25. Extremwertberechnung und Taylor-Entwicklung

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1 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug Im letzte Kapitel habe wir gesehe, wie ma für Abbilduge zwische mehrdimesioale Räume das Kozept der Differezierbarkeit defiiere ud für differezierbare Abbilduge die Ableitug bereche ka. Wie im eidimesioale Fall ist die wichtigste Awedug dieser Theorie, dass ma mit ihr lokale Extremwerte vo Fuktioe bereche ka. Wir wolle i diesem Kapitel utersuche, wie dies im Mehrdimesioale fuktioiert. Um vo Extremwerte überhaupt spreche zu köe, müsse wir atürlich Fuktioswerte miteiader vergleiche köe was ur geht, we die Wertemege der betrachtete Fuktioe die Mege R der reelle Zahle ist. Mehrdimesioal bedeutet im Zusammehag mit Extremwerte also ur, dass die Defiitiosmege userer Abbilduge eie Teilmege vo R ist. Hier ist zuächst eimal die exakte Defiitio vo Extrema, die im Prizip geauso ist wie im Eidimesioale i Defiitio Defiitio 25.1 Extrema. Es seie D R, f : D R eie Fuktio ud a D. Ma sagt,... a f habe i a ei globales Maximum, we f a f x für alle x D. b f habe i a ei lokales Maximum, we es eie Umgebug U vo a gibt mit f a f x für alle x U. Gilt sogar f a > f x für alle x U mit x a, so et ma das lokale Maximum isoliert. Aalog defiiert ma globale ud lokale isolierte Miima. Hat f i a ei globales, lokales, isoliertes Maximum oder Miimum, so sagt ma auch, dass f dort ei globales, lokales, isoliertes Extremum hat. Wie im Eidimesioale siehe Lemma 9.19 liefert die Ableitug eier Fuktio ei eifaches otwediges Kriterium für ei lokales Extremum, das icht auf dem Rad der Defiitiosmege liegt: Lemma 25.2 Notwedige Bedigug für Extrema. Es seie D R ud f : D R eie Abbildug. Hat f da i eiem Pukt a D im Iere der Defiitiosmege ei lokales Extremum ud ist f dort differezierbar, so sid alle Richtugsableituge vo f i a gleich. Isbesodere ist da also auch f a = bzw. grad f a =. Beweis. Es sei v R \{}. Da a im Iere vo D liegt, ist die reellwertige Fuktio g : t f a+tv eier reelle Variable t i eier Umgebug vo defiiert, ud hat dort atürlich ebefalls ei lokales Extremum. Nach Lemma 9.19 ist also = g f a +tv f a = lim = v f a, t t d. h. alle Richtugsableituge vo f sid i a gleich. Damit ist atürlich auch f a = 1 f a f a =. Beispiel Wir wolle die lokale Extrema der Fuktio f : R 2 R, f x = x 1 + x e x2 1 fide. Nach Bemerkug ist f differezierbar mit f x = 2x 1 + x 2 + 2x 1 e x2 1,2x 1 + x 2. Ei otwediges Kriterium für ei lokales Extremum am Pukt x R 2 ist also 2x 1 + x 2 + 2x 1 e x2 1 = ud 2x 1 + x 2 =,

2 33 Adreas Gathma was offesichtlich ur für x 1 = x 2 =, also im Nullpukt erfüllt ist. I der Tat ka ma i diesem Fall eifach sehe, dass im Nullpukt ei sogar globales Miimum vorliegt, de für alle x R 2 ist ja f x = x 1 + x e x = 1 = f. Aufgabe Es seie A Mat,R eie symmetrische reelle Matrix ud f : R \{} R, f x = xt Ax x 2. 