Der Satz von Stone-Weierstraß. 1 Approximationssatz von Weierstraß

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Willi Maus
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1 Der Satz vo Stoe-Weierstraß Vortrag zum Prosemiar Aalysis, Valetia Gerber, Sabria Kielma Aus der Vorlesug Aalysis I ud II kee wir das Kozept des Approximieres. Us wurde die Begriffe Taylor- ud Bersteipolyome vorgestellt, die us de Umgag mit reelle ud komplexe Fuktioe erleichter. Nu wolle wir dieses Kozept vertiefe. Wir schaue us zuerst de Satz vo Weierstraß a ud gehe da eie Stufe tiefer durch de Stoe-Weierstraß, der Approximatioe auf dem metrische Raum ermöglicht. Auch lere wir i diesem Zusammehag de Begriff Fuktioealgebra kee. 1 Approximatiossatz vo Weierstraß I diesem Abschitt wolle wir sämtliche Vorarbeit leiste um später leichter de Satz vo Stoe-Weierstraß beweise zu köe. Fuktioealgebra Zuächst müsse wir de Begriff Fuktioealgebra ud die Eigeschafte dieser eiführe. (1.1) Defiitio (Fuktioealgebra) Sei M ei kompakter metrischer Raum ud C 0 (M, R) beziehugsweise C 0 (M) der vollstädige reelle Raum der über M stetige reellwertige Fuktioe. Wir bezeiche A C 0 (M) als Fuktioealgebra, we A bezüglich Additio, skalarer Multiplikatio ud der Multiplikatio vo Fuktioe abgeschlosse ist, das heißt seie f, g A ud c eie reele Kostate, da gilt: f + g A, c f A, f g A.

2 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Ei eifaches Beispiel ist das Folgede. (1.2) Beispiel Die Mege der Polyome ist eie Fuktioealgebra. De wie wir aus der Aalysis wisse, sid die Polyome sowohl bezüglich Additio als auch bezüglich Multiplikatio ud der skalare Multiplikatio abgeschlosse. Nu werde zwei weitere Eigeschafte eier Fuktioealgebra defiiere. (1.3) Defiitio Sei A C 0 (M) eie Fuktioealgebra. (i) Eie Fuktioealgebra verschwidet i eiem Pukt p M, we f (p) = 0 für alle f A gilt. (ii) Eie Fuktioealgebra A heißt puktetreed, we zu jedem Paar x 1, x 2 M mit x 1 = x 2, ei f A existiert mit f (x 1 ) = f (x 2 ). Auch für diese Eigeschafte gibt es ei aschauliches Beispiel. (1.4) Beispiel Die Fuktioealgebra der Polyome mit 0 als kostate Term verschwidet im Pukt x = 0. Approximatiossatz vo Weierstraß Da die wohl bekateste ud umgäglichste Fuktio das Polyom ist, werde wir versuche Elemete aus der Mege der stetige Fuktioe durch Polyome zu approximiere. Beschäftige wir us vorab mit de besodere Eigeschafte folgeder Fuktio: (1.5) Bemerkuge Für k, N gilt: a) b) r k (x) = 1, k=0 r k (x) := ( k )xk (1 x) k, k, N ud x R (k x) 2 r k (x) = x(1 x). k=0 2

