5-1 Elementare Zahlentheorie

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1 5- Elemetare Zahletheorie 5 Noch eimal: Zahletheoretische Fuktioe 5 Der Rig Φ als Rig der formale Dirichlet-Reihe! Erierug: Ei Polyom mit Koeffiziete i eiem Körper K ist ach Defiitio ichts aderes als eie abbrechede Folge (a 0, a, a 2,, a, 0, 0, ) vo Elemete aus K Die beliebige Folge a = (a 0, a, ) et ma machmal formale Potezreihe ud schreibt statt a auch =0 a X, ohe sich um Kovergez zu kümmer Der Rig der formale Potezreihe ist da ichts aderes als der Rig dieser Folge mit kompoeteweiser Additio ud mit der Multiplikatio, die ma vom Polyomrig her ket Ählich gehe wir u mit dem Rig Φ der zahletheoretische Fuktioe vor: wir ee ih eifach de Rig der formale Dirichlet-Reihe Eie formale Dirichlet-Reihe ist ichts aderes als eie zahletheoretische Fuktio α: N C, wobei wir aber statt α lieber α() s schreibe Soweit möglich werde wir utersuche für welche Werte s C (oder zumidest s R) diese Reihe kovergiert oder sogar absolut kovergiert Kovergiert die Reihe α() s absolut für ei s, so auch für alle s s Wir orde also jeder zahletheoretische Fuktio α die (formale) Dirichlet- Reihe f α (s) = α() s zu; ach Defiitio werde zwei derartige formale Dirichlet-Reihe f α, f β ur da als gleich agesehe, we α = β gilt Sid α, β zahletheoretische Fuktioe, so habe wir im Abschitt 44 Summe ud Produkt der Dirichlet-Reihe f α, f β durch f α + f β = f α+β, f α f β = f α β defiiert, die Zuordug α f α ist demach (sozusage ach Defiitio) ei Isomorphismus zwische dem Rig Φ der zahletheoretische Fuktioe ud dem Rig {f α α Φ} der formale Dirichlet-Reihe: 52 Satz Die Zuordug α ist ei Rig-Isomorphismus vom Rig s der zahletheoretische Fuktioe auf de Rig der formale Dirichlet-Reihe α() Additio ud Multiplikatio formaler Dirichlet-Reihe (also die Rig-Struktur auf der Mege der formale Dirichlet-Reihe) sid atürlich ur deswege vo Iteresse, weil ma im Falle absolut kovergeter Dirichlet-Reihe auf diese Weise gerade die übliche Additio ud Multiplikatio erhält

2 Leitfade Bielefeld WS 2009/0 5-2 Die Rig-Isomorphie besagt isbesodere: Geau da ist die zahletheoretische Fuktio α bezüglich der Faltug ivertierbar, we f α im Rig der formale Dirichlet- Reihe ivertierbar ist, dort schreibt ma atürlich f α für die zu f α multiplikativiverse Dirichlet-Reihe (also f α = f α ) Ma erhält auf diese Weise eie Art Wörterbuch zwische gewisse zahletheoretische Fuktioe ud Dirichlet-Reihe (wobei ma ur solche betrachtet, die auf eiem icht-triviale Itervall absolut koverget sid): Wörterbuch Zahletheoretische Fuktio Nullfuktio Dirichlet-Reihe Nullfuktio Das Eiselemet I Die Fuktio Die Fuktio U µ = U ζ τ = U U ζ 2 χ (Restklassecharakter) Die ζ-fuktio L(s, χ) (Dirichlet sche L-Reihe) Ud ma erhält iteressate Formel: Euler hat gezeigt ζ(2) = π2 6 Daraus folgt µ() 2 = f µ (2) = ζ(2) = 6 π 2 Oder auch: Da ζ(s) für s > absolut koverget ud verschiede vo Null ist, ud lim s ζ(s) = gilt, sehe wir, dass f µ (s) für s > absolut koverget ist ud dass gilt µ() = f µ() = 0 Mathematisch gibt es keie Uterschied, ob ma über zahletheoretische Fuktioe oder über formale Dirichlet-Reihe spricht