2 Zeige, dass f ei Maximum ud Miimum aimmt, ud dass alle Vektore, a dee Maximum ud Miimum ageomme werde, Eigevektore vo A sid. Köt ihr diese Aussage für de Fall eier positiv defiite Matrix auch geometrisch iterpretiere? Bemerkug Bis hierher fuktioiert also alles wie im Eidimesioale. Es stelle sich u atürlich sofort die folgede Frage: a Wie ka ma vo eiem Pukt a D mit f a = möglichst eifach überprüfe, ob dort wirklich ei lokales Extremum vorliegt, d. h. was für hireichede Kriterie für lokale Extrema gibt es? b Wie ka ma Extrema am Rad der Defiitiosmege D fide, we D icht offe ist? Betrachte wir z. B. die Fuktio f aus Beispiel 25.3 auf dem abgeschlossee Eiheitskreis K 1 = {x R 2 : x 2 1}, so muss f dort ach Folgerug 23.2 irgedwo ei Maximum aehme ud da wir außer dem Miimum bei keie weitere Stelle gefude habe, a dee die Ableitug vo f verschwidet, muss dieses Maximum auf dem Rad des Eiheitskreises liege. Im Gegesatz zum Eidimesioale besteht dieser Rad jetzt aber icht mehr ur aus zwei Pukte, soder aus eiem i diesem Fall selbst eidimesioale Objekt, ämlich der Eiheitskreisliie. Wir köe also icht mehr eifach alle Radpukte i f eisetze, um das Maximum zu fide, soder brauche ei geschickteres Verfahre, um Radextrema zu fide. Wir wolle us u mit der erste dieser Frage beschäftige ud verschiebe die Behadlug vo Radextrema auf das ächste Kapitel siehe Satz Wie ka ma also hireichede Kriterie für lokale Extrema fide? Aus dem Eidimesioale erwarte wir, dass wir hierzu wie i Satz 1.19 höhere Ableituge betrachte müsse. Was aber wolle wir im mehrdimesioale Fall überhaupt uter höhere Ableituge verstehe? Es gibt hierfür zwei gaz uterschiedliche Heragehesweise: Bemerkug 25.6 Höhere Ableituge. Es seie D R offe ud f : D R m eie Fuktio. a Ist f differezierbar, so ist die Ableitug vo f ach de Bemerkuge 24.4 c ud 24.6 eie Fuktio f : D HomR,R m = Matm,K, also selbst wieder eie Fuktio zwische offee Teilmege vo ormierte Räume für die wir ja defiiert habe, was Differezierbarkeit bedeutet. Es liegt also eigetlich ichts äher als zu sage, dass f zweimal differezierbar heißt, we f selbst wieder differezierbar ist, ud f da als die Ableitug vo f zu defiiere. Da f eie Abbildug vo D R ach HomR,R m ist, ist f ach Bemerkug 24.6 da eie Abbildug f : D HomR,HomR,R m. Dies ka ma atürlich fortsetze, ud erhält im Fall der Existez z. B. als dritte Ableitug vo f eie Abbildug f : D HomR,HomR,HomR,R m. Auch we dies eigetlich die atürlichste Art der Defiitio höherer Ableituge im mehrdimesioale Fall ist, sollte hieraus scho ersichtlich sei, dass es sich dabei allei scho vo der Notatio her icht ubedigt um die bequemste Art hadelt. Wir werde im Folgede daher eie adere Asatz verfolge:

3 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug 331 b Da die Kompoetefuktioe der Ableitugsmatrix vo f gerade die partielle Ableituge sid, köe wir zur Betrachtug k-facher Ableituge auch eifach mehrfache partielle Ableituge der Form i1 ik f betrachte. Diese habe im Gegesatz zum Asatz aus a de große Vorteil, im Fall ihrer Existez selbst wieder Fuktioe vo D ach R m zu sei ihr Nachteil besteht lediglich dari, dass es icht ur eie, soder k solcher k-fache partielle Ableituge gibt, da wir bei jeder der k Differetiatioe wieder eie der Variable auswähle müsse. Ma ka allerdigs zumidest hoffe, dass es bei derartige mehrfache partielle Ableituge icht auf die Reihefolge der Ableituge akommt. Der folgede Satz besagt, dass dies i viele Fälle auch wirklich so ist. Satz 25.7 Satz vo Schwarz: Vertauschbarkeit partieller Ableituge. Es seie D R offe ud f : D R m eie Abbildug. Wir ehme a, dass alle zweifache partielle Ableituge i j f für i, j = 1,..., auf D existiere ud i eiem Pukt a D stetig sid. Da gilt i j f a = j i f a für alle i, j = 1,...,. Beweis. Wir köe ohe Eischräkug m = 1 aehme, da ma sost jede Kompoetefuktio vo f eizel betrachte ka. Weiterhi köe wir atürlich i j voraussetze ud alle Variable