5 Die komplexen Zahlen

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1 $Id: komplex.tex,v.6 00// :35: hk Exp $ $Id: folge.tex,v.3 00// :35:33 hk Exp hk $ 5 Die komplexe Zahle 5. Die komplexe Multiplikatio Wir hatte am Ede der letzte Sitzug die Polarkoordiate z r e(φ mit e(φ cos φ + i si φ, r z eier komplexe Zahl z eigeführt. Die komplexe Multiplikatio sieht i Polarkoordiate u sehr eifach aus, für alle r, s 0 ud alle Wikel φ, ψ R gelte re(φ se(ψ rs e(φe(ψ rs e(φ + ψ. Bei der Multiplikatio werde also die beide Läge miteiader multipliziert, ud die beide Wikel werde addiert. Die zweite Polarkoordiate φ wird oft auch als das Argumet der komplexe Zahl z bezeichet, ud mit dem Symbol φ arg z otiert. Wie scho bemerkt ist das Argumet ur bis auf Vielfache vo π festgelegt ud für z 0 ist es sogar völlig beliebig. Um eie gewisse Eideutigkeit zu erhalte schräke wir us auf Wikel φ mit φ < π ei, also π < φ < π. Wege e(π cos π + i si π werde da die positive Vielfache vo ausgeschlosse. Defiitio 5. (Hauptwert des Argumets Die geschlitzte komplexe Ebee ist die Mege C : C\R 0 ud für z C bezeiche wir das Argumet φ vo z mit φ < π als de Hauptwert vo arg z. Die hierdurch defiierte Fuktio heißt der Hauptzweig des Argumets. arg : C ( π, π Für z C habe wir also eideutig festgelegte Polarkoordiate r z, φ arg z we wir immer de Hauptwert des Argumets verwede. Diese Wahl ist atürlich icht die eizig mögliche, i viele Zusammehäge, wie beispielsweise im ächste Abschitt, ist die Normierug 0 φ < π passeder. Für de Momet wolle wir aber de Hauptwert verwede. Habe wir die komplexe Zahl z x + iy mit x, y R i cartesische Koordiate gegebe, so ist die Berechug der Polarkoordiate r, φ 9-

2 im Prizip icht schwer, es gilt aber eiige Fälle zu uterscheide. Die erste Polarkoordiate ist uproblematisch r z x + y. Zur Berechug vo φ habe wir verschiedee Gleichuge zur Auswahl cos φ x r, si φ y r ud im Fall x 0 auch ta φ si φ cos φ y x. Wir ehme z C a ud wolle für φ de Hauptwert des Argumets verwede, also φ < π. Das Problem ist das wir icht eifach irgedeie der trigoometrische Arcus Fuktioe verwede köe, da diese diese die zugehörige trigoometrische Fuktio immer ur auf eiem bestimmte Itervall der Läge π umkehre. Wir gehe der Reihe ach alle mögliche Berechugsmethode durch.. Der Weg über x/r cos φ. Der Arcus Cosius kehrt de Cosius zwische 0 ud π um, er ka also uverädert für z i eiem der erste beide Quadrate, d.h. für y 0 verwedet werde. Dort ist da φ arccos(x/r. I de adere beide Quadrate ist y < 0 also π < φ < 0. Damit ist 0 < φ < π ud cos( φ cos φ x/r also φ arccos(x/r ud somit φ arccos(x/r. Isgesamt ist damit φ sig(y arccos r { arccos(x/r, y 0, arccos(x/r, y < 0. Beachte das diese Formel auch für y 0 fuktioiert da wege z C da x > 0 ud φ 0 ist.. Der Weg über y/r si φ. Der Arcus Sius kehrt de Sius zwische π/ ud π/ um, er ka also uverädert für z im erste ud im vierte Quadrate verwedet werde, d.h. für x 0. Dort ist da φ arcsi(y/r. Nu sei z im zweite Quadrate, also π/ < φ < π. Da ist π φ (0, π/ mit si(π φ si φ y ( y ( y r π φ arcsi φ π arcsi. r r Ist z im verbleibede dritte Quadrate, so habe wir π < φ < π/ also ist (φ + π ( π/, 0 mit si( (φ + π si(φ + π si φ y ( y r (φ + π arcsi ( r ( y φ π + arcsi. r Isgesamt ist damit arcsi(y/r, x 0, φ π arcsi(y/r, x < 0, y > 0, (π + arcsi(y/r, x, y < 0. 9-

