1 Integrationsmethoden

Transkript

1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma WS 3/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Iformatik Itegratiosmethode. Saalübug (4..4) Aufgabe Bereche Sie die folgede Itegrale: a) b) c) arcta(t) dt (x R) t x log(x) dx (t > ) x x dx Lösugsvorschlag: zu a): Wir beutze partielle Itegratio ud beachte hierbei arcta (t) +t : arcta(t) dt arcta(t) dt [t arcta(t)] x t + t dt [ t arcta(t) ] x log( + t ) x arcta(x) log( + x ). Isbesodere lehrt der. Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug, dass x arcta(x) log( + x ) ei Stammfuktiosterm zu arcta ist. zu b): Auch hier verwede wir partielle Itegratio: t [ ] t t x log(x) dx x log(x) x x dx [ x log(x) ] t 4 x t log(t) 4 t + 4. Isbesodere lehrt der. Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug, dass t log(t) 4 t ei Stammfuktiosterm zur Fuktio (, ) x x log(x) ist. zu c): Hier beutze wir zuächst die Substitutiosregel ud zwar mit der Substitutio x si(t). Da erhalte wir x x dx π si (t) si (t) cos(t) dt.

2 Da cos auf [ π, π] ichtegativ ist, gilt si (t) cos(t) für alle t [ π, π ]. Es gilt also x x dx π si (t) cos (t) dt. Partielle Itegratio liefert als ächstes (beachte: ( 3 si3 (t) ) si (t) cos(t)) [ ] π si (t) cos (t) dt π 3 si3 (t) cos(t) + π π 3 si4 (t) dt. () si 4 (t) dt. 3 π Wir habe also u das Itegral π π si (t) cos (t) dt π Mit () erhalte wir darum si (t) dt oder äquivalet π π si 4 (t) dt zu bereche. Es gilt si (t)( si (t)) dt π si 4 (t) dt 3 4 si 4 (t) dt 3 π π π si (t) dt. si (t) dt si 4 (t) dt π si 4 (t) dt. Das Itegral si (t) dt köe wir u aber bequem mit eiem Ergebis aus der Vorlesug π bereche ud erhalte π si (t) dt Damit ergibt sich u zusammefassed x x dx π [ ] π (t cos(t) si(t)) π si (t) cos (t) dt 3 π π. si 4 (t) dt 4 π si (t) dt π 8.. Itegrale der Form R(si(x), cos(x)) dx Bei Itegrale der Form R(si(x), cos(x)) dx, wobei R eie geeigete Fuktio i zwei Veräderliche ist, hilft häufig (aber atürlich icht immer!) eie der beide Substitutioe x arcta(t) oder x arcta(t) weiter. Dabei sid folgede Formel zu beachte: x arcta(t), t R x arcta(t), t R t ta(x), x ( π, π) t ta( x ), x ( π, π) dx +t dt dx +t dt si(x) t +t si(x) t +t cos(x) +t cos(x) t +t

3 Hierzu ei Beispiel: Wir wolle das Itegral π dx bereche. Da liefert die Substitutio x 3 si(x) arcta(t): π 3 ta( π si(x) dx 4 ) ta( π 6 ) t +t ( ) + t dt dt log() log 3 t log(3). 3

4 Stetigkeits- ud Differezierbarkeitseigeschafte des Riema-Itegrals. Satz Es seie I ud J ichtleere, icht zu eiem Pukt ausgeartete Itervalle, f C(J), g, h C(I) mit g(i) J ud h(i) J. Wir betrachte die (wohldefiierte) Fuktio Da gelte die folgede Aussage. a) Die Fuktio F ist stetig. F : I R; x g(x) f(t) dt. b) Ist x I ud sid g ud h i x differezierbar, so ist auch F i diesem Pukt differezierbar ud es gilt Beweis: F (x ) f(h(x ))h (x ) f(g(x ))g (x ). Wir fixiere ei J. Nach dem. Hauptsatz der Differetial- ud Itegralrechug (bzw. Folgerug. der Vorlesug) ist da die Fuktio G : J R; y y f(t) dt überall differezierbar mit Ableitugsfuktio f, also ist G isbesodere auf J stetig. Da ist (G h) (G g) als Kompositio ud Differez stetiger Fuktioe auf I stetig. Es gilt u jedoch (G h)(x) (G g)(x) G(h(x)) G(g(x)) für alle x I. Also ist F stetig. f(t) dt + g(x) f(t) dt f(t) dt g(x) g(x) f(t) dt f(t) dt F (x) Ist u x I ud sid g ud h i x differezierbar, so ist auch F (G h) (G g) i x differezierbar ud die Ketteregel liefert F (x ) G (h(x ))h (x ) G (g(x ))g (x ) f(h(x ))h (x ) f(g(x ))g (x ) wie behauptet.

5 3 Grezwertberechug durch Itegratio Wir wolle a eiem eifache Beispiel demostriere, wie ma die Itegralrechug für die Beatwortug vo Kovergezfrage bei Folge utzbar mache ka. Ud zwar wolle wir exemplarisch de Grezwert lim m+ für jedes m N bereche. Für m {,, 3} habe wir damit sicherlich keie Probleme, da wir für diese Fälle geschlossee Ausdrücke für die Summe k km kee, mit dee wir gut reche köe. Wir betrachte die Fuktio f(x) : x m für x R ud zu N die Zerlegug Z : { k } k des Itervalls [, ]. Die zugehörige Obersumme laute da aber gerade k { sup f(x) : k x k } k k m ( k k ) k ( ) m k m+ k m. Da das Feiheitsmaß der Zerlegug Z präzise beträgt ud lim gilt, wisse wir aus der Vorlesug, dass lim k { sup f(x) : k x k } ( k k ) gilt. Mithi erhalte wir lim m+ k km m+. f(x) dx k x m dx m + Tatsächlich ket ma für alle (!) m N geschlossee Formel für die Summe k km (die sog. Faulhabersche Formel), welche jedoch icht so eifach zugäglich sid. Ma ka jedoch mit Hilfe vo vollstädiger Iduktio ((eie icht gaz eifache) Übug!) das folgede Resultat herleite, mit desse Hilfe wir de obige Grezwert ebefalls problemlos bereche köte: Zu jedem m N existiert ei Polyom p m vom Grad m+ mit ratioale Koeffiziete ud mit Leitkoeffiziet m+ derart, dass k km p m () für alle N erfüllt ist.

6 4 Mittelwertsatz der Itegralrechug Aufgabe Es sei k N. Ma beweise, dass es da stets ei ξ k [, (k + )π] mit gibt. Lösugsvorschlag: (k+)π si(x ) dx ( )k ξ k Da die durch de Fuktiosterm x si(x ) (x > ) gegebee Fuktio auf jedem Itervall der Form [, (k + )π] vorzeichetreu ist, sichert der Mittelwertsatz der Itegralrechug die Existez eier Zahl ξ k [, (k + )π] mit (k+)π si(x ) dx Mit der Substitutio t x erhalte wir u (k+)π x si(x ) dx (k+)π x x si(x ) dx (k+)π x si(x ) dx. ξ k (k+)π t si(t) t dt (k+)π si(t) dt [ cos(t)](k+)π (cos() cos((k + )π)) ( ( ) k ( ) k+) ( ) k. Es gilt also i der Tat (k+)π si(x ) dx ( )k ξ k für ei ξ k [, (k + )π].