Eulersche Summationsformel

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1 Eulersche Summatiosformel ei Prosemiarvortrag Sve Grützmacher Betreut vo Dr. Kaste Cotets Vorwort Die eifache Formel 3 Die allgemeie Formel 5 4 Awedug 7

2 VORWORT Vorwort Dieser Prosemiarvortrag beschäftigt sich mit eier Formel die vieles vermag. Zum eie stellt sie eie Beziehug zwische Summe/Reihe ud Itegrale her, zum adere liefert sie us eie Möglicheit gewisse Summe ud Reihe zu bereche / zu approximiere. Natürlich ist der Schöheitsaspet icht zu verachlässige! Rude Itegrale sid scho eifach schöer als ecige Summe. Als Beispiel betrache wir aus dem Letze vortrag: Itegralriterium: Es sei f:[, ) R eie mooto fallede Futio mit f. Da overgiert die Folge a := f() = + f(x)dx ud es gilt: lim a f() Nach diesem Vortrag werde wir für z.b.: die Futio f(x) = /x geauere Aussage über de Grezwert treffe öe.

3 DIE EINFACHE FORMEL Die eifache Formel Wede wir us der eifache Formel zu. Eifach bedeutet hierbei, dass wir us zuerst auf C -Futioe beschräe. Eie zetrale Rolle spielt hierbei die folgede periodische Futio H. R R { H(x) := x [x] x x R\Z x Z wobei [x] = max{z Z z x} Mit Hilfe dieser Futio öe wir u die erste Formel agebe welche us eie Zusammehag zwische Summe ud Itegral liefert. Eulersche Summatiosformel (eifache Versio) Ist f : [, ] C, N stetig diff bar, so gilt: f() = = f(x)dx + (f() + f()) + H(x)f (x)dx aalog gilt diese Formel auch für [,] Beweis: wir betrachte für Z Partielle Itegratio liefert us hierbei + f(x)dx + f(x)dx = ( x ) f(x) + + ( x ) f (x)dx Da sich der hitere Itegrad ur i de beide Radpute vo Hf uterscheidet gilt: + f(x)dx = + (f( + ) + f()) H(x)f (x)dx

4 DIE EINFACHE FORMEL Summiert ma dies u vo = bis = auf ergibt sich: f(x)dx = = (f( + ) + f()) + H(x)f (x)dx = f() + (f() + f()) H(x)f (x)dx = durch addiere vo (f() + f()) auf beide Seite ud umstelle erhält ma die gewüschte Formel. Beispiel : als Beispiel schaue wir us die Zeta-Futio a (f(x) = x s ; s > ). Es gilt: s = dx x s + ( + ) H(x) s s dx xs+ = für s > ud folgt: ζ(s) = s + s da u trivialer-weise gilt: H(x) gilt: s H(x) x s+ H(x) x s+ s x s+ < ud somit erhält ma auch für < s < Werte für die Zeta Futio. Betrachte wir u als Awedug och die Trapezregel. Hierbei habe wir u eie reelle C -Futio. Da a ma da das Itegral über Hf och eimal partiell itegriere. Betrachte dazu { [, ] R Φ x (x x) Setzt ma diese Futio -Periodisch auf R fort erhält ma eie Stammfutio vo H mit Φ() =. Wege er(φ) = Z gilt: H(x)f (x)dx = Φ(x)f (x)dx 3

5 DIE EINFACHE FORMEL Beutzt ma u de Mittelwertsatz fidet ma ei ξ [, ] so dass: Daraus folgt u: Φ(x)f (x)dx = f (ξ) Lemma Φ(x)dx = f (ξ) Φ(x)dx = f (ξ) f(x)dx = (f() + f()) + f() f (ξ) = Nimmt ma sich u eie beliebige C -Futio g : [a, b] R auf eiem beliebige Itervall ergibt sich: Trapezregel b a g(t)dt = T (h) b a h g (τ) τ [a, b] mit h = b a T (h) = h ( ) g(a) + g(b) + g(a + h) = Beweis: sei φ : { [, ] [a, b] x φ(x) = x h + a = x ( b a ) + a 4