außer x i ud x j als kostate Parameter betrachte. Nach Umbeeug der Variable köe wir us daher auf de Fall = 2, i = 1 ud j = 2 beschräke. Da D offe ist, köe wir eie Kugel U um a i der Maximumsorm wähle, die och gaz i D liegt. Für ei x U mit x 1 a 1 ud x 2 a 2 betrachte wir u de doppelte Differezequotiete x1 a1 x1 a1 f f f + f x 2 x 2 a 2 a 2 Qx :=, x 1 a 1 x 2 a 2 der sich aus de Fuktioswerte vo f a de vier Eckpukte des Rechtecks wie im Bild rechts ergibt. Wir wolle zeige, dass Qx für x a sowohl gege 1 2 f a als auch gege 2 1 f a kovergiert. a = a1 x 2 a1 a 2 c U x1 x 2 x1 a 2 = x Dazu wede wir zuächst de Mittelwertsatz 9.22 a auf die zwische a 2 ud x 2 defiierte reellwertige Fuktio x1 a1 g : t f f t t a ud erhalte ei c 2 zwische a 2 ud x 2 mit gx 2 ga 2 = g c 2 x 2 a 2 = 2 f x1 c 2 2 f a1 c 2 x 2 a 2, also mit x1 a1 Qx = gx 2 f 2 ga 2 x 1 a 1 x 2 a 2 = c 2 f 2 c 2. x 1 a 1 Nu wede wir de Mittelwertsatz ereut auf die zwische a 1 ud x 1 defiierte Fuktio t h : t 2 f a ud erhalte so ei c 1 zwische a 1 ud x 1 mit d. h. mit c 2 hx 1 ha 1 = h c 1 x 1 a 1 = 1 2 f Qx = hx 1 ha 1 x 1 a 1 c1 c 2 = 1 2 f c x 1 a 1, 64

4 332 Adreas Gathma für ei c U wie im Bild obe rechts, desse Koordiate zwische a 1 ud x 1 bzw. a 2 ud x 2 liege. Wähle u eie beliebige Folge x k k N, die gege a kovergiert ud dere Glieder icht auf der horizotale oder vertikale Gerade durch a liege. Mit x k a kovergiert da atürlich auch die Folge der obe gefudee zugehörige Pukte c k gege a, ud so erhalte wir wege der vorausgesetzte Stetigkeit vo 1 2 f i a ach dem Folgekriterium aus Satz 23.4 lim k Qxk = lim 1 2 f c k = 1 2 f a. k Nu ist der Ausdruck Qx aber symmetrisch i de beide Koordiate des Startraums, ud daher ergibt sich mit geau dem gleiche Argumet ur idem ma de Mittelwertsatz zuerst auf die erste ud da auf die zweite Koordiate awedet auch lim k Qx k = 2 1 f a. Die Behauptug folgt damit aus der Eideutigkeit des Grezwerts. Die Vertauschbarkeit partieller Ableituge ist also gewährleistet, we die partielle Ableituge existiere ud stetig sid. Dass ma auf diese Zusatzforderug der Stetigkeit leider icht verzichte ka, zeigt die folgede Aufgabe: Aufgabe 25.8 Partielle Ableituge müsse icht miteiader vertausche. Zeige, dass die partielle Ableituge 1 2 f ud 2 1 f der Fuktio x f : R 2 1 x 1 x 2 x2 2 2 für x R, x x1 2 1,x 2,, +x2 2 für x 1,x 2 =, zwar existiere, aber icht übereistimme. Um die Probleme solcher icht miteiader vertauschbare Ableituge zu umgehe, wolle wir us daher ab jetzt auf Abbilduge beschräke, dere partielle Ableituge icht ur existiere, soder auch stetig sid. Defiitio 25.9 Mehrfach stetig differezierbare Fuktioe. Es seie D R offe ud f : D R m eie Abbildug. Für r sagt ma, f sei r-mal stetig differezierbar oder r-mal stetig partiell differezierbar, we alle r-fache partielle Ableituge i1 ir f für i 1,...,i r {1,...,} auf D existiere ud stetig sid. Ma schreibt diese Ableituge auch als r f x i1 x ir bzw. bei mehrfache Ableituge ach derselbe Variable i Potezschreibweise, d. h. z. B. als 2 1 f für die zweifache partielle Ableitug ach x 1. Bemerkug oder a I Bemerkug hatte wir bereits gesehe, dass im Fall r = 1 die Begriffe eimal stetig differezierbar ud eimal stetig partiell differezierbar zusammefalle, we ma sie auf die atürliche Art defiiert. Ma ka zeige, dass dieselbe Aussage auch für höhere Ableituge gilt, we ma r-mal stetig differezierbar als Stetigkeit der