = (ii) Ist A 1 A 2 A 3, da gilt ud wir schreibe A A. Beweis. Übug! A lim A = A, (1.10) =1 A, (1.11) =1 8

9 1.2 Algebre ud σ-algebre 1.2 Algebre ud σ-algebre Defiitio 1.6 (Algebra). Eie Mege A vo Teilmege vo Ω heißt Algebra (über Ω), we folgede Bediguge erfüllt sid (i) Ω A, (ii) A A A c A, (iii) A 1,..., A A k=1 A k A, (iv) A 1,..., A A k=1 A k A. Bemerkug 1.7. Eie Algebra A ethält also die Grudmege, ist abgeschlosse bezüglich Komplemetbildug, bezüglich Bildug edlicher Vereiiguge ud bezüglich Bildug edlicher Durchschitte. I der Defiitio der Algebra ka eie der Bediguge (iii) oder (iv) weggelasse werde, weil (ii) & (iii) äquivalet zu (ii) & (iv) ist. Um (iii) aus (ii) & (iv) herzuleite verwede wir die De Morgasche Regel. Für A 1,..., A A gilt A c 1,..., Ac A ach (ii) ud mit (iv) folgt k=1 Ac k A. Weitere Awedug vo (ii) liefert u ( c A k = Ak) c A. k=1 k=1 Aalog ka ma (iv) aus (ii)& (iii) herleite. Natürlich hätte es auch i (iii) ud (iv) ausgereicht, die Implikatio jeweils für = 2 zu forder. Ferer ka ma sich überlege, dass eie Algebra bezüglich alle edliche Megeoperatioe abgeschlosse ist. Zum Beispiel gilt de A, B A A B = (A B c ) (B A c ) A, A, B A (ii) A, B, A c, B c A (iv) A B c, B A c A (iii) A B A. Defiitio 1.8 (σ-algebra). Eie Mege A vo Teilmege vo Ω heißt σ-algebra (über Ω), we folgede Bediguge erfüllt sid (i) Ω A, 9

10 1.2 Algebre ud σ-algebre (ii) A A A c A, (iii) A 1, A 2,... A k=1 A k A, (iv) A 1, A 2,..., A k=1 A k A. Bemerkug 1.9. Eie σ-algebra A ethält also die Grudmege, ist abgeschlosse bezüglich Komplemetbildug, bezüglich Bildug abzählbarer Vereiiguge ud bezüglich Bildug abzählbarer Durchschitte. Geauso wie bei der Defiitio eier Algebra ka wahlweise eie der Bediguge (iii) oder (iv) weggelasse werde. Weitere Variate der Defiitioe vo Algebre ud σ-algebre sid möglich. So köte ma i beide Defiitioe statt (i) auch A forder. Außerdem würde es beispielsweise auch ausreiche, zu forder, dass A ichtleer ist ud (ii)&(iii) gilt. Gilt ämlich A A für eie beliebige Mege A Ω, da folgt A c A mit (ii). Nach (iii) ist da Ω = A A c A. Defiitio 1.10 (Messbarer Raum). Ist Ω eie ichtleere Mege ud A eie σ-algebra über Ω, da heißt das Paar (Ω, A) ei messbarer Raum. Mege A A werde als (A-)messbare Teilmege vo Ω bezeichet. Eie σ-algebra ist immer auch eie Algebra, weil die Vereiigug edlich vieler Mege A 1,..., A mit der Vereiigug abzählbar vieler Mege A 1,..., A, A, A,... übereistimmt. Die Umkehrug ist im Allgemeie falsch (vgl. Beispiel 1.12(d)). Die folgede Propositio liefert hireichede Bediguge. Propositio Ei Algebra A ist eie σ-algebra, we eie der folgede Bediguge erfüllt ist: (a) A ist abgeschlosse uter aufsteigede Limite, d.h. für A 1 A 2... mit A A, N gilt A = A A. (b) A ist abgeschlosse uter absteigede Limite, d.h. für A 1 A 2... mit A A, N gilt A = A A. Beweis. (a) Für B 1, B 2,... A gilt k=1 B k k=1 B k für, ud die rechte Seite ist ei Elemet vo A ach Voraussetzug. 10

11 1.3 Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre (b) Für B 1, B 2,... A gilt k=1 B k k=1 B k für, ud die rechte Seite ist ei Elemet vo A ach Voraussetzug. Beispiel We ichts aderes gesagt wird, ist Ω i de folgede Beispiele eie beliebige ichtleere Mege. (a) Die Potezmege P(Ω) ist die größte σ-algebra über Ω. I diesem Fall ist jede Teilmege vo Ω messbar. (b) Die kleiste (auch triviale geat) σ-algebra über Ω ist {, Ω}. I diesem Fall ist keie ichtleere echte Teilmege vo Ω messbar (c) Sei Ω uedlich ud sei A {A Ω : A edlich}. Da ist A keie Algebra, de es ist Ω A ud mit A A ist otwedigerweise A c uedlich ud somit ist A c A. (d) Sei Ω abzählbar uedlich ud sei A {A Ω : A oder A c edlich}. Da ist A eie Algebra, aber keie σ-algebra. (Übug!) (e) Sei Ω überabzählbar ud sei A {A Ω : A abzählbar}. Da ist A keie Algebra, weil Ω A ud mit A A ist A c A. (f) Sei A {A Ω : A oder A c abzählbar}. Da ist A eie σ-algebra (Übug!). 1.3 Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre Satz 1.13 (Durchschitte vo σ-algebre sid σ-algebre). Ist (A i ) i I eie beliebige ichtleere Familie vo σ-algebre über Ω, da ist A = i I A i eie σ-algebra über Ω. Beweis. Da Ω A i für alle i I ist, ist Ω A. Ist A 1, A 2,... eie Folge vo Mege aus A, da gehöre diese Mege auch zu A i für alle i I. Da jedes A i eie σ-algebra ist, folgt A A i für alle i I ud damit A A. Aalog sieht ma, dass A abgeschlosse bezüglich Komplemetbildug ist. Bemerkug Die Vereiigug vo zwei σ-algebre ist im Allgemeie keie σ-algebra (Übug!). 11

12 1.3 Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre Korollar Es sei E eie beliebige Mege vo Teilmege vo Ω. Da gibt es eie eideutige kleiste σ-algebra, die E ethält. Defiitio 1.16 (Erzeuger ud erzeugte σ-algebra). Die kleiste σ-algebra, die E ethält wird mit σ (E) bezeichet ud heißt vo E erzeugte σ-algebra. Die Familie E wird Erzeuger vo σ (E) geat. Beweis vo Korollar Wir setze E = { A : A σ-algebra über Ω, E A }, E ist also die Familie aller σ-algebre über Ω die E ethalte. Diese Familie ist ichtleer, weil die Potezmege P(Ω) jede Mege vo Teilmege vo Ω ethält. Da ist σ (E) A E A die kleiste σ-algebra über Ω, die E ethält. Dass es eie σ-algebra ist, ist ach Satz 1.13 klar. Die kleiste ist es, weil der Durchschitt über alle E ethaltede σ-algebre gebildet wird. Zwei kleiste σ-algebre, die E ethalte, müsse sich gegeseitig ethalte ud somit gleich sei. Nu gebe wir eiige Beispiele vo σ-algebre ud ihre Erzeuger a. Ei weiteres Beispiel fide Sie i Übug 1.9. Beispiel (a) Ist Ω eie ichtleere Mege ud ist A eie echte ichtleere Teilmege vo Ω, da ist die kleiste σ-algebra, die A ethält gegebe durch σ ({A}) = {, A, A c, Ω}. (b) Die σ-algebra auf N, die vo de Eipuktmege erzeugt wird, ist die Potezmege, d.h. σ ({ {k} : k N}) = P(N). (c) Die σ-algebra auf R, die vo de Eipuktmege erzeugt wird, ist die σ-algebra aus Beispiel 1.12(f), mit Ω = R dort. Überlege Sie sich warum das stimmt! 12

