Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2013

Transkript

1 Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2013

2 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir

3 Überblick Mittelwertsatz Differetialrechug Natürliche Zahle Iduktiosprizip Kombiatorik Körper Die Zahl Pi Hyperbolische Fuktioe Defiitioe Polarkoordiate i der Ebee Expoetialfuktioe, trigoometrische Fuktioe Zahle Reelle Zahle komplexe Zahle Ordug/Metrik Vollstädigkeit Ifimum/Supremum Wurzel Überabzählbarkeit Begriffe ud Charakterisieruge Recheregel Zwischewertsatz kompakte Mege Stetige Fuktioe/Grezwerte Aalysis I WS 2006/2007 Uiversität Siege Fuktioe Polyome Ratioale Fuktioe abstrakte Grudbegriffe Gleichmäßige Kovergez Kovergez Kovergez Kovergezkriterie Summierbare Familie Potezreihe Reihe Folge Kovergezkriterie Bolzao Weierstraß Häufugswerte Cauchy Kriterium Mootoie Kriterium

4 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo R (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a+ b= b+ a, ab = ba. sid (K2) Additio ud Multiplikatio sid assoziativ: a+ b + c= a+ b+ c ( ) ( ) ab c = a bc ( ) ( ),

5 (K3) folgede Gleichuge sid lösbar: a+ x = b ax = b im Fall a 0. (K4) Es gilt das Distributivgesetz ab ( + c) = ab+ ac.

6 2.2 Aordug vo R (A1) Für jede reelle Zahl gibt es geau eie der drei Relatioe a> 0, a= 0, a> 0. (A2) Aus a> 0 ud b> 0 folge a+ b> 0 ud ab> 0. (A3) Zu jeder reelle Zahl es eie atürliche Zahl a > gibt so, daß 0 (Archimedisches Axiom) a

7 Beroullische Ugleichug: Für x R mit x> 1, x = ( x) 2,3,... gilt 1+ > 1 + x. Satz 1: Es sei > 0 ud 0. Da gilt a) Ist q> 1, so gibt es zu jedem K R ei N so, dass q > K. q b) Ist 0 < q< 1, so gibt es zu jedem ε >0 ei N so, dass q < ε.

8 Der Absolutbetrag. Für a R setze ma a a falls a 0, = a falls a < 0. Re gel : ab = a b, a+ b a + b, a b a b.

9 2.3 Die Vollstädigkeit vo R Defiitio: Eie Itervallschachtelug ist eie Folge I, I, I,...kompakter Itervalle, kurz ( ) ( ) I ( ) mit de beide Eigeschafte: I.1 I I für 1,2,3,.... = + 1 ε >0 gibt es ei Itervall I mit der I.2 Zu jedem Läge I < ε.

10 Die Vollstädigkeit vo R besteht i der Gültigkeit der Aussage: (V) Zu jeder Itervallschachtelug i R gibt es eie reelle Zahl, die alle Itervalle agehört. (Itervallschachtelugsprizip) best eht b e s t e h t Satz 2 (Existez vo Wurzel) Zu jeder reelle Zahl x> 0 ud jeder atürliche Zahl gibt es geau eie reelle Zahl y > 0 mit y k = x. k

11 Obere ud utere Schrake Eie Mege M heißt ach obe bzw. ute beschräkt, we es ei s M gibt so, dass für jedes x M gilt x s bzw. s x Supremum ud Ifimum Eie Zahl s heißt Supremum der Mege M, falls s die kleiste obere Schrake für M ist; d.h. () i s ist eie obere Schrake für M, ud ( ii) jede Zahl s < s ist keie obere Schrake für M.

12 Satz 3 (Supremumseigeschaft vo ) Jede ach obe (ute) beschräkte, icht leere Mege M R besitzt ei Supremum (Ifimum). Satz 4 Jede ach obe (ute) beschräkte, icht leere Mege gazer Zahle ethält eie größte (kleiste) Zahl. Satz 5 Zu je zwei reelle Zahle xy, mit x< y eie ratioale Zahl q mit x< q< y. Ma sagt: R liegt dicht i R. gibt es

13 Lemma: Die Mege R ist abzählbar. Satz 6 Der Körper R ist abzählbar. Satz 7 Der Körper R ist icht abzählbar. Defiitio komplexer Zahle durch Paare reeller Zahle : ( ) Eie komplexe Zahl ist ei Elemet z: = x, y der Mege R R, i welcher wie folgt addiert ud multipliziert wird: ( xy) + ( uv) = ( x+ uy+ v) ( xy) ( uv) = ( xu yvxv+ yu) (A),, :,, (M),, :,.

14 Satz Die Mege der komplexe Zahle mit der Additio (A) ud der Multiplikatio (M) bildet eie Körper. Dieser wird mit C bezeichet. I ihm hat die Gleichug Die Kojugatio 2 z = Für z= x+ iy ( x, y R) setzt ma z : = x iy Recheregel a) z+ w= z + w, zw= z w, b) z+ z = 2Re z, z z = 2iIm z, c) zz = z geau da, we z C, 1 zwei Lösuge. 2 2 d) zz = x + y ; zz ist also reell ud 0.