r-te Ableitug wie i Bemerkug 25.6 a ud r-mal stetig partiell differezierbar wie i Defiitio 25.9 iterpretiert. Da wir mit de höhere Ableituge wie i Bemerkug 25.6 a hier icht arbeite werde, wolle wir dies hier allerdigs icht beweise, ud erwähe diese Tatsache ur als Motivatio dafür, dass wir die Begriffe r-mal stetig differezierbar ud r-mal stetig partiell differezierbar obe als gleichwertig defiiert habe. b Ist f eie r-mal stetig differezierbare Fuktio wie i Defiitio 25.9, so sid icht ur die partielle Ableituge der Stufe r, soder auch die aller Stufe k r stetig: da die partielle Ableituge i1 ir f ach Voraussetzug stetig sid, sid die r 1-fache partielle Ableituge i2 ir f stetig partiell differezierbar, ach Satz ud Lemma 2 f x 2 1

5 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug also auch total differezierbar ud damit stetig. Mit Iduktio sid demach da auch alle iedrigere partielle Ableituge stetig. c Nach Satz 25.7 kommt es bei bis zu r-fache partielle Ableituge eier r-fach stetig differezierbare Fuktio icht auf die Reihefolge dieser Ableituge a, da ma i eiem Ausdruck der Form i1 ik f mit k r durch fortgesetztes Vertausche zweier beachbarter partieller Ableituge jede adere Reihefolge erzeuge ka. Aufgabe Es sei f die i eier Umgebug des Ursprugs vo R 2 defiierte reellwertige Fuktio mit f x = cosx5 1 + x5 2 1 x1 3. x3 2 Bereche mit eier geeigete Potezreiheetwicklug ud ohe Computer die partielle Ableitug f. Die Hauptawedug der höhere Ableituge, aus der da die meiste adere folge, war im Eidimesioale die Taylor-Formel aus Satz Auch für Fuktioe i mehrere Variable wolle wir daher u eie solche Taylor-Formel herleite. Dazu schaue wir us zuächst eimal a, wie eie solche Formel aussehe sollte. Bemerkug Idee der mehrdimesioale Taylor-Etwicklug. Es seie f : R R eie uedlich oft partiell differezierbare Fuktio ud a R ei vorgegebeer Etwicklugspukt. Betrachte wir f zuächst eimal ur als Fuktio i der erste Variable x 1 ud sehe die adere Variable als fest a, ud ehme wir ferer der Eifachheit halber a, dass die zugehörige eidimesioale Taylor-Reihe gege f kovergiert, so habe wir ach Defiitio 1.11 b bzw. Satz 1.14 eie Darstellug f x 1 = i 1 = 1 f a 1 x 1 a 1 i 1, i 1! wobei wir hier de Summatiosidex mit i 1 bezeichet habe ud die Ableituge vo f die partielle Ableituge ach der erste Variable sid. I dieser Formel habe wir die Abhägigkeit vo de übrige Variable erst gar icht mit higeschriebe betrachte wir u aber z. B. auch och die zweite Variable, so hägt die gesamte obige Etwicklug ud damit auch 1 f a 1 atürlich vo x 2 ab, ud wir sollte die Formel besser als f x 1,x 2 = i 1 = 1 f a 1,x 2 x 1 a 1 i 1, 1 i 1! schreibe. Wolle wir u die Auswertug der Ableituge auch i der zweite Variable ur a eiem feste Pukt vorehme, sollte wir daher die partielle Ableituge 1 f a 1,x 2 ebefalls durch ihre Taylor-Reihe 1 f a 1,x 2 = i 2 = i f a 1,a 2 x 2 a 2 i 2 i 2! i der zweite Variable ersetze wiederum uter der Voraussetzug, dass diese Reihe gege die etsprechede Fuktioe kovergiere. Setze wir dies i 1 ei, so erhalte wir die zweidimesioale Taylor-Etwicklug f x 1,x 2 = i 1,i 2 = 1 i 2 2 f a 1,a 2 x 1 a 1 i 1 x 2 a 2 i 2. i 1!i 2! Verfahre wir schließlich geauso mit de adere Variable, ergibt sich f x = i 1,...,i = 1 i f a i 1! i! x 1 a 1 i1 x a i. 2 Bevor wir mit Ausdrücke dieser Form weiter reche, sollte wir allerdigs erst die Notatioe dabei och etwas vereifache.