13 1.3 Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre Nu köe wir eie wichtige Klasse vo σ-algebre auf topologische (ud metrische) Räume eiführe. Wir erier zuächst a die Defiitio eies topologische Raumes. Defiitio 1.18 (Topologischer Raum). Es sei Ω eie ichtleere Mege. Eie Mege τ vo Teilmege vo Ω ist eie Topologie auf Ω we die folgede Bediguge erfüllt sid. (i), Ω τ, (ii) sid A, B τ, da gilt A B τ, (iii) ist (A i ) i I τ eie beliebige Familie, da ist i I A i τ. Die Elemete vo τ heiße offee Mege ud das Paar (Ω,τ ) heißt topologischer Raum. Defiitio 1.19 (Borel-σ-Algebra). Es sei (Ω, τ ) ei ichtleerer topologischer Raum. Die Borel-σ-Algebra B(Ω) über Ω ist die vo der Topologie τ erzeugte σ-algebra, d.h. B(Ω) σ (τ ). Ist (Ω, r ) ei metrischer Raum, da ist B(Ω) σ (τ r ). Hier ist τ r die vo der Metrik r erzeugte Topologie auf Ω, d.h. { } τ r = B s (ω) : F Ω (0, ), (ω,s) F wobei B s (ω) = { ω Ω : r (ω, ω) < s} der offee s-ball um ω ist. Das für us wichtigste Beispiel ist die Borel-σ-Algebra über R d (ud über Teilmege vo R d ). Defiitio 1.20 (Borel-σ-Algebra über R d ). Die Borel-σ-Algebra über R d, ist die σ-algebra, die vo der Mege aller offee Teilmege vo R d (also vo der euklidische Topologie) erzeugt wird. Sie wird mit B(R d ) bezeichet. Im Fall d = 1 schreibe wir B(R). 13

14 1.3 Erzeuger vo σ-algebre, Borel-σ-Algebre Die Borel-σ-Algebra B(R d ) wird auch vo viele adere Megesysteme erzeugt, die etwas besser hadhabbar (was das bedeutet werde wir später sehe) sid als die Mege aller offee Teilmege. Eiige davo liste wir i de folgede Propositioe auf. Für mehr Beispiele vo Erzeuger vo B(R d ) verweise wir auf Literatur; siehe z.b. Satz 1.23 i Kleke (2013). Es gibt Mege die icht Borel messbar sid, d.h. sie sid i der Potezmege vo R aber icht i der Borel-σ-Algebra ethalte (siehe z.b. Theorem i Coh (2013) i welchem das Auswahlaxiom beutzt wird). Alle Mege, mit dee wir i der Vorlesug jemals zu tu habe werde, sid Borel messbar. Propositio 1.21 (Alterative Erzeuger vo B(R d )). Die folgede Megesysteme erzeuge alle die Borel-σ-Algebra auf R d : (a) die Mege aller abgeschlossee Teilmege vo R d ; (b) die Mege aller abgeschlossee Halbräume vo R d der Form {(x 1,..., x d ) : x i b}, für ei Idex i ud b R; (1.12) (c) die Mege aller halboffee Rechtecke der Form {(x 1,..., x d ) : a i < x i b i für i = 1,...,d} (1.13) wobei a i < b i, i = 1,...,d aus R sid. Beweis. Seie E 1, E 2, E 3 die Megesysteme i (a), (b) ud (c) ud seie B 1, B 2, B 3 die zugehörige erzeugte σ-algebre, d.h. B i = σ (E i ). Wir zeige B(R d ) B 1 B 2 B 3 B(R d ). Da die σ-algebra B(R d ) die Mege aller offee Teilmege vo R d ethält ud abgeschlosse uter Komplemetbildug ist, ethält sie auch die Mege aller abgeschlossee Teilmege vo R d, also E 1. Weil B 1 = σ (E 1 ) die kleiste σ-algebra ist, die E 1 ethält, folgt B 1 B(R d ). Offebar gilt E 1 E 2, woraus sofort B 1 B 2 folgt. Seie u a i,b i R mit a i < b i. Wir müsse zeige, dass die Rechtecke aus (1.15) i B 2 ethalte sid. Für jedes i = 1,...,d gilt {(x 1,..., x d ) : a i < x i b i } = {(x 1,..., x d ) : x i b i } \ {(x 1,..., x d ) : x i a i }. 14

15 1.4 Maße Die rechte Seite (ud damit auch die like) ist i B 2 ethalte. Mit {(x 1,..., x d ) : a i < x i b i für i = 1,...,d} = d {(x 1,..., x d ) : a i < x i b i } i=1 folgt u B 2 B 3. Bleibt och B 3 B(R d ) zu zeige. Dazu bemerke wir, dass jede offee Mege i R d als abzählbare Vereiigug geeigeter ε-bälle dargestellt werde ka. Jeder offee ε-ball ka wiederum als abzählbare Vereiigug geeigeter halboffeer Rechtecke dargestellt werde. Propositio 1.22 (Weitere Erzeuger vo B(R d )). Die folgede Megesysteme erzeuge alle die Borel-σ-Algebra auf R d : (a) die Mege aller kompakte Teilmege vo R d ; (b) die Mege aller abgeschlossee Halbräume vo R d der Form {(x 1,..., x d ) : x i b}, für ei Idex i ud b Q; (1.14) (c) die Mege aller halboffee Rechtecke der Form {(x 1,..., x d ) : a i < x i b i für i = 1,...,d} (1.15) wobei a i < b i, i = 1,...,d aus Q sid. Beweis. Übug! 1.4 Maße Defiitio 1.23 (Maße ud Maßräume). Es sei (Ω, A) ei messbarer Raum. Eie Megefuktio µ : A [0, + ] (1.16) heißt Maß auf (Ω, A) we die folgede zwei Bediguge gelte (i) µ( ) = 0; 15

16 1.4 Maße (ii) µ ist σ-additiv, d.h. für jede Folge A 1, A 2,... paarweise disjukter Mege aus A gilt ( ) µ A = =1 µ(a ). (1.17) Das Maß µ heißt Wahrscheilichkeitsmaß, we µ(ω) = 1 ist. Es heißt edlich, we µ(ω) < ist ud σ-edlich, we es eie Folge Ω 1, Ω 2,... i A gibt mit Ω = Ω ud µ(ω ) < für alle. Das Tripple (Ω, A, µ) heißt da Maßraum ud falls µ ei Wahrscheilichkeitsmaß ist, wird es Wahrscheilichkeitsraum geat. Ma sagt, dass eie Megefuktio µ edlich additiv ist, we für je edlich viele paarweise disjukte Mege A 1,..., A aus A gilt ( ) µ A i = i=1 =1 µ(a i ). (1.18) Gilt zusätzlich och µ( ) = 0, da spricht ma vo eiem edlich-additive Maß. Ei edlich-additives Maß werde wir auch stets so beee. Ei Maß ist für us immer σ-additiv. Natürlich folgt aus der σ-additivität die edliche Additivität. Die Umkehrug ist im Allgemeie falsch (vgl. (f) im folgede Beispiel). Beispiel (a) Es sei Ω eie beliebige ichtleere Mege ud A eie σ- Algebra auf Ω. Wir defiiere die Megefuktio µ : A [0, + ] durch i=1 µ(a) = : falls A edlich ud A = ist, + : falls A uedlich ist. Da ist µ ei Maß ud wird Zählmaß geat. Ist Ω edlich ud µ durch µ(a) = µ(a) µ(ω) = A Ω defiiert. Da ist µ ei Wahrscheilichkeitsmaß, ämlich die uiforme Verteilug (auch Gleichverteilug) auf Ω. 16

