Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

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1 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge verstade werde! Aufgabe 5 (a) Sei B die Mege {/( + ) : R, > }. Die Mege B ist ach ute icht beschräkt: Sei vo der Form + + = + Es folgt if B =. Für alle > gilt: für. Es folgt: + = + < 0 =. Es folgt sup B. ( = + ) ( + ) =. Wir zeige u sup B =. Sei s <. Nach dem archimedische Aiom gibt es ei N mit der Eigeschaft: > s. Es folgt sukzessive: + > /( s), s > /( + ), > s + /( + ), /( + ) > s, /( + ) > s, s ist keie obere Greze vo B. Bei der adere Mege erhält ma sup(.) =, if(.) = 0. (b) Ohe Lösug

2 Aufgabe 6 Eemplarisch sei Teil a) gelöst. (a) Aus a > folgt für b := a : b > 0. Da gilt die Abschätzug: 0 = = = a a = ( + b) = ( ) ( 0 + ) ( b + ) b + + ( ) b ) für b ( = b = ( )b. ( ) (Frage: Wa ist für ei gegebees ɛ > 0 der Ausdruck /(( )b ) < ɛ? Für welche N?) Sei ɛ > 0. Sei 0 N mit 0 > + Sei N, 0. Da gilt: ɛb ud 0 (archimedisches Aiom!). 0 ( )b ( 0 )b < (( ) ) = ɛ. + ɛb b Also: 0 < ɛ. Also 0 für. Bei (b) ud (c) kommt Null heraus. 7 (a) Laut dem Tipp soll ma die Folge y ud y utersuche. Was soll das mit der Folge y ud dere Kovergez zu tu habe...? Kovergiert eie Folge gege eie Grezwert α, so kovergiert atürlich auch jede ihrer Teilfolge, ud zwar gege de gleiche Grezwert α. Wir wolle das hier umdrehe, um auf die Kovergez vo y zu schließe. Da wir ja zeige wolle, dass y gege eie Grezwert α kovergiert, ist usere aheliegede Vermutug, dass y ud y + auch gege de Grezwert α kovergiere. We aber die Folge der ugerade ud der gerade Folgeglieder beide gege de gleiche Grezwert α kovergiere, kovergiert atürlich die gaze Folge gege α. Betrachte y +. Diese Folge ist mooto falled ud durch 0 ach ute beschräkt, also koverget. Also eistiert der Grezwert lim +. Ei Stadardtrick, um Grezwerte vo rekursiv defiierte Folge a zu bereche, ist zu beachte, dass lim a a : Klar, we ach

3 läuft, da auch. Ma immt u auf beide Seite der rekursiv defiierte Folge de Grezwert ud kriegt so eie Gleichug a diese Grezwert, die ma löse ka, die Lösug ist der Grezwert. Natürlich muß ma erst eimal wisse, dass der Grezwert eistiert. Verwirrt...? Hoffetlich brige die folgede Beispiele i a) ud b) Erleuchtug. Aufgrud der Rekursiosbeziehuge gilt + lim Nee wir de Grezwert α ud führe die Limesbildug durch, so gilt mit de Recheregel für Grezwerte (siehe auch Skript S. 3) α = + α + α. Auflöse ach α liefert eie quadratische Gleichug mit de Lösuge α = ± + 5, wobei die egative Lösug ausscheidet, da die Folge ur positive Summmade hat. Aalog ka ma für argumetiere: Die Folge ist mooto steiged ud durch beschräkt, also koverget. De Grezwert berechet ma wie obe ud erhält wiederum α. Also kovergiert y gege α. (b) Wir wede de gleiche Trick wie i der (a) a: Wir zeige, dass die Folge koverget ist ud bestimme da de Grezwert durch eie Fipuktgleichug. Die Folge ist mooto wachsed: Es gilt 0 = ud = + 0 = >. Nehme iduktiv a, dass = + gilt. Da folgt + = + + =. 3

4 Ebefalls per Iduktio zeigt ma, dass die Folge durch ach obe beschräkt ist. Also ist sie koverget. Der Grezwert: Es gilt wie i (a) α : + = + lim = + α Hierbei wurde die beutzt, dass ma de Limes i die Wurzel reiziehe ka (wie i der Aufgabestellug agegebe). Diese Eigeschaft et ma Stetigkeit ud wird für die Wurzelfuktio später i der Vorlesug bewiese. Löst ma obige Gleichug ach α auf, erhält ma eakt die gleiche quadratische Gleichug wie i (a) ud da die egative Lösug wieder icht i Betracht kommmt, de gleiche Grezwert. (c) Für y leitet ma die Rekursiosbeziehug y = +y her. Iteriert ma diese, so erhält ma die gewüschte Kettebruchdarstellug α = Puh. Diese Aufgabe war schwer... Der Grezwert α = + 5 ist eie gaz besodere Zahl: Es ist der sogeate goldee Schitt. Die Folge et ma auch Fiboacci-Folge. Beide sid sehr iteressat ud tauche i der Mathematik, aber auch i der Natur (Biologie, Physik (Quasikristalle)) ud i der Kust, immer wieder auf. Ma ka gaze Bücher dazu schreibe (etwa die vo Albrecht Beutelspacher oder Ael Hausma), Iteressierte seie eifach die umfagreiche Wikipedia- Artikel ud das Skript uter stegma/goldsch.pdf dazu empfohle Ma ka im Übrige defiiere, wa eie irratioale Zahl irratioaler als eie adere ist. Die Kettebruchetwicklug des goldee Schittes zeigt da, dass α die irratioalste Zahl ist. Das mag zuerst als eie pure Spielerei erscheie, hat aber zum Beispiel Aweduge i der Physik: Stehe i eiem ichtlieare dyamische System (was auch immer 4

5 das ist...) die beide Frequeze i eiem ratioale Verhältis zueiader, so köe sich die Schwiguge des Systems periodisch überlager. I diesem Fall ist das System sehr istabil ud ka chaotisches Verhalte zeige. Je irratioaler das Frequezverhältis, desto stabiler ist das System. 8 Ohe Lösug. 5