3 3. Der Weg über ta φ y/x. Der Arcus Tages kehrt de Tages zwische π/ ud π/ uter Ausschluß der Greze um, also für x > 0. Dort ist da φ arcta(y/x. Im zweite Quadrate uter Ausschluß der y-achse ist π/ < φ < π ud somit φ π ( π/, 0 mit ta(φ π ta φ y ( y ( y x φ π arcta φ π + arcta. x x Im dritte Quadrate habe wir schließlich π < φ < π/ also 0 < φ + π < π/ ud ta(φ + π ta φ y ( y ( y x φ + π arcta φ arcta π. x x Isgesamt ist damit arcta(y/x, x > 0, π/, x 0, y > 0, φ π + arcta(y/x, x < 0, y > 0, π/, x 0, y < 0, arcta(y/x π, x, y < 0. Für Pukte auf der egative x-achse, also x < 0, y 0, ist kei Hauptwert des Argumets festgelegt, we ma will ka ma für diese φ π setze. Dies ist auch das Ergebis das sich mit der erste Formel ergibt, de da ist arccos(x/r arccos( π. Wähle wir eie adere Normierug des Argumets so ergebe sich auch adere Formel. Eie oft verwedete alterative Normierug für die Werte φ des Argumets ist wie scho erwäht 0 φ < π. I dieser Normierug uterscheidet sich das Argumet φ vom Hauptwert ur im dritte ud vierte Quadrate also für y < 0. Dort muss π zum Hauptwert addiert werde. I der Arcus Cosius Formulierug ist damit beispielsweise { arccos(x/r, y 0, φ π arccos(x/r, y < 0. Etspreched ergebe sich auch Formel über de Arcus Sius beziehugsweise über de Arcus Tages. Mit Hilfe der Polarkoordiate beziehugsweise des komplexe Betrages köe wir auch defiiere wa eie Mege komplexer Zahle beschräkt sei soll. I hatte wir eie Mege M R beschräkt geat, we sie ach obe ud ach ute beschräkt ist ud wir hatte eigesehe, dass dies geau da der Fall ist, we es eie Zahl c 0 mit x c für alle x M gibt. Letztere Beschreibug ka ma leicht auf C erweiter. Defiitio 5.3: Eie Mege M R heißt beschräkt we es eie reelle Zahl c R mit c 0 ud z c für alle z M gibt. 9-3

4 Isbesodere ist eie M R geau da als Teilmege vo R beschräkt we sie als Teilmege vo C beschräkt ist. Da der komplexe Betrag der Abstad zum Nullpukt ist, ka ma alterativ auch sage, dass eie Teilmege M C geau da beschräkt ist, we sie Teilmege eies ausreiched grosse Kreises ist, we also die erste der beide Polarkoordiate auf M beschräkt ist. Weiter behaupte wir das eie komplexe Mege M C geau da beschräkt ist, we die reelle Mege Re(M : {Re z z M} ud Im(M : {Im z z M} beschräkt sid. Ist ämlich M C beschräkt, so gibt es ei c 0 mit z c für alle z M ud mit Lemma 3.(a folgt auch Re z z c ud Im z z c für alle z M. Sid umgekehrt Re(M ud Im(M beschräkt, so gibt es Kostate c, c 0 mit Re z c ud Im z c für alle z M. Ist also c : max{c, c } 0, so ist ach Lemma 3.(a auch für alle z M. 5.3 Komplexe Wurzel z max{ Re z, Im z } max{c, c } c Zur Behadlug vo Wurzel ist es am bequemste die ebe eigeführte Polarkoordiate zu verwede. Ageomme wir habe eie komplexe Zahl a C ud eie Expoete N mit gegebe, ud wolle a bereche, etwas geauer formuliert wolle wir also die Gleichug z a ach z C auflöse. Da es für a 0 ur die eideutige Lösug z 0 gibt, köe wir us auf de Fall a 0 beschräke. Wir schreibe a i Polarkoordiate a re(φ, die wir hier auf 0 φ < π ormiere. Mache wir für z i Polarkoordiate de Asatz z se(ψ mit s > 0, 0 ψ < π, so wird usere Gleichug zu z (se(ψ s e(ψ! re(φ. Dies gibt zum eie die Bedigug s r, der Betrag vo z ist also als s r eideutig festgelegt. Es verbleibt e(ψ e(φ. Hier führt die Mehrdeutigkeit des Argumets zu eier kleie Komplikatio, wir wisse ur das sich ψ ud φ um ei gazzahliges Vielfaches vo π uterscheide müsse, ud wege 0 ψ < π führt dies auf ψ φ + πk ψ φ + k π mit k N, 0 k <. Damit habe wir geau verschiedee komplexe Wurzel vo z re(φ ämlich { ( {w C w z} φ re + k π } k N, 0 k <. 9-