17 1.4 Maße (b) Es sei Ω eie beliebige ichtleere Mege ud A eie σ-algebra auf Ω. Für ei ω Ω defiiere wir die Megefuktio δ ω : A [0, + ] durch δ ω (A) = 1 : falls ω A, 0 : falls ω A. Da ist µ ei (Wahrscheilichkeits)Maß ud wird Dirac-Maß oder Eiheitsmasse im Pukt ω geat. (c) Für Ω = N sei A = {A Ω : A edlich oder A c edlich }. Nach Beispiel 1.12(d) ist A eie Algebra, aber keie σ-algebra. Wir defiiere µ : A [0, + ] durch µ(a) = 1 : we A uedlich, 0 : we A edlich. Die Megefuktio µ ist edlich additiv (auf A), aber icht σ-additiv. Außerdem ka µ auch icht auf die vo A erzeugte σ-algebra σ (A) fortgesetzt werde. (Damit meie wir, dass ma kei Maß µ auf σ (A) defiiere ka, für das µ A = µ gilt.) Später werde wir us mit Bediguge beschäftige, uter welche das geht. (d) Es sei Ω eie beliebige ichtleere Mege ud A eie beliebige σ-algebra auf Ω. Sei µ : A [0, + ] defiiert durch Da ist µ ei Maß. µ(a) = + : we A, 0 : we A =. I de folgede Propositioe diskutiere wir eiige eifache aber wichtige Eigeschafte vo Maße. Propositio 1.25 (Mootoie vo Maße). Es sei (Ω, A, µ) ei Maßraum ud seie A, B A mit B A. Da gilt µ(b) µ(a). We außerdem och µ(b) < gilt, da gilt µ(a \ B) = µ(a) µ(b). 17

18 1.4 Maße Beweis. Die Mege B ud A \ B sid disjukt ud es ist A = B (A \ B). Mit Additivität vo µ erhalte wir µ(a) = µ(b) + µ(a \ B). Da beide Summade auf der rechte Seite icht-egativ sid folgt hieraus die behauptete Mootoie µ(b) µ(a). Im Fall µ(b) < folgt auch die zweite Behauptug sofort. Propositio 1.26 (Abzählbare Subadditivität vo Maße). Es sei (Ω, A, µ) ei Maßraum ud sei A 1, A 2,... eie beliebige Folge (edlich oder uedlich) vo Mege aus A. Da gilt µ ( ) A µ(a ). Beweis. Nach Propositio 1.1 köe wir A als disjukte Vereiigug vo Mege B 1, B 2,... mit B i A i schreibe. Damit gilt µ ( ) ( ) A = µ B = µ(b ) µ(a ). Dabei habe wir bei dem zweite Gleichheitszeiche die σ-additivität vo µ verwedet ud für die Ugleichug die Mootoie vo µ (siehe Propositio 1.25). Propositio 1.27 (Auf- ud absteigede Stetigkeit vo Maße). Es sei (Ω, A, µ) ei Maßraum. Das Maß µ ist aufsteiged ud absteiged stetig, d.h. es gelte die folgede zwei Aussage. (a) Für jede wachsede Folge A 1, A 2,... i A gilt µ(a k ) k µ( A ). (b) Für jede fallede Folge A 1, A 2,... i A mit µ(a 0 ) < + für ei 0 N gilt µ(a k ) k µ( A ). Beweis. Sei A 1, A 2,... eie wachsede Folge vo Mege aus A. Wir setze B 1 = A 1 ud B i = A i \ A i 1. Die Mege B 1, B 2,... sid disjukt ud i A ethalte. Außerdem gilt A k = k i=1 B i ud isbesodere i=1 A i = i=1 B i. Es folgt µ ( i=1 A ) i = i=1 µ(b i ) = lim k k i=1 µ(b i ) = lim µ ( k i=1 B ) i = lim µ ( ) A k. k k 18

19 1.4 Maße Damit ist die Aussage (a) gezeigt. Sei u A 1, A 2,... eie fallede Folge vo Mege aus A mit µ(a 0 ) < für ei 0 N. Wir köe ohe Eischräkug 0 = 1 aehme. Wir setze C k = A 1 \ A k. Da ist C 1,C 2,... eie wachsede Folge vo Mege aus A ud es gilt Mit Teil (a) folgt k=1 C k = A 1 \ ( k=1 A k). µ ( A 1 \ ( k=1 A k) ) = µ( k=1 C k) = lim k µ(c k ) = lim k µ(a 1 \ A k ). Mit der Voraussetzug µ(a 1 ) < + folgt u ach Propositio 1.25 die Aussage (b). Die like Seite im letzte Display ist ämlich gleich ud die rechte ist gleich µ(a 1 ) µ( k=1 A k) µ(a 1 ) lim k µ(a k ). Es folgt lim k µ(a k ) = µ( k=1 A k). Die folgede Propositio ist teilweise eie Umkehrug der vorherige. Es liefert hireichede Bediguge uter welche ei edlich additives Maß ei Maß ist (beachte Sie eie gewisse Ählichkeit zu Propositio 1.11). Propositio 1.28 (Hireichede Bediguge für σ-additivität). Es sei (Ω, A) ei messbarer Raum ud sei µ ei edlich additives Maß darauf. Da ist µ ei Maß, we eie der folgede Bediguge gilt. (a) Für jede wachsede Folge A 1, A 2,... i A gilt µ(a k ) k µ( A ). (b) Für jede fallede Folge A 1, A 2,... i A mit A = gilt µ(a k ) k 0. Beweis. Sei B 1, B 2,... eie Folge vo paarweise disjukte Mege aus A. Zu zeige ist, dass beide Bediguge die σ-additivität impliziere, also µ( k=1 B k) = k=1 µ(b k). 19

20 1.5 Dyki-Systeme Nehme wir zuächst a, dass (a) gilt. Für jedes setze wir A = k=1 B k. Wege edlicher Additivität habe wir µ(a ) = k=1 µ(b k). Da =1 A = k=1 B k ist, folgt mit (a) bei dem zweite Gleichheitszeiche µ( k=1 B k) = µ( =1 A ) = lim µ(a ) = lim µ(b k ) = k=1 µ(b k ). Nehme wir u a, dass (b) gilt. Für jedes setze wir A = k= B k. Da gilt A, de jedes ω Ω ist etweder i keiem der B k ethalte oder i eiem eizige. Im letztere Fall gibt es ei N mit ω k= B k für N. Edliche Additivität impliziert µ( k=1 B k) = µ ( ( k=1 B k) A +1 ) = µ( k=1 B k) + µ(a +1 ) = k=1 µ(b k ) + µ(a +1 ). Nach Voraussetzug gilt µ(a ) 0 für ud damit folgt µ( k=1 B k) = k=1 µ(b k). 1.5 Dyki-Systeme I de vorherige Abschitte habe wir us mit σ-algebre ud Maße auf σ-algebre beschäftigt. User Ziel i de ächste Abschitte ist die Kostruktio ud (eideutige) Fortsetzug vo Maße. Uter Aderem werde wir de Satz vo Carathéodory beweise. Dieser besagt, dass σ-edliche Maße auf Algebre eideutig auf die zugehörige σ-algebra fortgesetzt werde köe. Zuerst beschäftige wir us i diesem ud im ächste Abschitt mit eiige techische Hilfsmittel (weitere Megesysteme ud äußere Maße). Defiitio 1.29 (Dyki-System, λ-system). Es sei Ω eie ichtleere Mege. Eie Mege D vo Teilmege vo Ω heißt Dyki-System (oder λ-system), we folgede Bediguge erfüllt sid (i) Ω D, (ii) A D A c D, (iii) sid A 1, A 2,... D paarweise disjukt, da ist k=1 A k D. k=1 20