3 5-3 Elemetare Zahletheorie 52 Die Fuktio σ (oder besser: σ() ) 52 Defiitio Sei N Ist σ() = 2, so et ma vollkomme Ist σ() < 2, so et ma defiziet, ist σ() > 2, so et ma abudat Hier wird also σ() thematisiert ud es wird gefragt, of dieser Quotiet σ() kleier, gleich oder größer als 2 ist Ma ka hier frage, warum ma σ() gerade mit der Zahl 2 vergleicht Eigetlich köte ma ja für jede reelle Zahl r frage: Gilt σ() = r oder < r oder > r Warum iteressiert ma sich für de Fall r = 2? Die alte Grieche ware dara iteressiert, Augustius (christlicher Theologe, um 400), wie auch Boethius (christlicher Philosoph, um 500) fade die vollkommee Zahle wichtig Dara aschließed gibt es eie Fülle vo obskure Überleguge zur Bedeutug vo vollkommee Zahle Aber der Fall r = 2 scheit wirklich eie zahletheoretische Bedeutug zu besitze) Satz (Euklid Euler) Eie gerade Zahl ist geau da vollkomme, we sie die Form 2 r (2 r ) hat, wobei p = 2 r eie Primzahl ist Die Primzahle der Form 2 r sid die Mersee sche Primzahle Wir sehe also: Die gerade vollkomme Zahle etspreche bijektiv de Mersee sche Primzahle Für kleie Werte vo r erhält ma folgede Liste vollkommeer Zahle r p = = = = 828, die alle de Grieche bekat ware Ma ket zur Zeit 47 Mersee sche Primzahle, siehe die größte derzeit bekate Mersee sche Primzahl ist , daher ist die größte bekate vollkommee Zahl die Zahl ( ) Wir erier dara, dass 2 r höchstes da eie Primzahl sei ka, we r selbst eie Primzahl ist (28), ud dass zum Beispiel für r = die Mersee-Zahl 2 = 2047 = keie Primzahl ist, etspreched ist = 2 0 (2 ) = icht vollkomme: es ist σ()/2 = , also ist abudat Wir habe auch otiert, dass ma icht weiß, ob es uedlich viele Mersee sche Primzahle (also auch uedlich viele gerade vollkommee Zahle) gibt Hizuzufüge ist, dass ma keie eizige ugerade vollkommee Zahl ket auch dies eie offee Frage Beweis des Satzes Euklid zeigte scho: Ist p = 2 r eie Primzahl, so ist = 2 r p vollkomme Es ist ämlich σ() = σ(2 r p) = σ(2 r )σ(p) = (2 r )(p + ) = p 2 r = 2 p 2 r = 2

4 Leitfade Bielefeld WS 2009/0 5-4 Die Umkehrug stammt vo Euler Sei also eie gerade vollkommee Zahl Schreibe = 2 t m mit t maximal Da ist m ugerade ud es gilt σ() = σ(2 t )σ(m) = (2 t+ )σ(m) Da wir voraussetze, dass vollkomme ist, ist demach also (2 t+ )σ(m) = 2 = 2 t+ m, σ(m) m = 2t+ 2 t+ Rechts steht ei gekürzter Bruch, also etsteht der like Bruch aus dem rechte durch Erweiter: Es gibt demach s mit m = s(2 t+ ) σ(m) = s(2 t+ ) Nu ist σ(m) = σ(s(2 t+ )) die Teilersumme vo m = s(2 t+ ) Die Zahl m hat midestes die beide Teiler s ud s(2 t+ ) > s Die Summe dieser beide Teiler ist aber scho s(2 t+ ) = σ(m) Damit sehe wir, dass m keie weitere Teiler habe ka Isbesodere hat m ur zwei Teiler Die eizige Zahle, die geau zwei Teiler habe, sid die Primzahle Also sehe wir: m ist eie Primzahl ud für s als de kleiere der beide Teiler muss gelte s = Es gilt also m = 2 t+ ud, wie wir gezeigt habe, ist dies eie Primzahl Die Zahle H m = m i=t t et ma die harmoische Zahle Es sid dies die Partialsumme der (divergete!) harmoische Reihe, siehe Die Fuktio σ() ist ubeschräkt Beweis: Es ist σ() = d d = d d, de mit d ist auch ei Teiler vo d Betrachte die Zahl = m! Die Zahle, 2,, m sid Teiler vo, also ist ud demach σ() = d σ() m d m i= i, i= i = H m Da die harmoische Zahle ubeschräkt sid, folgt die Behauptug Zweiter Beweis: Es gilt: Ist quadratfrei, so ist σ() umittelbar aus 34 (für eie Primzahl p ist σ(p) = p + also σ(p) p aber M ( + ) M p p diverget ist = p ( + p ) Dies folgt = + ) Es ist p für jede edliche Mege M N, ud wir wisse, dass