6 334 Adreas Gathma Notatio Multi-Idizes. Ei Elemet I = i 1,...,i i N et ma eie Multi-Idex. Für derartige Multi-Idizes defiiere wir die suggestive Notatioe I := i i, I! := i 1! i!, I := 1 i, x I := x i 1 1 x i für x R, ud köe die Formel 2 aus Bemerkug damit auch kurz als f x = I f a x a I I N I! schreibe womit sie vo der Schreibweise her wieder fast die eifache Form wie im Eidimesioale i Defiitio 1.11 b hat. Mit dieser Vorarbeit köe wir u zur exakte Utersuchug der mehrdimesioale Taylor- Etwicklug komme, ud begie dazu mit der u wohl icht mehr uerwartete Defiitio der Taylor-Polyome. Defiitio Taylor-Polyom. Es seie D R offe, r N, f : D R m eie r-mal stetig differezierbare Fuktio, ud a D. Da heißt T r f,a : D Rm, x I: I r das r-te Taylor-Polyom vo f mit Etwicklugspukt a. Beispiel Wir betrachte die Fuktio I f a x a I I! f : R 2 R, x x 1 six 2 ud wolle dazu das zweite Taylor-Polyom mit Etwicklugspukt a = bereche. Dazu beötige wir die erste ud zweite partielle Ableituge a der Stelle a = also 1 f x = six 2, 2 f x = x 1 cosx 2 ud 2 1 f x =, 1 2 f x = cosx 2, 2 2 f x = x 1 six 2, f = 1 f a = 2 f a = 2 1 f a = 2 2 f a = ud 1 2 f a = 1. Das gesuchte Taylor-Polyom ist damit T 2 f,x = i 1 +i 2 2 = f }{{} = = x 1 x 2. 1 i 2 2 f i 1!i 2! f 1! }{{} = x i 1 1 x i 2 2 x f 1! }{{} = x f 2! }{{} = x f 1!1! } {{ } =1 x 1 1x f 2! }{{} = Das etscheidede Resultat über Taylor-Polyome ist u, dass Tf r,a wie im Eidimesioale als beste Näherug der Fuktio f im Pukt a durch ei Polyom vom Grad r agesehe werde ka. Präzise ausgedrückt ist die Differez f x Tf r,ax wie i Satz 1.14 ei i der Regel kleies Restglied, das geauso aussieht wie der ächste Term der Ordug r + 1 der Taylor-Etwicklug, allerdigs mit der Ableitug a eier Zwischestelle berechet statt am Etwicklugspukt. Aus Grüde, die i Bemerkug ersichtlich werde, betrachte wir zuächst de Fall vo Fuktioe mit Wertemege R statt R m. x 2 2

7 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug 335 Satz Taylor-Formel. Es seie D R offe, r N ud f : D R eie r + 1-mal stetig differezierbare Fuktio. Ferer seie a,x D, so dass die gesamte Verbidugsstrecke ax := {a +t x a : t [,1]} vo a ach x i D liegt. Da gibt es eie Pukt c ax auf dieser Strecke, so dass f x T r f,ax = I: I =r+1 I f c x a I. I! a D c x Ma bezeichet diese Ausdruck auch als das Restglied der Taylor-Etwicklug. 65 Beweis. Wir betrachte die Fuktio g : [,1] R, t f a + t x a, die die Eischräkug vo f auf ax beschreibt, ud wolle zeige, dass die eidimesioale Taylor-Formel aus Satz 1.14 agewedet auf g exakt die Behauptug useres Satzes ist. Dazu müsse wir offesichtlich die höhere Ableituge vo g bereche: wir behaupte, dass für alle k =,...,r ud t [,1] g k t = k! I: I =k I f a +t x a x a I I! gilt, ud zeige dies mit Iduktio über k. Der Iduktiosafag für k =, also g t = gt = f a+t x a, ist dabei trivial. Wir ehme u a, dass diese Formel für ei k {,...,r 1} gilt, ud müsse diese Ausdruck ereut ach t differeziere, um g k+1 zu bereche. Dazu bemerke wir zuächst, dass die Ableitug der Fuktio t I f a +t x a ach der Ketteregel aus Satz das Matrixprodukt der Ableituge vo I f ud t a +t x a ist, also gleich j=1 j I f a +t x a x j a j. Setze wir dies i die obige Formel ei ud schreibe de Multi-Idex aus, so erhalte wir g k+1 t = k! = k! j=1 i 1 + +i =k j=1 1 i j+1 j i 1 + +i =k+1 i j > = k! i 1 + +i =k+1 = k + 1! I: I =k+1 1 i i j j:i j > }{{} =k+1 i f a +t x a i 1! i! x 1 a 1 i1 x j a j i j+1 x a i f a +t x a x 1 a 1 i1 x a i i 1! i j 1! i! 1 i I f a +t x a x a I, I! Idexverschiebug i j i j 1 f a +t x a x 1 a 1 i1 x a i i 1! i! Erweiter mit i j was die behauptete Formel zeigt. Setze wir dies u i die eidimesioale Taylor-Formel g1 Tg,1 r = g1 r k= g k k! = gk+1 t k + 1! für ei t,1 aus Satz 1.14 ei, so erhalte wir mit c := a +t x a offesichtlich geau Tf r,a x = T g, r 1 ud damit die Aussage des Satzes.