21 1.5 Dyki-Systeme Defiitio 1.30 ( -stabile Megesysteme, π-systeme). Ei Megesystem E auf eier ichtleere Mege Ω heißt schittstabil (oder π-system, wir schreibe oft -stabil), we es abgeschlosse bezüglich edliche Durchschitte ist, d.h. A, B E A B E. (1.19) Bemerkug 1.31 (Beziehug zwische Dyki-Systeme ud σ-algebre). Eie σ-algebra ist atürlich stets ei Dyki-System. Die Umkehrug ist falsch. Auf Ω = {1, 2, 3, 4} ist z.b. D = {, Ω, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} } ei Dyki-System, aber keie σ-algebra. Wie die ächste Propositio zeigt, fehlt eiem Dyki-System icht viel zu eier σ-algebra. Propositio Ei Dyki-System ist geau da eie σ-algebra, we es schittstabil ist. Beweis. Eie Richtug ist atürlich klar. Für die adere ist ur Abgeschlosseheit bezüglich abzählbare Vereiiguge zu zeige. Sei also D ei schittstabiles Dyki-System. Ethält D die Mege A 1, A 2,... D, da ethält es auch die disjukte Mege B 1, B 2,..., defiiert durch (vgl. Propositio 1.1) Nach Defiitio 1.29(iii) folgt B = A A c 1... Ac 1. =1 A = =1 B D. Lemma 1.33 (Äquivalete Defiitio eies Dyki-Systems). Es sei D ei System vo Teilmege eier ichtleere Mege Ω. Zeige Sie: D ist geau da ei Dyki-System, we gilt (i) Ω D; (ii) A, B D, B A A \ B D; (iii) Für jede aufsteigede Folge (A ) vo Elemete aus D gilt A D. 21

22 1.5 Dyki-Systeme Beweis. Übug! Beispiel Es seie (Ω, A) ei messbarer Raum ud µ ud ν edliche Maße auf A mit µ(ω) = ν (Ω). Da ist D = {A A : µ(a) = ν (A)} ei Dyki-System. Dabei gilt Ω D ach Voraussetzug. Ist A D so gilt µ(a) = ν (A) ud somit (vgl. Propositio 1.25) µ(a c ) = µ(ω \ A) = µ(ω) µ(a) = ν (Ω) ν (A) = ν (Ω \ A) = ν (A c ). Also ist A c D. Sei u A 1, A 2,... eie Folge vo paarweise disjukte Mege aus D. Da folgt mit σ-additivität vo µ ud ν µ( A ) = µ(a ) = ν (A ) = ν ( A ). Dies zeigt A D. 2. Es sei (Ω, A, P) ei Wahrscheilichkeitsraum ud sei A A beliebig. Da ist (Übug!) D = {B A : P(A B) = P(A)P(B)} ei Dyki-System. (D ist die Mege aller vo A uabhägige Ereigisse.) Bemerkug 1.35 (Schitte ud Erzeuger vo Dyki-Systeme). Ählich zu Beweis vo Satz 1.13 lässt sich zeige, dass Durchschitte vo beliebige Familie vo Dyki-Systeme (über derselbe Mege Ω) wieder Dyki- Systeme sid. Für ei beliebiges Megesystem E vo Teilmege vo Ω ka ma wie i Korollar 1.15 zeige, dass δ (E) D (1.20) D E D Dyki-System das kleiste E ethaltede Dyki-System ist. I Aalogie mit Defiitio 1.16 sage wir, dass δ (E) das vo E erzeugte Dyki-System ist ud ee E Erzeuger vo δ (E). 22

23 1.5 Dyki-Systeme Die große Bedeutug vo Dyki-Systeme ist vor allem durch das folgede Resultat begrüdet. Ei Awedugsbeispiel dieses Resultats sehe wir gleich im Aschluss a de Beweis. Satz Ist E ei -stabiles System auf eier ichtleere Mege Ω, so gilt σ (E) = δ (E). (1.21) Beweis. Da σ (E) ei E ethaltedes Dyki-System ist ud δ (E) das kleiste solche System ist, folgt δ (E) σ (E). Zu zeige ist also δ (E) σ (E). Dafür geügt es zu zeige, dass δ (E) eie σ-algebra ist. Dafür wiederum reicht es ach Propositio 1.32 zu zeige, dass δ (E) ei -stabiles System ist. Wir defiiere D 1 = {A δ (E) : A E δ (E) für alle E E} ud zeige, dass D 1 ei Dyki-System ist. Dafür verwede wir die äquivalete Charakterisierug aus Lemma Aus E δ (E) folgt Ω D 1. Sid A, B D 1 mit B A ud E E, so gilt (A \ B) E = (A E) \ (B E) δ (E). Damit ist A \ B D 1. Sei A 1, A 2,... eie aufsteigede Folge vo Elemete aus D 1. Für E E ist da A 1 E, A 2 E,... eie aufsteigede Folge vo Elemete aus δ (E). Es folgt ( A ) E = (A E) δ (E), was A D 1 zeigt. Also ist D 1 ei Dyki-System. Da E ei -stabiles System ist, gilt E D 1 ud weil δ (E) das kleiste Dyki-System mit dieser Eigeschaft ist gilt auch δ (E) D 1. Isbesodere sid Schitte vo Mege aus E ud δ (E) i δ (E) ethalte. Wir defiiere D 2 = {B δ (E) : B A δ (E) für alle A δ (E)}. Nach dem erste Teil des Beweises gilt E D 2. Nu ka ma ählich wie im Fall vo D 1 zeige, dass D 2 ei Dyki-System ist. Damit folgt δ (E) D 2. Isbesodere sid Schitte vo je zwei (ud damit edlich viele) Mege aus δ (E) i δ (E) ethalte. Das zeigt, dass δ (E) ei -stabiles Dyki-System ist. Nach Propositio 1.32 ist δ (E) eie σ-algebra. Also gilt (1.21). 23

24 1.5 Dyki-Systeme Im folgede Satz wede wir Satz 1.36 a, um zu zeige, dass σ-edliche Maße auf σ-algebre eideutig durch ihre Werte auf -stabile Erzeuger der betreffede σ-algebre bestimmt sid. Beachte Sie, dass die Voraussetzug der σ-edlichkeit der Maße auf de Erzeuger auch eie Voraussetzug a die Erzeuger ist. Satz 1.37 (Eideutigkeit vo Maße). Es sei Ω ichtleer ud sei E eie -stabile Familie vo Teilmege vo Ω. Ferer seie µ 1 ud µ 2 zwei Maße auf σ (E) die σ-edlich auf E sid. Stimme µ 1 ud µ 2 auf E überei, so stimme sie auch auf σ (E) überei. Beweis. Für B E mit µ 1 (B) = µ 2 (B) < sei D B = {A σ (E) : µ 1 (A B) = µ 2 (A B)}. Da ist D B ei Dyki-System (Beweis ählich zum Beweis i Beispiel ), das E ethält. Nach Satz 1.36 folgt auch σ (E) = δ (E) D B, d.h. es gilt µ 1 (A B) = µ 2 (A B) für alle A σ (E). Wege σ-edlichkeit auf E gibt es Mege Ω 1, Ω 2,... i E mit Ω = Ω ud µ 1 (Ω ) = µ 2 (Ω ) < für alle. Mit Eischluss-Ausschluss-Formel (siehe Übug 1.15) gilt ( µ a i=1 (Ω i A) ) = µ a (Ω i A) µ a (Ω i Ω j A) + (1.22) 1 i 1 i<j für a = 1, 2, A σ (E) ud alle. Da E ei -stabiles System ist, das Ω i ethält, ethält es die Schitte Ω i Ω j ud alle mögliche edliche Schitte der Ω i ud die µ a Maße dieser Schitte sid edlich. Also stimme die Terme auf der rechte Seite vo (1.22) für a = 1 ud a = 2 überei. Damit stimme für jedes auch die like Seite für a = 1 ud a = 2 überei. Mit ud aufsteigeder Stetigkeit vo Maße folgt µ 1 (A) = µ 2 (A), de es ist i=1 (Ω i A) A für. Korollar Es sei Ω ichtleer ud sei E eie -stabile Familie vo Teilmege vo Ω, sodass Ω eie höchstes abzählbare Vereiigug vo Mege aus E ist. Ferer seie µ 1 ud µ 2 zwei edliche Maße auf σ (E). Stimme µ 1 ud µ 2 auf E überei, so stimme sie auch auf σ (E) überei. Beweis. Nach Voraussetzug ist Ω = Ω für Mege Ω E. Aus µ a (Ω ) µ a (Ω) für a = 1, 2 ud alle folgt die σ-edlichkeit der beide Maße auf E. Also ka Satz 1.37 agewedet werde. 24

