Mehrdimensionale Differenzialrechnung

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1 Szabolcs Rozsyai Stetigkeit Eie Fuktio f heißt stetig a er Stelle D, falls lim f( eistiert u lim f(. Die Fuktio heißt stetig falls sie i alle Pukte es Defiitiosbereichs stetig ist. laut Skript: f : R R ist stetig i, we lim f( f( >,δ > : f( f( < ε - < δ f ist stetig auf R, we f i alle Pukte R stetig ist. Mehrimesioal Eie Fuktio f: R R m heißt stetig i R we gilt: lim f( f( f(,.h. ε >,δ > : f( f( < ε - < δ f heißt stetig auf A R, we f stetig i jeem A ist, besoers auch für A R Limes: Im -imesioale Raum köe wir us vo uelich viele Richtuge auf uelich viele Arte em äher. Defiitio er Stetigkeit mit Hilfe vo Folge: lim f( k f( ( k R mit lim k Bsp: ta Aufgru er Defiitio er Tages Fuktio, ämlich ta( si(/cos(, ist a e Stelle, a ee er Kosius ergibt, er Tages icht efiiert, a eie Divisio urch Null vorliegt, was aber icht möglich ist. k k Mehrimesioale Differezialrechug Ketteregel g ο f g(f(' g'(f(*f'( (g ο f( g(f(* f( Bsp.: f( g( g(f( ( g ( f( ( +, ( +,

2 Szabolcs Rozsyai Gariet Wie im eiim. Fall wir wieer gelte, ass i eiem statioärem Pukt (im mehr. Fall Sattelpukt mi, ma, Weepkt. ie. Ableitug gleich ull sei muss (horiz. Tagetialebee. Erst mit er. Ableitug ka ma etscheie um welche stat. Pukt es sich haelt We für eie Fuktio f : R R alle partielle Ableituge eistiere, so ist ie erste Ableitug vo f er Gariet f (... Jacobi Matri Hessematri f( H f ( Eie Fuktio f. A R R m ist i eiem (iere Pukt ifferezierbar we sie i partiell ifferezierbar ist, alle partielle Ableituge i eier Umgebug vo eistiere u ort stetig si. Ier Pukt a heißt ierer Pukt vo M, we eie Umgebug vo a vollstäig i M liegt. Richtugsableitug Das iere Proukt (Skalarpoukt es Graiete vo f mit em Richtugsvektor a R R m i Richtug a R mit a Daf ( u D ek f ( f ( + ta lim t > t k f ( f ( Ableitug vo f im Pukt i Richtug es Vektors a Für welche Vektor a ist ie Richtugsableitug maimal? ieres Proukt vo a mit em Graiete vo f u as Proukt proportioal zum cos es eigeschlossee Wikels a muss parallel zum Graiete liege a Cos vo am größte ist.

3 Szabolcs Rozsyai f ( a f ( Bsp.: Graiet zeigt i Richtug es größte Astiegs Graiet a statioärer Pukt köte ei Maimum sei f(, y,z z y a a + 5 Daf(,, (z,, y 5 (,, Tagetialabbilug Sei f:a R R m i eiem iere Pukt vo A ifferezierbar. Die Fuktio g( f( + f( ( ist eie affi lieare Abb. u heißt Tagetialabb. vo f. Für eie ifferezierbare Fukt. f: R R m liefert ie Tagetialabb. ( f( + f( ( i er Umgebug vo eie gute Nährug f ar, also f t f t ( f( f( ( f( f( Das totale Differetial Sei f:r Rm ifferezierbar. Die li. Abb f( f( ( f( f( Differetial er Fuktio f i., mit i ( i - i (, heißt totales Das tot. Diff gibt ie ugefähre Abweichug es Fuktioswertes f( a, we vo weig abweicht. Bsp.: Fehlerfortpflazug fma(,..., f( f( fma(...rel.fehler f( Maratholäufer soll über Strecke skm eie Zeit vo tmi laufe mittlere Geschw v s/t km/h Messfehler f. s sei s ±m... für t ±sec Wie groß ist v maimal?

4 Szabolcs Rozsyai s,km km v(s, t v(s,t s + v(s,t t s + t + s t t t,5h,5h Mittelwertsätze Approimatio im Mehrimesioale h 6,km / h Sei f:a R R eie reelle, auf er offee Mege A ifferezierbare Fuktio u ethalte A ie Strecke S vo ach. Da gibt es eie Pukt ξ S. Ist f mal stetig t iffbar. so gilt: f( f( + f( ( + ( f( ( + O( Da Fehler O(g( mi. geauso schell gege geht wie g( - mit Implizite Fuktioe Bsp.: löse Fuktio als Fuktio y f( -y - ± y + Bsp.: Ist Fuktio f(,y ( -y,y im Pukt (, lokal ivertierbar? y f(, y Determiae! h ivertierbar y Bsp.: Bereche y urch implizite Diff b -a y a b b b ya ya Bsp.: Bestimme y u gib jee Bereiche a für ie f eplizit ach y auflösbar ist ye + y e + f y e + f ye y( ye f b f ya y( y( (, ( * (, ( f y f y y e y e ur lösbar für Bsp.: Best. z vo f(,y,z + y z im Pukt (,, z z y y z(, y ( y y im Pukt ( 6 Umkehrfuktio y f(, y y y y y (a (b (c ( a - b c - a + b c + auflöse c b - 8 a -b... 8

5 Szabolcs Rozsyai Taylor Es ka uter bestimmte Beiguge lokal eie Approimatio mit Hilfe vo Ableituge a eier best. Stelle berechet were. Sei f mal stetig iffbar. bei a gilt: t Rest f( f( + f( ( + ( f( ( + Rest - Optimierug Kriterium vo Sylvester positiv efiit: we alle Hauptmiore positiv si positiv semiefiit: we alle ihre Hauptmiore positiv o. ull si egativ efiit: we ihre Hauptmiore alteriere egativ u positiv si egativ semiefiit: alterieere egativ u positiv o ull si Hireichee Beigug für lokale Optima: f: mal stetig ifferezierbar bei. Ableitug f(. Ableitug HH f ( f( positiv efiit... lokale Miimastelle egativ efiit... lokale Maimastelle. Spezialfall D im R gilt: Falls et Hf ( <, so liegt kei Etremum soer ei Sattelpukt vor. kove: Determiate müsse alle positiv sei kokav: Determiate müsse alle egativ sei Bsp.: 5 5 A A 5 A 5* * - 5* * + **+ ** * * **5 ** Lagrage we NBs. L(, y,λ Variable f(,..., λ ig i (,..., Fuktio i NB. f( I Variable ausreche.... Pukte mit geäerte Hesse utersuche 5

6 Szabolcs Rozsyai g g H >... lokales Ma H g L L H <... lokales Mi g L L H... keie Aussage. Fuktioswert i Fuktio eifach Pukt eisetzte Polarkooriatetrasformatio yy mit N { (, y R yy π/ rcosφcosφret(j rcosφcosφr.rrφ π/ g, y (r,φuφ, r cosφosφs... 5/8 + y rcosφ } y rsiφ 6