8 336 Adreas Gathma Im Folgede wolle wir u die besoders wichtige Fälle r = ud r = 1 i Satz utersuche. Für r = ergibt sich eifach die mehrdimesioale Etsprechug des Mittelwertsatzes 9.22 a: Folgerug Mittelwertsatz. Es seie D R offe ud f : D R eie stetig differezierbare Fuktio. Ferer seie a,x D zwei Pukte mit ax D. Da gibt es eie Zwischestelle c ax mit f x f a = f c x a. Beweis. Dies folgt umittelbar aus Satz für r =, de i diesem Fall ist Tf,a = f a, ud das Restglied gleich I: I =1 I f c I! x a I = i=1 i f cx i a i = f c x a, da die Multi-Idizes i der Summe geau die vo der Form I =,...,,1,,..., mit eier 1 a der i-te Stelle für i = 1,..., sid. Bemerkug Bereits am Mittelwertsatz, also dem Spezialfall der Taylor-Formel für r =, sieht ma gut, dass dabei die Voraussetzug eier Fuktio mit ur eidimesioaler Wertemege R wesetlich ist: ist f : D R m mit D R eie stetig differezierbare Abbildug mit Kompoetefuktioe f 1,..., f m ud sid a,x D wie obe, so köe wir zwar durch Awedug des gerade gezeigte Mittelwertsatzes auf f 1,..., f m Pukte c 1,...,c m ax mit f i x f i a = f i c i x a fide da die Kompoetefuktioe f 1,..., f m ichts miteiader zu tu habe müsse, werde diese Pukte aber im Allgemeie verschiede sei, so dass wir icht erwarte köe, ei gemeisames c ax mit f x f a = f cx a zu fide. Gaz explizit ka ma dies z. B. a der Abbildug f : R R 2 cosx, x mit Ableitug f x = six six cosx sehe: für a = ud x = 2π ist f x f a =, aber es gibt offesichtlich kei c [,2π] mit = f c 2π. Der Mittelwertsatz ud allgemeier die Taylor-Formel aus Satz gilt also ur für Fuktioe ach R bzw. bei Fuktioe ach R m ur für die Kompoetefuktioe eizel. Für mehrdimesioale Wertebereiche köe wir lediglich wie folgt eie dem Mittelwertsatz ähliche Abschätzug agebe, die wir später och mehrfach beötige werde. Folgerug Es seie D R offe ud f : D R m eie stetig differezierbare Fuktio mit Kompoetefuktioe f 1,..., f m. Sid a,x D zwei Pukte mit ax D, so gilt wobei wir f x f a f ax x a, f ax := max{ j f i c : i {1,...,}, j {1,...,m},c ax} als die Maximumsorm vo f auf ax gesetzt habe, also als de größte Betrag eies Eitrags eier der Ableitugsmatrize f c für c ax. Beweis. Beachte zuächst, dass das agegebee Maximum existiert, da die ach Voraussetzug stetige Fuktioe j f i auf der kompakte Mege ax gemäß Folgerug 23.2 ei Maximum aehme.

9 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug 337 Nach dem Mittelwertsatz aus Folgerug gibt es u für alle i = 1,...,m eie Pukt c i ax mit f i x f i a = f i c i x a, also isbesodere mit f i x f i a = j f i c i x j a j j f i c i x j a j f j=1 ax x a j=1 = f ax x a. Mit der Defiitio der Maximumsorm auf R m folgt daraus die behauptete Aussage. Als Nächstes betrachte wir u de für Extremwertberechuge wichtige Fall r = 1 i der Taylor-Formel aus Satz Dazu beötige wir zur Vereifachug der Notatio zuächst och eie Defiitio. Defiitio 25.2 Hesse-Matrix. Es seie D K offe ud f : D R eie zweimal stetig differezierbare Fuktio. Da heißt für a D die ach Satz 25.7 symmetrische Matrix der zweite partielle Ableituge H f a := i j f a i, j Mat,R die Hesse-Matrix vo f i a. Folgerug Taylor-Formel i Grad 1. Es seie D R offe ud f : D R eie zweimal stetig differezierbare Fuktio. Ferer seie a,x D zwei Pukte mit ax D. Da gibt es eie Zwischestelle c ax mit j=1 f x f a f a x a = 1 2 x at H f c x a. Beweis. Setze wir r = 1 i der Taylor-Formel aus Satz ei, so ist die like Seite mit derselbe Rechug wie i Folgerug gleich f x T 1 f,ax = f x f a I: I =1 I f a x a I = f x f a f a x a. I! Auf der rechte Seite dagege muss über alle Multi-Idizes I mit I = 2 summiert werde. Hiervo gibt es zwei Type: diejeige der Form I =,...,,1,,...,,1,,..., mit de Eise a Positio i ud j, die de Beitrag i< j i j f c x i a i x j a j = 1 1! 1! 2 i j liefer, ud diejeige der Form I =,...,,2,,..., mit Beitrag i=1 2 i f c x i a i 2. 2! i j f c x i a i x j a j 1! 1! Die Summe dieser beide Beiträge lässt sich u offesichtlich schreibe als 1 2 i, j=1 was die Behauptug zeigt. i j f c x i a i x j a j = 1 2 x at H f c x a, Aus dieser Formel erhalte wir u aalog zum eidimesioale Fall i Satz 1.19 ei hireichedes Kriterium für lokale Extremwerte. Wir hatte ja i Lemma 25.2 bereits gesehe, dass a eiem lokale Extremum die Ableitug der betrachtete Fuktio otwedigerweise gleich Null sei muss. Die Hesse-Matrix der zweite partielle Ableituge gibt u i viele Fälle Auskuft darüber, ob wirklich ei Extremum vorliegt ud ob es sich dabei um ei Maximum oder Miimum hadelt ud zwar abhägig davo, ob sie gemäß Defiitio 2.1 b, Bemerkug 2.11 b ud Folgerug positiv defiit, egativ defiit oder idefiit ist.