5 Ei besoders wichtiger Spezialfall liegt vor we a ist, we wir also die -te Wurzel der Eis bestimme wolle. Defiitio 5. (Eiheitswurzel Sei N mit. Eie komplexe Zahl z C heißt eie -te Eiheitswurzel we z ist. Ist i userer Rechug a, so sid die Polarkoordiate gegebe als r ud φ 0, also ergibt sich die Mege E der -te Eiheitswurzel als { ( πk E e k N, 0 k < }, also liege die -te Eiheitswurzel alle auf dem Eiheitskreis ud bilde die Ecke eies reguläre -Ecks, dies ist ei -Eck i dem alle Seiteläge ud alle Iewikel gleich sid. Wir fasse diese Überleguge ud eiige umittelbare Folgeruge jetzt i eiem Satz zusamme. Satz 5. (Komplexe Wurzel Sei N mit ud setze ζ : e ( π cos π + i si π. Da bildet die Mege E der -te Eiheitswurzel ei i de Eiheitskreis eigeschriebees reguläres -Eck ud es gilt E {ζ k k N, 0 k < }. Ist 0 a C eie beliebige komplexe Zahl, so hat a i C geau verschiedee -te Wurzel, die alle de Abstad a vom Nullpukt habe ud die Ecke eies reguläre -Ecks bilde. Ist a re(φ mit r, φ R, r > 0 so ist re(φ/ eie -te Wurzel vo a. Ist w eie beliebige -te Wurzel vo a, so ist {z C z a} {ζ k w k N, 0 k < }. Beweis: Für jedes k N mit 0 k < habe wir ( ( πk e e k π ( k π e ζ k, ud damit ist die Aussage über die Eiheitswurzel bewiese. Sei jetzte a C\{0}. Wir habe obe bereits alles bis auf die letzte Aussage über die -te Wurzel vo a eigesehe. Ist w C mit w a, so ist isbesodere w 0 ud für jedes z C bestehe damit die Äquivaleze ( z z a z w z w w E (k N, 0 k < : z w ζk. 9-5

6 Die restliche Aussage habe wir bereits obe eigesehe. Die Eiheitswurzel spiele also so i etwa die Rolle vo Vorzeiche -ter Wurzel. Hat ma eie Quadratwurzel a, so sid die beide mögliche Quadratwurzel die beide Werte ± a. Hat ma dagege eie -te Wurzel a, so ergebe sich die adere -te Wurzel durch Multiplikatio mit de -te Eiheitswurzel. Zur exakte, also icht umerische, Auswertug komplexer Wurzel ist es hilfreich möglichst viele Werte der trigomometrische Fuktioe zu kee, beispielsweise φ cos φ si φ ta φ π/6 3/ / / 3 π/5 ( + 5/ (5 5/ 5 5 π/ / / π/3 / 3/ 3 π/ 0 π Diese Werte dürfte Sie auch i Ihrer Formelsammlug fide. Ma ka sie alle geometrisch über die Defiitio der trigoometrische Fuktioe über rechtwiklige Dreiecke begrüde, der Wikel π/5 ist aber scho etwas trickreicher ud hägt mit der Kostruktio des reguläre Füfecks mit Zirkel ud Lieal zusamme. Wir wolle dies hier icht vorführe, ud akzeptiere die Tabelle a dieser Stelle eifach. Weitere Werte ka ma da über Periodizitätseigeschafte ud die Additiostheoreme bereche. Oft ützlich sid isbesodere die Halbierugsformel, a die wir us jetzt kurz erier wolle. Wir starte mit dem Additiostheorem cos(x cos x si x cos x si x. Setze wir hier x/ statt x ei, so wird diese Formel zu cos x cos si. Für π x π ist π/ x/ π/ also cos(x/ 0 ud somit + cos x cos cos ( π x π. Mit dem Sius köe wir ählich reche. Für 0 x π ist 0 x/ π also si(x/ 0. Damit ist cos x si. 9-6

