Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. 6. Saalübung ( )

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr Christoph Schmoeger Heio Hoffma WS 0/4 90 Höhere Mathemati I für die Fachrichtug Iformati 6 Saalübug (90) Aufgabe Ma bestimme alle x R, für welche die folgede Potezreihe overgiere a) b) ( + )x + + (+) x Lösugsvorschlag: zu a): Wir gebe drei Wege a, um zur Lösug vo Teil a) zu gelage Weg: Es gilt ( + )x + a x mit für N 0 Aus a : 0 { 0, falls gerade, + +, falls ugerade, für N mit folgt lim + ud damit lim + a +, was zusamme mit lim a 0 schließlich H(( a ) ) {0, } ud somit auch lim sup a liefert Folglich overgiert die Potezreihe für alle x < ud divergiert für alle x > Für x ± welche divergiert, da x (, ) vor erhalte wir die Reihe ( ) + ± ( + ) ( ( ) ) + ± ( + ) eie Nullfolge ist ±, Kovergez liegt also ur für

2 Weg: Wege + erhalte wir ( + )x + + x x x für alle x R Das Wurzelriterium liefert u Kovergez der Reihe für x < Divergez für x > Die Radpute behadelt ma wie zuvor Weg: Wege lim + (siehe obe) overgiert die Reihe ( +)y für alle y < ud divergiert für alle y > Folglich overgiert die Reihe ( +)x ( + )(x ) für alle x <, also für alle x <, ud divergiert für alle x >, also für alle x > Mithi gilt dies gleichfalls für die Reihe ( + )x + x ( + )x Die Radpute behadelt ma wie zuvor zu b): Für x 0 erhalte wir (+)+ x + (++) + x x (+) + + ( ) + + x Das Quotieteriterium liefert u, dass die Potezreihe für x < overgiert ud für x > divergiert Für N gilt u ( ) + ) ( ( + ) + + ( + + ) ( Hieraus ergibt sich, dass die Folge eie mooto fallede Nullfolge ist Somit liegt + (+) ) N im Pute x Kovergez ach dem Leibiz-Kriterium vor Wege + divergiert die Reihe jedoch für x ach dem Miorateriterium Alterativ a ma im erste Schritt auch folgedermaße argumetiere Wege + ( + ) + + ud (+) () folgt, dass die Potezreihe de Kovergezradius hat Somit liegt für x < Kovergez ud für x > Divergez der Reihe vor

3 Aufgabe Es sei N 0 Ma beweise, dass die Potezreihe ( ) + x ur für x (, ) overgiert ud zwar absolut mit dem Reihewert ( x) + Lösugsvorschlag: Zuächst zeige wir die folgede Hilfsaussage: Es gilt für alle j ( ) j ( ) + + Wir zeige dies durch Idutio ach Für erhalte wir j ( ) j ( ) ( ) + + Sei die Behauptug u scho für ei gezeigt Da folgt + ( ) j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j ( + ) j j Wir ehre u zur eigetliche Behauptug zurüc Diese beweise wir durch Idutio ach Für 0 erhalte wir die geometrische Reihe ( ) x 0 x, welche beatlich ur für x < overgiert ud zwar absolut mit dem Reihewert ( x) 0+ Sie die Behauptug u scho für ei N 0 gezeigt Da overgiere ach Idutiosvoraussetzug ud gemäß dem Idutiosafag die beide Reihe ( + ) x ud x für x < absolut mit dem Reihewert bzw Nach dem Satz über die Kovergez des Cauchy-Produtes overgiert da dere Cauchy-Produt ebefalls absolut für ( x) + x alle x < ud es folgt mit dem Hilfssatz ( x) + ( x) + x ( + ( ) ) j x j ( ( ) j + )x j x j j0 ( ) + + x +

4 Da Biomialoeffiziete stets größer oder gleich sid, ist die Folge (( )) + eie Nullfolge Folglich ist die Potezreihe für x {±} diverget, sodass der Kovergezradius der Potezreihe beträgt ud die Potezreihe i der Tat geau für x < overget ist mit dem Reihewert ( x) +

5 Aufgabe Bestimme Sie für die folgede Potezreihe alle x R, für welche die Reihe overgiere ud bereche Sie i Abhägigeit vo x de Reihewert a) b) (+)! x4+ +4 (x ) 4 Lösugsvorschlag: zu a): Die Reihe overgiert atürlich für x 0 mit dem Reihewert 0 Sei u x 0 Da erhalte wir + 4 ( + )! x4+ ( + )! x4(+) [ (x 4 ) + x ( + )! 4 ] x (x4 ) + : η 4 ( + )! Es gilt u sowohl als auch (x 4 ) + ( + )! E(x4 ) (x 4 ) + ( + )! E(x4 ) x 4 für alle x R mit absoluter Kovergez der Reihe Daher gilt η E(x4 ) 4 E(x4 ) x 4 x x 7 für alle x R \{0} mit absoluter Kovergez der Reihe zu b): Wir habe + 4 [ ( ) (x ) (x ) 4 4 ( ) (x ) 4 ] ( + ) + : µ Es gilt ud y y ( + )y ( y) für alle y (, ) mit absoluter Kovergez der Reihe Daher erhalte wir µ ( ) + (x )4 (x )4 für alle x R mit (x )4 <, also für alle x R mit x < 4, mit absoluter Kovergez der Reihe Für x 4 erhalte wir jeweils die Reihe ( + 4), welche offebar divergiert Daher ist der Kovergezradius der Reihe 4 ud wir sehe, dass die Potezreihe ausschließlich für x ( 4, + 4 ) overgiert ud zwar mit dem Reihewert (x )4 + (x )4

6 Zusatz: Eie Warug i Bezug auf Kovergezradie Im Allgemeie ist es icht möglich aus dem Kovergezradius zweier Potezreihe de Kovergezradius ihrer Summe zu bestimme Ma hat jedoch die achfolgede Aussage Lemma Die Potezreihe a x (a R für N 0 ) besitze de Kovergezradius r > 0 ud die Potezreihe b x (b R für N 0 ) besitze de Kovergezradius ρ > 0 Es bezeiche R de Kovergezradius ihrer Summe (a +b )x Da gelte die folgede Aussage a) Es gilt stets R mi{r, ρ}; isbesodere gilt R, falls r ρ gilt b) I a) gilt i Allg eie Gleichheit Beweis: zu a): Für alle x ( mi{r, ρ}, mi{r, ρ}) overgiert sowohl a x als auch b x absolut, sodass (a + b )x gleichfalls absolut overgiert Dies liefert umittelbar R mi{r, ρ} zu b) Betrachte a ud b ( N 0 ) Da habe die Reihe a x x ud b x x beide de Kovergezradius, wohigege ihre Summe de Kovergezradius besitzt Dasgleiche gilt auch für das Cauchy-Produt ud das gliedweise gebildete Produt zweier Potezreihe