3 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Nu sid wir soweit de Approximatiossatz vo Weierstraß zu formuliere ud zu beweise. Dieser legt de Grudstei für de Satz vo Stoe-Weierstraß. (1.6) Defiitio (Approximatiossatz) Die Mege der Polyome ist dicht i C 0 ([a, b], R) mit a, b R ud a < b, das heißt für jedes f C 0 [a, b] ud jedes ε > 0 gibt es ei Polyom p, so dass für alle x [a, b] gilt: f (x) p(x) < ε. Hilfsaussage Der Satz vo Stoe-Weierstraß ist sehr umfagreich, also werde wir vorab ei paar Hilfsaussage beweise. (1.7) Lemma Sei A C 0 (M, R) eie puktetreede ud irges verschwidede Fuktioalgebra, weiter seie die voeiader verschiedee Pukte p 1 ud p 2 ud die Kostate c 1 ud c 2 i R gegebe, da existiert eie Fuktio f A mit f (p 1 ) = c 1 ud f (p 2 ) = c 2. (1.8) Lemma Der Abschluss eier Fuktioealgebra i C 0 (M, R) ist wieder eie Fuktioealgebra. (1.9) Hilfssatz Sei A eie Fuktioealgebra, da ist A = A. (1.10) Lemma Sei A eie eie Fuktioealgebra i C 0 (M), die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist. Sei f A, da ist auch f A, wobei A der Abschluss vo A i C 0 (M) ist. (1.11) Lemma Sei A eie puktetreede Fuktioealgebra, die i keiem Pukt verschwidet ud seie f, g A. Da sid max{ f, g} ud mi{ f, g} auch Fuktioe i A. Da die Vorarbeite jetzt geleistet wurde, köe wir us u dem Beweis vom Satz vo Stoe-Weierstrass widme. 3

4 Stoe-Weierstraß 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß I diesem Abschitt werde wir de Satz vo Stoe-Weierstraß beweise. Dieser ist eie Verallgemeierug des Approximatiosatzes vo Weierstraß auf Fuktioealgebre i C 0 (M, R), wobei M ei kompakter metrischer Raum ist. (2.1) Satz (Stoe-Weierstraß) Sei A eie Fuktiosalgebra i C 0 (M, R) wie i (1.1) defiiert, die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist. Da liegt A dicht i C 0 (M): Zu gegebee F C 0 (M) ud ε > 0 ist ei G A gesucht, so dass für alle x M gilt: F(x) ε < G(x) < F(x) + ε. Der Graph vo G liegt im ε-schlauch vo F 3 Aweduge Nu wolle wir die Awedug des Satzes vo Stoe-Weierstraß a Had der folgede zwei Beispiele demostriere. (3.1) Korollar We M eie kompakte Teilmege des R k ist, da ka P als Fuktioealgebra aller Polyome i de k reelle Variable x 1,..., x k gewählt werde. Da liegt P dicht i C 0 M. 4

5 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge Ei weitere iteressate Awedug ist die Approximatio vo 2π-periodische Fuktio i R. Um dies zeige zu köe,wird eie komplexe Versio des Approximatiossatzes vo Stoe-Weierstraß beötigt. (3.2) Satz (Komplexer Stoe-Weierstraß) Sei M ei kompakter metrischer Raum ud A eie Fuktioealgebra i C 0 (M, C) wie i (1.1) defiiert, die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist, ud ethalte A zusätzlich och zu jedem p A auch das Kojugierte p. Da liegt A dicht i C 0 (M, C). Nu ka ma mit Hilfe des komplexe Satzes vo Stoe-Weierstraß zeige, dass die stetige komplexe Fuktioe auf dem Eiheitskreis S 1 durch Fuktioe der Form c k z k approximiert werde köe. (3.3) Korollar Sei S 1 der Eiheitskreis i der komplexe Ebee. Da gibt es zu jeder stetige komplexe Fuktio f C 0 (S 1, C) ud jedem ε > 0 eie Fuktio c k z k mit c k C mit f (z) c k z k < ε für alle z S 1. Das heißt, die Mege P := { f : S 1 C : z C 0 (S 1, C). c k z k, c k C, N} liegt dicht i Da wir dies u gezeigt habe köe wir u die gewüschte Approximatio vo 2π-periodische Fuktioe i R zeige, da hierfür eie kurzzeitige Trasformatio is Komplexe beötigt wird. (3.4) Korollar Jede 2π-periodische stetige Fuktio i x R ka gleichmäßig durch ei trigoometrisches Polyom T(x) = α 0 + α k cos kx + β k si kx approximiert werde. Das heißt die Mege T := {T : R R : x α 0 + α k cos kx + β k si kx, α 0, α k, β k R für k = 1,..,, N} liegt dicht i C 0 (R). 5

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