7 Ist schließlich 0 x < π, so ist ta si ( x cos ( x cos x + cos x ( cos x ( + cos x ( + cos x cos x ( + cos x si x ( + cos x si x + cos x. Erweitert ma mit cos x statt mit + cos x, so ergibt sich für 0 < x < π die alterative Formel ta cos x si x. Zum Beispiel sid ( π cos(π/6 si 3 6, + cos(π/6 6 + ( π cos ( π ta cos(π/6 si(π/ Mit all diese Formel ausgestattet kehre wir jetzt zu userem Eigagsbeispiel zurück. Mit p 3/50, q /50 ud x x 50 0 D 08q + p 3 + 8q 5 33 ( + i ( + i erhalte wir mit der Cardao-Formel eie Lösug x 3 D 6 p 3 D. Wir müsse also die dritte Wurzel vo D bereche 3 D i. Die Polarkoordiate vo + i sid r ud φ π/, also 3 ( 6 π ( ( π ( π + i e /6 cos + i si ( /6 + i /3 ( i( 3,, 9-7

8 ud somit 3 D 3 5 /3 3 + i 3 0 ( i( 3. Als Lösug der Gleichug dritte Grades erhalte wir 3 D x 6 3 p D 0 ( i( ( i( ( i( i( Reelle ud komplexe Zahlefolge Defiitio 6.: Eie Folge i eier Mege M ist eie Abbildug a : N M. Dabei ee wir a : a( für N das -te Folgeglied. Wir schreibe eie Folge meist icht i Fuktiosschreibweise soder verwede Name wie (a N oder alterativ (a 0. Etwas allgemeier betrachte wir auch Folge mit adere Startwerte als Null, d.h. ist 0 N so ist eie Folge mit dem Startwert 0 eie Abbildug a : { N 0 } M, üblicherweise geschriebe als (a 0. Um die Notatio icht zu überlade spreche wir meist eifach vo Folge (a N, implizit sid damit aber auch immer Folge mit beliebige Startwert gemeit auch we wir dies icht extra hischreibe. Wir werde im Laufe dieses Kapitels och viele Beispiele vo Folge sehe, daher gebe wir hier ur zwei eifache Beispiele a. Für N mit sei a :, wir betrachte also die Folge (. Dies ist eie Folge mit dem Startwert 0. Solche reelle Zahlefolge ka ma sich graphisch durch Himale ihres Graphe veraschauliche, dieser besteht da ur aus diskrete Pukte. Machmal werde diese aus optische Grüde och miteiader verbude, diese Verbiduge habe da aber keie ihaltliche Bedeutug ud diee ur zur Illustratio. Als ei Beispiel eier komplexe Folge ehme wir (( + i N. Da + i i Polarkoordiate gleich + i e(π/ verteile sich die Glieder der Folge auf acht vom Nullpukt ausgehede Achse. Da die Werte recht groß werde, ist diese Folge im utestehede Bild logarithmisch skaliert dargestellt. Eie komplexe Folge ka ma sich veraschauliche idem die Glieder a 0, a, a,... i die Gaußsche Zahleebee eigezeichet werde, die Iformatio über de jeweilige Folgeidex geht dabei aber verlore. 9-8

9 a / a ( + i Adere komplexe Folge Zu Begi userer Utersuchuge stelle wir eiige der immer wieder verwedete Gruddefiitioe zusamme. Defiitio 6.: Sei (a N eie Folge i eier Mege M. Eie Teilfolge vo (a N ist eie Folge der Form (a k k N wobei 0,,,... N mit 0 < < < sid. Eie Teilfolge durchläuft also eiige, aber icht ubedigt alle, der Folgeglieder der Origialfolge i geau derselbe Reihefolge. Beispielsweise ist ( ( eie Teilfolge vo. N Die ächste Defiitio ist ur och auf reelle beziehugsweise komplexe Folge awedbar. Defiitio 6.3: Sei K {R, C}. Eie Folge (a N i K heißt beschräkt, we die Mege {a N} beschräkt ist, we es also eie Kostate c 0 mit a c für alle N gibt. Die dritte ud letzte dieser Defiitioe ist sogar ur och auf reelle Folge awedbar. Defiitio 6.: Sei (a N eie reelle Folge, d.h. eie Folge i der Mege R. Da heißt die Folge (a N (a mooto steiged, we a a + für alle N gilt. (a streg mooto steiged we a < a + für alle N gilt. (c mooto falled, we a + a für alle N gilt. (d streg mooto falled, we a + < a für alle N gilt. (e ach obe beschräkt, we die Mege {a N} ach obe beschräkt ist, we es also ei c R mit a c für alle N gibt. (f ach ute beschräkt, we die Mege {a N} ach ute beschräkt ist, we es also ei c R mit a c für alle N gibt. 9-9