15 Betrag eier komplexe Zahl z Daruter versteht madie icht egative Zahl Recheregel z zz x y 2 2 : = = +. a) z > 0 für z 0, b) z = z, c) Re z z ud Im z z, d) z w = z w, e) z+w z + w. Fudametalsatz der Algebra Jede Gleichug z + a z + K + a z+ a = 0 ( > 0) mit komplexe Koeffiziete eie Lösug. besitzt i a k midestes

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19 4 F uktioe 4.1 Grudbegriffe Defiitio Uter eier Fuktio auf eier Mege X mit Bilder (Werte) i eier Mege Y versteht ma eie Vorschrift f, die jedem Elemet x X ( ) eideutiger Weise eie Elemet f x i Y zuordet. Ist Y = R so spricht ma vo eier reelwertige ud im Fall Y= C vo eier komplexwertige Fuktio. Symbolisch: X Y f : x a f ( x) v o e i e r i

20 Umkehrug vo Fuktioe Sei f : X Y ijektiv. ( ) ( ) Ijektiv bedeutet, dass es zu jedem Fuktioswert y f X geau ei x X mit y= f x gibt. ( ) Die Vorschrift g, die jedem y f X dieses sogeate Urbild x zuordet, heißt die Umkehrfuktio zu f : ( ) ( ) ( ) g: f X X, g f x = x.

21 Mootoie Eie Fuktio f : X R auf eier Mege X R heißt (streg) mootio wachsed bzw. (streg) mooto falled, we für alle Paare x, x X mit x < x die Ugleichug bzw ( f ( x1) < f ( x2) ) f ( x1) f ( x2) ( f ( x1) > f ( x2) ) f ( x1) f ( x2) gilt.

22 Algebraische Operatioe Zu f, g: X C defiiert ma die Fuktioe f + g, f g auf X ud { ( ) } f g auf x X : g x 0 durch: ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) ( f g) = f ( x) g( x) f g ( x) :, :, ( x) ( ) f : =. g x Ma defiiert ferer f, Re f ud Im f durch f ( x) : = f ( x), ( f )( x) = f ( x) ( f )( x) = f ( x) Re : Re, Im : Im.

23 Zusammesetzug vo Fuktioe Der Wertebereich der Fuktio f : X Y sei ethalte im Defiiotiosbereich eier weitere Fuktio g: Y Z. Diese Situatio kezeichet ma oft durch das Diagramm f g X Y Z. Die zusammegesetzte Fuktio g o f : X Z ist da defiiert durch ( ) ( go f )( x) = g f ( x) :.

24 Potezfuktioe mit ratioale Expoete Die gazzahlige Poteze eier Zahl x 0 geüge dem Gesetz m+ m x = x x. ϕ ϕ( ) = x Additiosth D.h. die Fuktio :, : erfüllt das eorem ( m+ ) = ( m) ( ). ϕ ϕ ϕ Satz Es gibt geau eie Fuktio Φ: R R mit Φ = x, x> 0, für ud Φ ( r+ s) =Φ( r) Φ( s) für alle r, s. ( ) Die Lösug dieses Fortsetzugsproblems lautet r q p ( r) x : x, Φ = = wobei r = p, p ud q gaz, q > 0. q

25 4.2 Polyome Ei Polyom ist eie Fuktio, die i der Gestalt 1 ( ) f x = a x + a x + K + a x+ a darstellbar ist. Dabei sid a0, a1, K, a komplexe Zahle. Satz vo der Divisio mit Rest Sei g ei Polyom 0. Da gibt es zu jedem Polyom Polyome q ud r mit f eideutig bestimmte f = qg+ r, wobei r = 0 oder Grad r < Grad g.

26 Lemma Ist α eie Nullstelle vo f, so ist durch x- a teilbar: f ( x) = ( x α ) q( x). Dabei ist q ei Polyom mit Grad q= Grad f 1. Folgerug 1 Ei Polyom 0 vom Grad hat höchstes Nullstelle. k k+1 Ist f durch (x- α), aber icht durch (x- α) teilbar, so heißt α eie k-fache Nullstelle vo f.

27 Folgerug 2 (Idetitätssatz) Stimme die Werte der Polyome f( x) = a x a x+ a 1 0, gx ( ) = bx bx+ b a verschiedee Stelle überei, so gilt a = b für k = 0,...,, ud damit f( x) = g( x) für alle x. Additiostheorem Für st, C ud = 0,1, 2,... gilt s t s+ t. k 0 k = = k k k

28 Liearfaktorzerlegug Jedes icht kostate Polyom k1 k f( z) = a( z α )...( z α ) s. 1 s f C [ z] besitzt eie Darstellug 4.3 Ratioale Fuktioe Pole. Abspaltug vo Partialbrüche Ei Pukt α heißt - facher Pol der ratioale Fuktio R, we es eie Darstellug ( α) R= f g gibt, bei der f 0 ist ud g i α eie -fache Nullstelle hat. ( ) Es gibt da ei Polyom h mit h α 0 ud ( ) R z = f ( z) ( ) ( ). z α h z 1 Die ratioale Fuktio heißt Partialbruch. ( z α)

29 Lemma über die Abspaltug eies Hauptteils : Ist α ei -facher Pol der ratioale Fuktio R, so gibt es geau eie Zerlegug ( ) = ( ) + ( ) R z H z R z 0 folgeder Art: H ist eie ratioale Fuktio der spezielle Gestalt ( ) H z a a a z z α 1 1 = + + K + 1 z ( α) ( α) mit eiem Koeffiziete a 0 ud R eie ratioale Fuktio, die i α keie Pol mehr hat. 0 H heißt Hauptteil vo R i α.

30 Satz vo der Partialbruchzerlegug Jede ratioale Fuktio ist die Summer ihrer Hauptteile ud ihres Polyom-Ateils. Herstellug der Partialbruchzerlegug (PBZ) De Polyom-Ateil q vo R = f g gewit ma durch Divisio mit Rest aus f = qg+ r.

31 Prof. Dr. Berd Dreseler Dake für Ihre Aufmerksamkeit!