25 1.6 Äußere Maße Beispiel Es sei Ω beliebig. Das System E = { } ist -stabil ud es gilt σ (E) = {, Ω}. Alle edliche Maße stimme auf E überei, müsse aber icht auf σ (E) übereistimme. Weil Ω keie (abzählbare) Vereiigug vo Mege aus E ist, ist Korollar 1.38 icht awedbar. Aus demselbe Grud ka kei Maß auf σ (E) auf E σ-edlich sei. Beachte Sie, dass σ-edlichkeit eie gemeisame Eigeschaft des Maßes ud des Megesystems ist. 1.6 Äußere Maße I diesem Abschitt kostruiere wir Fortsetzuge vo Maße auf Algebre bzw. Semirige zu Maße auf de vo ihe erzeugte σ-algebre. Defiitio Es sei Ω. Ei äußeres Maß µ ist eie ichtegative Megefuktio auf P(Ω) mit de folgede Eigeschafte: (i) µ ( ) = 0; (ii) µ ist mooto: A B µ (A) µ (B); (iii) µ ist σ-subadditiv: µ ( A ) µ (A ). Beispiel Es sei E eie Familie vo Teilmege vo Ω mit E. Ferer sei ρ : E [0, + ] eie Megefuktio mit ρ( ) = 0. Für A Ω defiiere wir ρ (A) if { ρ(a ) : A A, A E }. (1.23) Das Ifimum wird also über alle abzählbare Überdeckuge vo A mit Mege aus E geomme. Etspreched der übliche Kovetio, dass Ifimum vo leere Mege uedlich ist, ist ρ (A) = + we es keie solche Überdeckug gibt. Es ist klar, dass ρ ichtegativ ud mooto ist, ud dass ρ ( ) = 0 gilt. Sei A 1, A 2,... eie beliebige Folge vo Teilmege vo Ω. We ρ (A ) = + für ei gilt, da ist ρ ( A ) ρ (A ). Ist ρ (A ) edlich für alle, da ka jedes A mit Mege B k aus E überdeckt werde, so dass k ρ(b k ) < ρ (A ) + ε/2. Da ist A k B k ud es gilt ρ ( A ) ρ(b k ) < ρ (A ) + ε. Also ist ρ ei äußeres Maß. k 25

26 1.6 Äußere Maße Defiitio Es sei µ ei äußeres Maß auf Ω. Eie Mege E Ω heißt µ -meßbar, we für alle F Ω µ (F ) = µ (F E) + µ (F E c ). (1.24) Mit M(µ ) bezeiche wir die Mege aller µ messbare Teilmege vo Ω. Bemerkug Wege der Subadditivität vo µ ist (1.24) äquivalet zu µ (F ) µ (F E) + µ (F E c ). (1.25) Propositio 1.44 (µ -Nullmege sid µ -messbar). Es sei µ ei äußeres Maß auf eier Mege Ω. Jede Mege B Ω mit µ (B) = 0 oder µ (B c ) = 0 ist µ -messbar. Beweis. Übug! Lemma Das Megesystem M(µ ) ist eie Algebra auf Ω. Beweis. Dass Ω M(µ ) ist, ist klar, de für F Ω ist µ (F ) = µ (F ) + µ ( ) = µ (F Ω) + µ (F Ω c ). Abgeschlosseheit bezüglich Komplemetbildug ist auch klar, weil die Messbarkeitsbedigug (1.24) symmetrisch i E ud E c ist. Seie A, B M(µ ) ud F Ω. Da gilt (mit Subadditivität vo µ bei dem Übergag vo zweiter zu dritter Zeile) µ (F ) = µ (F A) + µ (F A c ) = µ (F A B) + µ (F A B c ) + µ (F A c B) + µ (F A c B c ) µ (F A B) + µ ( (F A B c ) (F A c B) (F A c B c ) ) = µ (F A B) + µ (F (A B) c ). Das zeigt A B M(µ ). Damit ist M(µ ) eie Algebra. Lemma Ist A 1, A 2,... eie edliche oder abzählbar uedliche Folge vo paarweise disjukte Mege aus M(µ ), da gilt für jedes F Ω µ ( F ( k A k ) ) = µ (F A k ). (1.26) Isbesodere ist µ σ-additiv auf M(µ ). k 26

27 1.6 Äußere Maße Beweis. Wir betrachte zuächst de edliche Fall vo paarweise disjukte Mege. Für = 1 ist ichts zu zeige. Für = 2 müsse wir zwei Fälle uterscheide. Ist A 1 A 2 = Ω, da ist (1.26) gleichbedeuted mit der Aussage (1.24), wobei A 1 = E ud A 2 = E c (oder umgekehrt). Ist A 1 A 2 eie echte Teilmege vo Ω, da ist µ (F (A 1 A 2 )) = µ (F (A 1 A 2 ) A 1 ) + µ (F (A 1 A 2 ) A c 1 ) = µ (F A 1 ) + µ (F A 2 ), wobei wir für die zweite Gleichug die Disjuktheit vo A 1 ud A 2 ausgeutzt habe. Nehme wir u a, dass (1.26) für 1 gilt. Wie im Fall = 2 erhalte wir mit der Iduktiosvoraussetzug µ ( F ( k=1 A k) ) = µ ( F ( 1 k=1 A k) ) + µ (F A ) = µ (F A k ). Damit ist (1.26) für edliche Folge gezeigt. Der uedliche Fall folgt mit Mootoie. Es gilt ämlich µ ( F ( k=1 A k) ) µ ( F ( k=1 A k) ) = k=1 µ (F A k ). Mit folgt, dass die like Seite vo (1.26) größer oder gleich der rechte ist. Die umgekehrte Ugleichug folgt mit σ-subadditivität vo µ. Die σ-additivität vo µ folgt direkt aus (1.26) mit F = Ω. Satz Ist µ ei äußeres Maß, da ist M(µ ) eie σ-algebra ud die Eischräkug vo µ auf M(µ ) ist ei Maß. Beweis. Zu zeige ist ur, dass M(µ ) eie σ-algebra ist. Dass, µ ei Maß darauf ist, habe wir bereits i Lemma 1.46 gesehe. Seie A 1, A 2,... disjukte Mege aus M(µ ) mit A = k A k. Nach Lemma 1.45 gilt B = k=1 A k M(µ ) ud somit gilt für F Ω k=1 µ (F ) = µ (F B ) + µ (F B) c µ (F A k ) + µ (F A c ). k=1 27

