24 Konvergente Teilfolgen und Cauchy-Kriterium

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1 120 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium Lerziele: Kozepte: Teilfolge, Häufugswerte, Limes superior ud iferior, Cauchy-Folge Resultate: Satz vo Bolzao-Weierstraß, Cauchysches Kovergezriterium Kompeteze: Bestimmug vo Häufugswerte, Beweisführuge mittels obiger Resultate Frage: Zeige Sie die Kovergez des ueigetliche Itegrals π Beispiel. Gegebe sei eie Folge (a ) = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9,...), six x dx! etwa(a ) = ( ( 1) ). DurchAussoderuggewisserFolgegliedererhältmaTeilfolge vo (a ), etwa (a 2j ) = (a 2, a 4, a 6, a 8, a 10,...) = ( 1 2, 1 4, 1 6, 1 8, 1 10,...), (a 2j 1 ) = (a 1, a 3, a 5, a 7, a 9,...) = ( 1, 1 3, 1 5, 1 7, 1 9,...), (a 2 j) = (a 2, a 4, a 8, a 16, a 32,...) = ( 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32,...). Es ist (a 2 j) auch eie Teilfolge vo (a 2j ), icht aber vo (a 2j 1 ). Der Begriff Teilfolge a formal so erlärt werde: 24.1 Defiitio. Es seie a = (a ) eie Folge ud ϕ : N N eie streg mooto wachsede Abbildug. Da heißt die Kompositio a ϕ Teilfolge vo a. Ma schreibt j := ϕ(j) ud (a j ) für a ϕ. I obigem Beispiel hat ma j = ϕ(j) = 2j, 2j 1 oder 2 j Feststellug. Für eie Folge (a ) i R gelte lim a = l. Da gilt auch lim j a j = l für jede Teilfolge (a j ) vo (a ). Die Teilfolge i obigem Beispiel sid alle mooto, was auf die ursprügliche Folge (a ) = ( ( 1) ) icht zutrifft. Allgemei gilt: 24.3 Lemma. Jede Folge (a ) i R hat eie mootoe Teilfolge. Beweis s. [A1], Theorem (Bolzao-Weierstraß). Jede beschräte Folge i R hat eie overgete Teilfolge.

2 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium 121 Dies folgt sofort aus Lemma 24.3 ud Theorem Der Satz vo Bolzao-Weierstraß a auch ohe Verwedug vo Lemma 24.3 mit Hilfe vo Itervallhalbieruge bewiese werde Defiitio. Eie Zahl h R heißt Häufugswert eier Folge (a ), falls diese eie Teilfolge mit a j h besitzt. Λ(a ) bezeiche die Mege aller Häufugswerte vo (a ). Bemeruge. a) Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß besitzt jede beschräte Folge eie Häufugswert. b) Aus lim a = l folgt Λ(a ) = {l} (vgl. Feststellug 24.2). c) Es gilt geau da h Λ(a ), falls zu jedem ε > 0 uedlich viele N mit a h < ε existiere. d) Gilt a C oder a c für alle N, so folgt auch h C oder h c für alle h Λ(a ) Defiitio. Es sei (a ) eie ach obe beschräte Folge i R mit Λ(a ) ; z.b. sei (a ) beschrät. Da heißt limsupa := sup Λ(a ) (1) der Limes superior der Folge (a ) Satz. Für eie ach obe beschräte Folge (a ) i R mit Λ(a ) gilt limsupa Λ(a ), also limsupa = max Λ(a ). Weiter hat ma: ε > 0 j 0 N j j 0 : a j < limsupa + ε. (2) Beweis s. [A1], I der Situatio vo Defiitio 24.6 ist also limsupa der größte Häufugswert der Folge (a ). Aussage (2)beihaltet eie Seite der Kovergezbedigug (6.2).Die adereseite läßt sich mit Hilfe des Limes iferior formuliere: 24.8 Defiitio. Es sei (a ) eie ach ute beschräte Folge i R mit Λ(a ) ; z.b. sei (a ) beschrät. Da heißt limifa := if Λ(a ) (3) der Limes iferior der Folge (a ) Satz. Für eie ach ute beschräte Folge (a ) mit Λ(a ) gilt limifa Λ(a ), also limifa = mi Λ(a ). Weiter hat ma: ε > 0 j 0 N j j 0 : a j > limifa ε. (4) Dies ergibt sich aalog zu Satz 24.7 oder daraus durch Übergag zu ( a ) Feststellug. Eie Folge (a ) i R ist geau da overget, we sie beschrät ist ud limifa = limsupa gilt.