6 3 DIE ALLGEMEINE FORMEL Da ist φ stetig diff bar ud es gilt: φ() = a ud φ() = b. Es gilt ach der Trafo- Formel: [subst] b a [ φ(x) = b a [Lemma] g(t)dt = = h] = h = h = h g(φ(x))φ (x)dx g(φ(x))dx [ g(φ()) + g(φ()) [ g(a) + g(b) + = ] g(φ()) (g φ) (ξ) + = g(h + a) (g φ) (ξ) ] ξ [, ] mit (g(φ(x)) = g (φ(x))φ (x) = g (φ(x)) h g(φ(x)) = g (φ(x)) h gilt: τ [a, b] : b a g(t)dt = T (h) g (φ(τ)) h 3 = T (h) b a g (τ) h Bemerug Ma sieht hier schö, dass ma Itegrale ur durch die Agabe eier disrete Putemege aäher a. De: b g(t)dt T (h) b a h g [a,b] 3 Die allgemeie Formel a Nu omme wir zum Hauptteil des Vortrags. Die Allgemeie Eulersche Summeformel gibt us eie Zusammehag zwische Summe ud Itegral. Vor allem aber lässt dies auch Aussage über die Grezwerte zu! Für eie mehrmals stetige Futio f : [, ] C a ma die Summatiosformel durch wiederholtes partielles Itegriere immer weiter verfeier. Dazu beötige wir jedoch wieder eie Futio H, bzw i userem Fall eie Folge (H ) vo Futioe: N; H : R R mit: (H.) (H ) = H ; ud H := H (Stammfutio) (H.) H (x) = 5

7 3 DIE ALLGEMEINE FORMEL Für sid die H alle stetig ud habe Periode. Dies ist für H trivial ud für de Rest folgt idutiv mit (H.): Es gilt außerdem die sog. H + (x + ) H + (x) = x+ H (t)dt = H (t)dt = x Ergäzugsregel H (x) = ( ) H ( x) = H (x) Beweis: Die Folge (H ) ist eideutig bestimmt. (H.) liefert die Eideutigeit bis auf Additio eier Kostate, da Stammfutioe soweit eideutig sid. (H.) setzt da fest, wie diese Kostate aussieht. Wir zeige also u, dass usere Lie Folge die selbe beide Eigeschafte erfüllt. Für H ist dies trivial, sei also : (H.) (( ) H ( x)) = ( )( ) H ( x) = ( ) H ( x) (H.) ( ) H (x)dx = ( ) H (x)dx = für ugerade a ma auch och leicht zeige, dass H () =, Z Beweis: H ( ) per. = H () erg. = H ( ) Beh. Was bisher geschah: Dee wir zurüc a die Berouilli-Polyome eret ma, dass für x (, ) gilt: H (x) =! B (x) ; : H () =! B (Berouilli-Zahle) Beweis : Ma eret leicht, dass! B (x) die selbe Eigeschafte wie H(x) erfüllt. Nach der eideutigeit der Folge (H ) müsse diese da übereistimme. Dazu: Beh. ( )! B (x) =! (B (x)) =! B (x) = ( )! B (x) ()! B (x)dx = B (x)dx = (B() B()) =!! () 6

8 4 ANWENDUNG Nu aber zurüc. Sei u f : [, ] C eie C + -Futio mit N. Eulersche Summatiosformel - Allgemei f(i) = f(x)dx + (f() + f()) + H j ()f (j ) + R(f) i= j= dabei ist R(f) = H j+ f (j+) dx Beweis: Wie ma leicht eret, stimmt der erste Teil mit der alte Formel überei. Deshalb betrachte wir ur de hitere Teil ud zeige H(x)f (x)dx = H j ()f (j ) + R(f) j= Ich zeige hier die erste Schritte. Wir itegriere partiell: H (x)f (x)dx = H (x)f (x) H (x)f (x)dx H (x)f (x)dx = f (x) f (x)dx H (x)f (x)dx = H (x)f (x) H 3(x)f (x) + f (x)dx Da jetzt aber gilt, dass H (Z) = für ugerade, folgt: H (x)f (x)dx = H (x)f (x) + Führt ma dies weiter erhält ma die gewüschte Formel. 4 Awedug f (x)dx Die allgemei Formel a ma u sichtlich zum Bereche vo Summe mit Hilfe der Itegrale beutze. Durch das selbe Verfahre wie scho bei der Trapezregel a ma die Formel auch wieder i eie Form brige, mit der sich itegrale leichter löse lasse. Schaue wir us u aber die Summeforml für eie C 3 -Futio a. Diese lautet ausgeschriebe: 7

9 4 ANWENDUNG f(i) = f(x)dx + (f() + f()) + (f () f ()) + f (3) (x) i= Diese Formel öe wir u für f(x) = /x beutze um die Euler-Kostate auszureche. f(i) i= Für folgt u: f(x)dx = l() (3) = ( + ) + ( ) 6 x 4 dx (4) γ = + 6 x 4 dx Forme wir u zum verstädis die obere Gleichug ()&() eimal um, so folgt: f(i) i= f(x)dx = + 6 x 4 dx Subtrahiert ma u de Rest dea Itegrals auf beide Seite erhält ma: f(i) i= f(x)dx 6 x 4 dx = + 6 Da H 3 <, de H 3 immt sei Maximum bei a folgt: x 4 dx 3 3 Somit erhalte wir für z.b.: = : γ = R mit R < 5 x 4 dx = γ 8