5 5-5 Elemetare Zahletheorie 53 Die harmoische Reihe ud die Euler-Kostate γ I all usere Überleguge im Abschitt 4 ud jetzt i 5 ud 52 spielt die (divergete!) harmoische Reihe = eie herausragede Rolle: es ist dies gerade der Wert ζ() Die harmoische Reihe soll hier och eimal im Detail betrachtet werde Warum heißt die harmoische Reihe harmoische Reihe? Für die Folge a = gilt: a isr das harmoische Mittel vo a ud a +, für alle 2 (durch diese Bedigug ud die Startwerte a =, a 2 = 2 ist die harmoische Reihe eideutig bestimmt) Zur Erierug: Das harmoische Mittel zweier positiver Zahle a, b ist 2ab/(a + b) Sid 0 < a < b zwei positive reelle Zahle, so betrachtet ma üblicherweise das arithmetische Mittel A(a, b) = 2 (a + b), das geometrische Mittel G(a, b) = ab ud das harmoische Mittel H(a, b) = 2ab a+b Es gilt a < H(a, b) < G(a, b) < A(a, b) < b ud G(H(a, b), A(a, b)) = G(a, b) Die Divergez der harmoische Reihe geht auf Nikolaus vo Oresme ( ) zurück (i: Quaestioes super Geometriam Euclidis, 350) 53 Lemma Sei f : [0, [ R eie mooto fallede Fuktio mit ichtegative Werte Da ist die Reihe ( k= f(k) f(x) dx ) mooto falled ud koverget mit eiem Grezwert 0 α f() Hier wird das Itegral f(x) dx mit der Obersumme des Itegrals + f(x) dx zu de Stützstelle, 2,,, + vergliche: y x 2 3 +

6 Leitfade Bielefeld WS 2009/0 5-6 Der Limes liefert also de Flächeihalt der folgede schraffierte Fläche (sie besteht aus abzählbar viele Eizelstücke): y x Beweis: Zu betrachte ist also die Folge (a ) mit a = k= f(k) f(x) dx Offesichtlich ist a a +, de es ist a a + = + f(k) f(k) k= = f( + ) + = + k= + f(x) dx f(x) dx + (f(x) f( + )) dx 0, + f(x) dx da f(x) f( + ) für x + Die Zahle a sid icht egativ, also ist (a ) eie mooto fallede, ach ute beschräkte Folge, ud demach koverget Ist α der Gruzwert, so gilt atürlich 0 α f() Awedug Sei f(x) = x Die Zahl H = Zahl geat 532 Es gibt 0 < γ < mit k= k habe wir die -te harmoische γ = lim (H l()) Ma et γ die Euler-Kostate oder auch Euler-Mascheroi Kostate Die erste Stelle vo γ sid γ = 0,

7 5-7 Elemetare Zahletheorie Beweis: Wie gesagt, wir betrachte f(x) = x Es ist x d x = l(), also: ( ) γ = lim k= k x d x = lim (H l()) Ma weiß überrasched weig über diese Kostate Es ist icht eimal bekat, ob γ irratioal ist! Ud es gilt: ( lim s ζ(s) ) = γ s