28 1.6 Äußere Maße Hier habe wir (1.26) bei dem erste Term ud Mootoie vo µ bei dem zweite ausgeutzt, de es ist B c A c. Mit ud (1.26) folgt µ (F ) µ (F A k ) + µ (F A c ) = µ (F A) + µ (F A c ). k=1 Damit ist A M(µ ). Also ist M(µ ) abgeschlosse bezüglich Bildug abzählbarer disjukter Vereiiguge, d.h. es ist ei Dyki-System ud eie Algebra. Nach Propositio 1.32 ist M(µ ) eie σ-algebra. Defiitio 1.48 (Semirig). Ei Megesystem A vo Teilmege vo Ω heißt Semirig (oder Halbrig), falls die folgede Eigeschafte erfüllt sid. (i) A; (ii) A, B A A B A; (iii) sid A, B A ud A B, da gibt es paarweise disjukte Mege C 1,...,C aus A, sodass B \ A = k=1 C k. Satz Es sei A ei Semirig auf eier ichtleere Mege Ω ud sei µ eie ichtegative Megefuktio auf A mit µ( ) = 0. Ferer sei µ edlich additiv ud σ-subadditiv. Da gibt es eie Fortsetzug vo µ zu eiem Maß auf die σ-algebra σ (A). Die Beweisidee dieses Satzes ist zu zeige, dass für das zu µ gehörige (vgl. Beispiel 1.41) äußere Maß µ die folgede Aussage gilt A M(µ ). Da ist otwedigerweise auch σ (A) M(µ ), weil M(µ ) eie σ-algebra ist. Im ächste Schritt zeige wir och µ(a) = µ (A) für A A. Da ist µ eie Fortsetzug vo µ auf M(µ ) ud die Eischräkug vo µ auf σ (A) liefert eie Fortsetzug vo µ auf σ (A). Beweis. Es seie A, B A mit A B ud seie C 1,...,C disjukte Mege aus A mit B \ A = k=1 C k. Mit edlicher Additivität folgt µ(b) = µ(a) + µ(c k ). k=1 28

29 1.6 Äußere Maße Also ist µ mooto. Wie i (1.23) defiiere wir das zu µ gehörige äußere Maß µ durch µ (A) if { µ(a ) : A A, A A }. (1.27) Nu zeige wir A M(µ ). Sei also A A. Ist F Ω mit µ (F ) =, da gilt (1.25) ud damit (1.24) trivialerweise (mit E = A dort). We µ (F ) < ist, da ka ma zu jedem ε > 0 Mege A aus A fide mit F A ud µ(a ) < µ (F ) +ε. Da A ei Semirig ist, sid die Mege B = A A i A ethalte ud es gilt A c A = A \ B = m k=1 C k für geeigete disjukte Mege C k A. Es folgt A = B ( m k=1 C k), wobei die Vereiigug disjukt ist. Ferer gilt A F A ( A ) = B ud A c F A c ( A ) = m k=1 C k. Mit Defiitio vo µ ud edlicher Additivität vo µ erhalte wir µ (A F ) + µ (A c F ) µ(b ) + µ( m k=1 C k) m = µ(b ) + µ(c k ) k=1 = µ(a ) < µ (F ) + ε. Mit ε 0 folgt (1.25), was A M(µ ) ud A M(µ ) zeigt. Im ächste Schritt zeige wir, dass µ eie Fortsetzug vo µ ist, d.h. für alle A A gilt µ (A) = µ(a). We A A für Mege A ud A aus A, da gilt erhalte wir mit σ-subadditivität ud Mootoie vo µ µ(a) µ(a A ) µ(a ). 29

30 1.6 Äußere Maße Damit ist µ(a) µ (A) für alle A A. Die Umgekehrte Ugleichug µ(a) µ (A) folgt sofort aus (1.27), weil A A seie eigee Überdeckug ist. Also gilt µ = µ auf A. Da A M(µ ) ud M(µ ) eie σ-algebra ist (siehe Satz 1.47), folgt A σ (A) M(µ ) P(Ω). Die Eischräkug vo µ auf M(µ ) ist ei Maß (wieder Satz 1.47). Also ist auch die Eischräkug vo µ auf σ (A) ei Maß, welcher isbesodere eie Fortsetzug vo µ ist. Als Korollar aus de Sätze 1.49 ud 1.37 erhalte wir das folgede wichtige Resultat. Satz 1.50 (Satz vo Carathéodory). Ei σ-edliches Maß auf eier Algebra A 0 besitzt eie eideutige Fortsetzug zu eiem Maß auf A = σ (A 0 ). Beispiel 1.51 (Lebesgue-Maß auf R). Zusamme mit der leere Mege bildet die Mege der Itervalle der Form (a, b], a, b R, a < b ei Semirig A auf R. Wir defiiere eie Megefuktio λ : A [0, ] durch λ( ) = 0 ud λ((a,b]) = b a, a < b. (1.28) λ((a,b]) gibt also die Läge des Itervalls (a,b] A a. Ma ka sich u überlege, dass λ edlich additiv, σ-subadditiv ud σ-edlich ist (Übug!). Nach Satz 1.49 existiert eie Fortsetzug des Maßes λ auf die vo A erzeugte σ-algebra. Nach Propositio 1.21 ist σ (A) = B(R). Nach Satz 1.37 ist dieser Fortsetzugsmaß auf die Borel-σ-Algebra eideutig. Es heißt Lebsesgue Maß auf R ud wird üblicherweise auch mit λ bezeichet. Beispiel 1.52 (Lebesgue-Maß auf R d ). Wir habe gesehe, dass die Borel-σ- Algebra B(R d ) vo beschräkte Rechtecke A = {x : a i < x i b i, i = 1,...,d} (1.29) erzeugt wird. Ma ka zeige, dass zusamme mit der leere Mege die Mege dieser Rechtecke eie Semirig A bildet. Auf A defiiere wir eie Megefuktio λ d durch λ d ( ) = 0 ud λ d ({x : a i < x i b i, i = 1,...,d}) = d (b i a i ). i=1 30

31 1.6 Äußere Maße Mit Hilfe der Sätze 1.37 ud 1.49 ka ma zeige, dass eie eideutige Fortsetzug vo λ d auf σ (A) = B(R d ) existiert. Die Fortsetzug wird auch mit λ d bezeichet ud heißt das Lebessgue-Maß auf R d. Mit dem Produktmaßsatz werde wir später eie weitere Methode keelere, mit der ma das Lebessgue-Maß auf (R d, B(R d )) kostruiere ka. We A ei Semirig ist, da ist ach Satz 1.37 ei σ-edliches Maß auf σ (A) eideutig durch seie Werte auf A bestimmt. Aus dem Beweis vo Satz 1.49 köe wir ablese wie die Maße vo Mege aus σ (A) durch die Maße vo Mege aus A approximiert werde. Lemma Sid Mege A, A 1,..., A i eiem Semirig A ethalte, da gibt es i A disjukte Mege C 1,...,C m mit A A c 1 Ac = C 1 C m. Beweis. Für = 1 schreibe wir A A c 1 = A \ (A A 1). Da (A A 1 ) A ist folgt die Aussage aus der Defiitio 1.48 des Semirigs. Ageomme, die Aussage gilt für ei. Für + 1 schreibe wir A A c 1... Ac +1 = m j=1 (C j A c +1 ). Auf jedes Elemet i dieser disjukte Vereiigug köe wir u das Argumet aus dem Fall = 1 awede ud erhalte die Aussage für +1. Satz 1.54 (Approximatiossatz). Es sei A ei Semirig, µ ei Maß auf σ (A), das σ-edlich auf A ist. Da gelte die folgede Aussage: (i) Ist A σ (A) ud ε > 0, da gibt eie höchstes abzählbar uedliche Folge A 1, A 2,... paarweise disjukter Mege aus A mit A k A k ud µ(( k A k ) \ A) < ε. (ii) Für A σ (A) mit µ(a) < ud ε > 0 gibt eie edliche Folge A 1,..., A paarweise disjukter Mege aus A mit µ(( k=1 A k) A) < ε. Beweis. Sei µ das zu µ gehörige äußere Maß defiiert i (1.27). Im Beweis vo Satz 1.49 habe wir gesehe, dass σ (A) M(µ ) ist ud dass µ ud µ auf A übereistimme. Nach Satz 1.37 stimme µ ud µ auch auf σ (A) überei. We A σ (A) mit µ(a) = µ (A) < gegebe ist, da gibt es Mege A 1, A 2,... i A mit A k A k ud µ( k A k ) k µ(a k ) < µ(a) + ε, woraus 31