10 338 Adreas Gathma Satz Extremwertkriterium. Es seie D R offe ud f : D R eie zweimal stetig differezierbare Fuktio. Ferer sei a D ei Pukt mit f a = wie im Eidimesioale ee wir ei solches a eie kritische Pukt vo f. Ist da die Hesse-Matrix H f a... a... positiv defiit, so hat f i a ei isoliertes lokales Miimum. b... egativ defiit, so hat f i a ei isoliertes lokales Maximum. c... idefiit, so hat f i a kei lokales Extremum. Beweis. a Nach dem Hurwitz-Kriterium aus Satz 2.36 ist die Hesse-Matrix H f x für ei x D geau da positiv defiit, we det i j f x i, j=1,...,k > für alle k = 1,...,. Da f ach Voraussetzug zweimal stetig differezierbar ist, sid diese Determiate u stetige Fuktioe i x, ud damit ist die Mege { } U := {x D : H f x ist positiv defiit} = x D : det i j f x i, j=1,...,k > ach Lemma a ud Beispiel als edlicher Durchschitt offeer Mege offe. Wege a U köe wir also eie offee Kugel U ε a U fide. Für x U ε a ist da die Verbidugsstrecke ax atürlich ebefalls gaz i U ε a, so dass der Pukt c i der Taylor-Formel k=1 f x f a f a x a = 1 2 x at H f c x a aus Folgerug i U ε a ud damit auch i U liege muss. Die Hesse-Matrix H f c ist also positiv defiit, ud so sehe wir wege f a =, dass f x f a > für alle x U ε a mit x a gilt. Also hat f i a ei isoliertes lokales Miimum. b folgt geauso wie a, idem wir die Bediguge a U gemäß Folgerug a so abäder, dass sie der egative Defiitheit etspreche. c Da H f a idefiit ist, gibt es ach Folgerug b eie Eigevektor v vo H f a zu eiem positive Eigewert λ, so dass also isbesodere v T H f a v = v T λv = λ v 2 2 > 1 ist. Wir betrachte u die reelle Fuktio t v T H f a+tv v. Sie ist für alle t mit a+tv D defiiert, also da D offe ist ud de Pukt a ethält auf eier Umgebug vo. Außerdem ist diese Fuktio stetig, da f ach Voraussetzug zweimal stetig differezierbar ist. Da sie außerdem a der Stelle wege 1 positiv ist, gibt es ei ε >, so dass sogar v T H f a +tv v > für alle t ε,ε 2 gilt. Nach der Taylor-Formel aus Folgerug ergibt sich da für x = a +tv mit eiem beliebige t ε,ε wege f a = f a +tv = f a tvt H f c tv für ei c auf der Verbidugsstrecke vo a ach x, also für ei c der Form c = a + uv, wobei u ebefalls im offee Itervall ε,ε liegt. Aus 2 folgt damit f a +tv = f a t2 v T H f a + uv v > f a für alle x = a +tv mit t ε,ε\{}. Es gibt also i jeder beliebig kleie Umgebug vo a Pukte mit größerem Fuktioswert als f a. Damit ka f i a kei lokales Maximum habe. Geauso folgt für eie egative Eigewert vo H f a, dass f i a auch kei lokales Miimum habe ka. Also hat f i a kei lokales Extremum.