3 122 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel Beispiele. a) Die Folge (( 1) ) hat die beide Häufugswerte 1 ud 1; folglich gilt limsup( 1) = 1 ud limif( 1) = 1. b) Nach S. 19 gibt es eie Folge (r ), die die Mege Q (0,1) durchläuft. Da ist Λ(r ) = [0,1], also limsupr = 1 ud limifr = 0. Wurzel- ud Quotieteriterium öe u etwas allgemeier gefaßt werde: Satz (Wurzelriterium). Es sei 0 für N. Existiert w := limsup (5) ud ist w < 1, so ist overget. Gilt aber 1 für uedlich viele Idizes, so ist diverget Satz (Quotieteriterium). Es sei > 0 für N. Existiert v := limsup +1 (6) ud ist v < 1, so ist overget. Gilt aber +1 1 ab eiem 0 N, so ist a diverget. Beispiele ud Bemeruge. a) Hireiched für die Divergez vo sid auch w = limsup > 1 oder limif +1 > 1, icht aber limsup +1 > 1 : b) Es sei = 2 für gerade ud = 3 für ugerade. Wege +1 = 1 3 (2 3 ) für gerade ud +1 = 1 2 (3 2 ) für ugerade ist limif +1 = 0, ud limsup +1 ( = ) existiert icht. Trotzdem ist die Reihe overget, was sich wege limsup = 1 < 1 sofort aus dem Wurzelriterium ergibt Defiitio. Eie Folge (a ) i R heißt Cauchy-Folge, falls gilt: ε > 0 0 N,m 0 : a a m < ε. (7) Bemeruge. a) Bedigug (7) ist die übliche Formulierug des Begriffs der Cauchy-Folge. Eie etwas eifachere äquivalete Formulierug lautet: ε > 0 m N m : a a m < ε. (8) b) Aus (8) folgt sofort, daß eie Cauchy-Folge beschrät ist Theorem (Cauchysches Kovergezriterium). Eie Folge (a ) i R ist geau da eie Cauchy-Folge, we sie overget ist. Beweis. folgt sofort aus der Dreiecs-Ugleichug. : Eie Cauchy-Folge (a ) ist beschrät ud hat daher ach dem Satz vo Bolzao-WeierstraßeieovergeteTeilfolgea j l. MitHilfederCauchy-Bedigug folgt daraus da auch lim a = l. Eie adere Beweis mittels Itervallschachteluge fidet ma i [A1], 6.9.

4 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium 123 Zur Axiomati vo R. Aus Theorem 6.14 folgt der Satz vo Bolzao-Weierstraß mittels Lemma 24.3, ud aus diesem das Cauchysche Kovergezriterium Umgeehrt folgt aus diesem sofort wieder Theorem 6.14 (vgl. [A1], 6.12): Erfüllt eie mooto wachsede Folge die Cauchy-Bedigug icht, so a sie icht beschrät sei. Somit sid auch Theorem 24.4 ud Theorem mögliche Formulieruge der Vollstädigeit vo R. Kostrutioe vo R fidet ma i [A1], Abschitt 15*. Die Eulersche Kostate. a) Wie i Satz 23.4 sei f C[1, ) mooto falled mit lim f(x) = 0. Nach (23.7) habe die Summe f() ud die Itegrale F() := x 1 f(x)dx für das gleiche Kovergez- oder Wachstumsverhalte. Dies a och präziser gefaßt werde: Wie i (23.7) gilt auch m f() m f(x)dx = F(m) F() m f( 1). =+1 =+1 b) Für die Folge (δ := f() F()) ergibt sich daraus für < m: 0 δ δ m = F(m) F() m m =+1 =+1 f( 1) m =+1 f() f() = f() f(m). Wege lim f(x) = 0 ist somit (δ ) eie (mooto fallede) Cauchy-Folge. Für de x Limes δ := lim δ erhält ma mit m sofort die Fehlerabschätzug 0 δ δ f(). c) Im Fall f(x) = 1 x hat ma F() = log ach (18.12). Der Limes γ := lim γ := lim ( 1 log) (9) heißt Eulersche Kostate. Für diese gilt also 0 γ γ 1. Es werde eiige Zahlewerte otiert: h = 1 log γ 2 1, 5 0, , , , , , , , , 45 1, , , , , , , , , , , , , , , , , 57727

5 124 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel Scheller overgete Berechuge (vgl. [A1], 41.12*) ergebe de Wert γ = 0, Es ist icht beat, ob γ ratioal ist. Die alterierede harmoische Reihe overget. Mit de γ aus (9) berechet ma ( 1) +1 ist ach dem Leibiz-Kriterium 2 ( 1) +1 = = 2 1 2j j=1 =+1 = γ 2 +log2 γ log = γ 2 γ +log2, ud mit ergibt sich ( 1) +1 = log2 = (10) Es gilt das folgede Cauchysche Kovergezriterium für Grezwerte vo Futioe: Satz. Für eie Futio f : (a,b) R existiert geau da der Grezwert f(b ) = lim x b f(x), we folgedes gilt: ε > 0 δ > 0 x,y (b δ,b) : f(x) f(y) < ε. (11) Beweis s. [A1], Satz gilt atürlich auch für rechtsseitige ud beidseitige Grezwerte sowie etspreched für Grezwerte i ± Satz. Für f C[a,b) ist das ueigetliche Itegral b a f(x)dx geau da overget, falls das folgede Cauchysche Kovergezriterium erfüllt ist: ε > 0 c I c < y 1 < y 2 I : y 2 y 1 f(x)dx < ε. (12) Dies gilt etspreched auch im Fall I = (a,b]. Beispiele. Dasueigetliche Itegral π ist diverget, vgl. [A1], six dx overgiert, x π six x dx dagege