32 1.7 Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe µ(( k A k ) \A) < ε folgt. Um zu erreiche, dass die Folge A 1, A 2,... disjukt ist ersetze wir A k durch A k A c 1 Ac. Nach Lemma 1.53 ka jede solche k 1 Mege als edliche Vereiigug vo disjukte Mege aus A dargestellt werde. Weiteres Umbeee (ud Umummeriere) der A k s liefert die Behauptug (i) im Fall µ(a) = µ (A) <. Sei u A σ (A) mit µ(a) = µ (A) = gegebe. Wege σ-edlichkeit auf A gibt es Mege Ω 1, Ω 2,... i A mit Ω = Ω ud µ(ω ) <. I dem edliche Fall habe wir gesehe, dass für jedes es Mege A 1, A 2,... i A gibt mit A Ω k A k ud µ(( k A k ) \ (A Ω )) < ε/2. Wir köe A 1, A 2,... (wieder durch Umummeriere) aus A so wähle, dass k A k = k A k ist. Da ist A k A k ud es gilt µ(( k A k ) \ A) µ(( k A k ) \ (A Ω )) < ε. Wie zuvor ka ma erreiche, dass die A k disjukt sid. Nu komme wir zu (ii). Sei A σ (A) mit µ(a) < gegebe ud seie die zugehörige A k aus A wie i (i) gewählt. Da gilt auch µ( k=1 A k) <. Mit absteigeder Stetigkeit vo µ folgt µ(( k=1 A k) \ ( k=1 A k)) < ε für ei (geüged großes). Da folgt µ ( ( k=1 A k) A ) = µ ( ( k=1 A k) \ A ) + µ ( A \ ( k=1 A k) ) µ ( ( k A k ) \ A ) + µ ( ( k A k ) \ ( k=1 A k) ) < 2ε. 1.7 Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe Defiitio Ei Lebesgue-Stieltjes Maß auf R ist ei Maß µ auf B(R) mit µ(i ) < für jedes beschräkte Itervall I. I diesem Abschitt werde wir zeige, dass durch die Gleichug µ((a,b]) = F (b) F (a) eie eieideutige Beziehug zwische Lebesgue-Stieltjes Maße µ ud ichtfallede rechtsstetige Fuktioe F : R R besteht, we ma die Fuktioe miteiader idetifiziert, die sich ur durch eie additive Kostate uterscheide. 32

33 1.7 Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe Satz Es sei µ ei Lebesgue-Stieltjes Maß auf R ud sei F : R R eie bis auf eie additive Kostate eideutig defiierte Fuktio Da gilt (i) F ist ichtfalled: a b F (a) F (b); F (b) F (a) = µ((a,b]). (1.30) (ii) F ist rechtsstetig: lim x a+ F (x) = F (a) für alle a R. Beweis. Die Fuktio F ist ichtfalled, de für a b ist F (b) F (a) = µ((a,b]) 0. Ist a R ud x 1 > x 2 >... eie Folge mit x a da gilt (a, x ] ud F (x ) F (a) = µ((a, x ]) 0 ach Propositio Also ist F rechtsstetig. Wie wir scho obe bemerkt habe ist die Fuktio F im obige Satz bis auf eie additive Kostate eideutig bestimmt. Eideutigkeit erreicht ma durch eie Extrabedigug idem ma de Fuktioswert a eier bestimmte Stelle festlegt. Ma ka beispielsweise F (0) fixiere ud da F (x) F (0) = µ((0, x]) für x > 0 ud F (0) F (x) = µ((x, 0]) für x < 0 setze. Mit F (0) = 0 ergibt sich F (x) = µ((0, x]) : x > 0, µ((x, 0]) : x < 0. (1.31) Das Lebesgue-Maß aus Beispiel 1.51 ist atürlich ei Lebesgue-Stieltjes Maß auf R. Die zugehörige Fuktio, wie i (1.31) defiiert, ist F (x) = x. Im Fall vo edliche Maße µ defiiert ma F üblicherweise icht durch (1.31), soder durch F (x) = µ((, x]). (1.32) Da ist lim x F (x) = 0 ud lim x F (x) = µ(r). Defiitio 1.57 (Verteilugsfuktio). We µ ei Wahrscheilichkeitsmaß auf R ist, da heißt die i (1.32) defiierte Fuktio Verteilugsfuktio. Maße auf R werde sehr oft durch die zu ihe mittels (1.30) gehörede Fuktio agegebe, was durch die folgede Umkehrug vo Satz 1.56 gerechtfertigt wird. Aus diesem Grud werde ichtfallede rechtsstetige Fuktioe machmal als maßdefiierede Fuktioe bezeichet. 33

34 1.7 Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe Satz Es sei F : R R eie ichtfallede rechtsstetige Fuktio. Da gibt es ei eideutiges Maß µ auf B(R), das (1.30) erfüllt. Beweis. Die Mege A der halboffee Itervalle (a,b] mit der leere Mege ist ei Semirig. Durch µ((a,b]) = F (b) F (a) wird ei σ-edliches Maß auf A defiiert. Nach Satz 1.37 ist eie Fortsetzug vo µ auf σ (A) = B(R) (sofer sie existiert) eideutig. Für die Existez müsse wir die Voraussetzuge vo Satz 1.49 prüfe. Die Eigeschafte µ 0 ud µ( ) = 0 sid klar. Es bleibt also och die edliche Additivität ud σ-subadditivität vo µ auf A zu zeige. Sid die Itervalle (a 1,b 1 ],..., (a,b ] disjukt ud gilt k=1 (a k,b k ] (a,b], da ist (F (b k ) F (a k )) (F (a 1 ) F (a)) + (F (b 1 ) F (a 1 )) + (F (a 2 ) F (b 1 )) + k=1 + (F (a ) F (b 1 )) + F (b ) F (a ) + (F (b) F (b )) = F (b) F (a). Sid die Itervalle (a 1,b 1 ],..., (a,b ] beliebig ud gilt k=1 (a k,b k ] (a,b], da ist (F (b k ) F (a k )) F (b) F (a). k=1 Diese beide Ugleichuge impliziere die edliche Additivität. Seie (a 1,b 1 ], (a 2,b 2 ],... beliebig ud (a,b] k=1 (a k,b k ]. Sei ε (0,b a). Für k N wähle b k > b k mit F (b k ) F (b k) < ε/2 (dies ist möglich wege der Rechtsstetigkeit vo F). Da gilt [a + ε,b] k=1 (a k,b ). Nach dem Satz k vo Heie-Borel gibt es eie edliche Überdeckug des kompakte Itervalls [a + ε,b] durch offee Itervalle (a k1,b k 1 ),..., (a k,b k ). Es folgt F (b) F (a + ε) = µ((a + ε,b]) µ((a kl,b k l ]) l=1 ( ) µ((akl,b kl ]) + ε/2 k l µ((a k,b k ]) + ε. l=1 k=1 34