11 25. Extremwertberechug ud Taylor-Etwicklug 339 Bemerkug a Beachte, dass das Kriterium aus Satz icht i jedem Fall etscheide ka, ob a eiem kritische Pukt wirklich ei Extremum vorliegt: hat die Hesse-Matrix de Eigewert, ud sost ur positive oder ur egative Eigewerte, so trifft ach Folgerug b keier der drei Fälle vo Satz zu. I diesem Fall köte ma u aalog zum Eidimesioale i Satz 1.19 höhere als zweite Ableituge vo f betrachte ud dafür ähliche Kriterie beweise. Da diese höhere Ableituge im Mehrdimesioale aufgrud der Vielzahl der partielle Ableituge recht kompliziert zu utersuche sid, werde wir dies hier aber icht weiter ausführe. 66 b Die Aussage vo Satz ist auch leicht aschaulich zu verstehe: mit der Rechug aus Folgerug habe wir ach der Taylor-Formel für r = 2 um eie Pukt a mit f a = ja die Näherug f x f a x at H f a x a. Nach dem Trägheitssatz vo Sylvester aus Satz 21.3 bzw. Bemerkug köe wir zu der symmetrische Hesse-Matrix H f a u eie ivertierbare Matrix T GL, R fide, so dass E k T T AT = E l =: D gilt, wobei k ud l die Azahl der positive bzw. egative Eigewerte vo H f a sid. Mit der lieare Koordiatetrasformatio x = Ty + a wird die obige Näherugsformel da zu f x f a yt D y = f a y y 2 k y2 k+1 y2 k+l. Wie i de Bilder ute im zweidimesioale Fall dargestellt, ka ma hieraus leicht das lokale Verhalte vo f i der Nähe vo a ablese: im positiv defiite Fall k = ist die Differez f x f a als Summe vo Quadrate für x a positiv, ud damit liegt dort da ei lokales Miimum vor. Der Schitt des Graphe vo f mit der y 1 - oder y 2 -Koordiateachse ist da äherugsweise eie ach obe geöffete quadratische Parabel. Im egativ defiite Fall l = habe wir aalog ei Maximum. f x f a f x f a f x f a y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 H f a positiv defiit f x f a 1 2 y2 1 + y2 2 Miimum H f a egativ defiit f x f a 1 2 y2 1 y2 2 Maximum H f a idefiit f x f a 1 2 y2 1 y2 2 Sattelpukt Ist die Hesse-Matrix idefiit, so hat f auf de verschiedee Gerade durch a machmal ei Maximum ud machmal ei Miimum ma sagt auch, dass i diesem Fall ei Sattelpukt vorliegt. Ist die Hesse-Matrix schließlich weder positiv defiit, egativ defiit och idefiit, ist sie also z. B. eifach die Nullmatrix, so sagt die obige Näherug eifach

12 34 Adreas Gathma f x f a für alle x, ud i diesem Fall müsste ma sich diese äherugsweise Gleichheit och geauer aschaue, um etscheide zu köe, ob f x u etwas größer oder etwas kleier ist als f a. Beispiel Wir wolle die lokale Extrema der Fuktio f : R 2 R, x 3x x x2 2 siehe Bild rechts bereche. Dazu bestimme wir zuächst gemäß Lemma 25.2 die kritische Pukte als mögliche Kadidate für Extrema, also die Stelle mit Ableitug Null: es ist f x = 6x 1 + 3x 2 1,2x 2 ud damit f x = geau da we 3x x 1 = ud 2x 2 =, woraus sich die mögliche Extremstelle ud 2 ergebe. 2 Für das Miimax-Kriterium müsse wir jetzt die Hesse-Matrix bereche: es ist 1 H f x = 1 f x 1 2 f x 6 + 6x1 =. 2 1 f x 2 2 f x 2 A der Stelle ist also 6 6 H f = mit det6 = 6 > ud det = 12 >, 2 2 womit H f dort ach Folgerug a positiv defiit ist. Also hat f a diesem Pukt ach Satz a ei isoliertes lokales Miimum wie auch im Bild ersichtlich ist. A der Stelle higege ist H f = mit det 6 = 6 < ud det = 12 <, 2 2 ud damit ist H f dort ach Folgerug a idefiit. Es liegt a dieser Stelle ach Satz c also kei lokales Extremum, soder ei Sattelpukt vor. Aufgabe Bestimme alle lokale Miima ud Maxima der Fuktioe a f : R 2 R, x x x x 1x 2 ; b g : R 2 R, x x 2 x 2 cosx cosx 1. Gib zusätzlich vo der Fuktio g das zweite Taylor-Polyom mit Etwicklugspukt f x x 1 π/2 a. Aufgabe Zeige, dass die Fuktio f : R 2 R, x x 2 x1 2x 2 2x1 2 keie lokale Extrema hat, dass die Eischräkug vo f auf jede Gerade durch de Ursprug aber ei lokales Miimum i besitzt. Aufgabe Für gegebee Pukte a 1,...,a k R betrachte wir die Summe der Abstadsquadrate f : R R, x Bestimme alle lokale ud globale Extrema vo f. k i=1 x a i 2 2.