35 1.7 Lebesgue-Stieltjes Maße ud Verteilugsfuktioe Mit ε 0 ud Rechtsstetigkeit vo F erhalte wir F (b) F (a) = µ((a,b]) µ((a k,b k ]). Nu folgt mit Satz 1.49 die Existez der Fortsetzug, was de Beweis abschließt. Lebesgue-Stieltjes Maße auf R d sid Maße, die beschräkte Borel-Mege edliches Maß zuweise. Ma ka auch Verteilugsfuktioe (oder allgemeier maßdefiierede Fuktioe) auf R d für d 2 defiiere. Isbesodere beötigt ma eie geeigete Defiitio vo Stetigkeit vo obe (die für d = 1 mit Rechtsstetigkeit übereistimmt) ud Mootoie. Verteilugsfuktioe auf R d für d 2 sid jedoch relativ uhadliche Objekte ud werde deswege icht sehr oft gebraucht. Wir bemerke a dieser Stelle ur, dass es eie Versio vo Satz 1.58 i R d gibt (siehe z.b. Theorem 12.5 i Billigsley (1995)). Wir schließe diese Abschitt mit eiem Resultat über Regularität vo Lebesgue-Stieltjes Maße. Satz Es sei µ ei Lebesgue-Stieltjes Maß auf R d. Da gelte die folgede Aussage: (i) Für jedes A B(R d ) ud ε > 0 gibt es eie abgeschlossee Mege C ud offee Mege G mit C A G ud µ(g \ C) < ε. (ii) Ist µ(a) <, da ist µ(a) = sup{µ(k) : K A, K kompakt}. Beweis. Sei A = {x : a i < x i b i, 1 i d} ei beschräktes Rechteck. Die Mege G = {x : a i < x i < b i + 1, 1 i d} sid offe ud es gilt G A. Da µ(g 1 ) < ist, folgt mit absteigeder Stetigkeit vo µ, dass µ(g \ A) < ε für geüged große ist, d.h. beschräkte Rechtecke köe vo auße durch offee Mege approximiert werde. Sei u A B(R d ) beliebig. Die Mege der beschräkte Rechtecke ist ei Semirig. Nach Satz 1.54(i) gibt es beschräkte Rechtecke A k mit A k A k ud µ(( k A k ) \ A) < ε. Für jedes k wähle u offee Mege G k mit A k G k ud µ(g k \ A k ) < ε/2 k. Da ist G = k G k offe ud es gilt µ(g \ A) < 2ε. Also köe alle Borel-messbare Mege vo auße durch offee Mege approximiert werde. k=1 35

36 1.8 Messbare Fuktioe ud Abbilduge Um zu sehe, dass Borel-messbare Mege vo ie durch abgeschlossee Mege approximiert werde köe, geht ma zu Komplemete über. Ist A Borel-messbar, da gibt es eie offee Mege G mit A c G ud µ(g\a c ) = µ(g A) = µ(a\g c ) < ϵ. Die MegeC = G c ist eie abgeschlossee Teilmege vo A. Das schließt de Beweis vo (i) ab. Die Aussage (ii) folgt aus (i). Aus µ(a) < folgt zuächst, dass es eie beschräkte Teilmege A 0 vo A gibt mit µ(a \ A 0 ) < ε. Mit (i) folgt da µ(a 0 \ K) < ε für eie abgeschlossee ud somit kompakte Teilmege vo A Messbare Fuktioe ud Abbilduge I diesem Abschitt beschäftige wir us mit Abbilduge zwische Maßräume. Für f : Ω 1 Ω 2 ud A Ω 2 ist das Urbild vo A uter der Abbildug f defiiert durch f 1 (A) { ω Ω : f (ω) A }. (1.33) Folgede Eigeschafte vo Urbilder sid leicht achzureche: f 1 (A c ) = (f 1 (A)) c, f 1 ( A ) = f 1 (A), f 1 ( A ) = f 1 (A ). (1.34) Defiitio 1.60 (Messbare Abbilduge). Es seie (Ω 1, A 1 ) ud (Ω 2, A 2 ) messbare Räume. (i) Eie Abbildug f : Ω 1 Ω 2 heißt A 1 -A 2 messbar (oder kurz messbar), we f 1 (A 2 ) A 1 ist, d.h. we f 1 (A) A 1 für alle A A 2. Wir schreibe da auch f : (Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ). (ii) Im Fall (Ω 2, A 2 ) = (R d, B(R d )), d 1 ee wir eie A 1 -B(R d ) messbare Abbildug f Borel-messbar. (iii) I wahrscheilichkeitstheoretischem Kotext ee wir eie Borelmessbare Abbildug Zufallsvariable, we d = 1 ist, ud Zufallsvektor, we d 2 ist. Bemerkug Nach Übug 1.7 ist f 1 (A 2 ) eie σ-algebra über Ω 1. Dies ist die kleiste σ-algebra, bezüglich der die Abbildug f f 1 (A 2 )-A 2 messbar ist. Ist also f eie A 1 -A 2 messbare Abbildug, da folgt f 1 (A 2 ) A 1. 36

37 1.8 Messbare Fuktioe ud Abbilduge Beispiel (i) Ist A 1 = P(Ω 1 ) oder A 2 = {, Ω 2 } da ist jede Abbildug vo Ω 1 ach Ω 2 messbar. (ii) Eie Idikatorfuktio 1 A für ei A Ω 1 ist geau da eie messbare Abbildug vo (Ω 1, A 1 ) ach ({0, 1}, P({0, 1})), we A A 1 ist. (iii) Eie Abbildug f mit eier edliche Bildmege {ω 1,..., ω m } ist geau da messbar, we f 1 ({ω i }) A 1 für alle i = 1,...,m ist. Satz Es seie (Ω 1, A 1 ), (Ω 2, A 2 ) ud (Ω 3, A 3 ) messbare Räume, f : Ω 1 Ω 2 ud д : Ω 2 Ω 3. Da gilt (i) Ist f 1 (A) A 1 für alle A E ud gilt σ (E) = A 2, da ist f A 1 -A 2 messbar. (ii) Ist f A 1 -A 2 messbar ud ist д A 2 -A 3 messbar, da ist д f A 1 -A 3 messbar. Beweis. Übug! Beispiel Sid (Ω 1,τ 1 ) ud (Ω 2,τ 2 ) topologische Räume ud B(τ i ) die zugehörige Borel-σ-Algebre, da gilt: Ist f : Ω 1 Ω 2 stetig, so auch B(τ 1 )-B(τ 2 ) messbar. (Beweis mit (i) ud E = τ 2.) Für Abbilduge f : Ω R d gehe wir, we ichts aderes gesagt wird, stets davo aus, dass B(R d ) die σ-algebra ist, mit der R d ausgestattet ist. Im Folgede ee wir reellwertige A-B(R) messbare Fuktioe A-messbar, oder eifach messbar, we klar ist was A ist. Bemerkug Sei (Ω, A) ei messbarer Raum ud f : Ω R. Da ist f geau da A messbar, we f 1 ((, x]) A für alle x R (oder alle x Q). (Beweis mit (i) ud E = die Mege der halboffee Itervalle.) Ist f = (f 1,..., f d ) : Ω R d, da gilt mit derselbe Begrüdug: f ist geau da A messbar, we für jedes x = (x 1,..., x d ) die Mege { } d { } ω : f1 (ω) x 1,..., f d (ω) x d = ω : fk (ω) x k k=1 (1.35) i A liegt. Diese Bedigug gilt wiederum, we jede Fuktio f k messbar bezüglich A ist. Adererseits, we wir x k = x festhalte ud alle adere 37