Proseminar: Mathematisches Problemlösen. Ungleichungen 2. Pierre Schmidt. Vortragstermin: 19. Juni Fakultät für Mathematik

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1 Prosemiar: Mathematisches Problemlöse Ugleichuge Pierre Schmidt Vortragstermi: 19. Jui 015 Übugsleiteri: Dr. Natalia Griberg Fakultät für Mathematik Karlsruher Istitut für Techologie

2 Ihaltsverzeichis 1 Eiführug Beroulli-Ugleichug.1 Die Beroulli-Ugleichug Awedugsbeispiele AM-GM-Ugleichug Die AM-GM-Ugleichug Beispiele Cauchy-Schwarz-Ugleichug Die Cauchy-Schwarz Ugleichug Aweduge

3 1 Eiführug I der Mathematik gibt es eie gaze Mege a Gleichuge ud Idetitäte. Oftmals det ma aber ur Abschätzuge um verschiedee Ausdrücke, bzw. Sachverhalte miteiader zu vergleiche. Diese Abschätzuge sid et ma i der Mathematik Ugleichuge. Aus mathematischer Sicht bestehe Ugleichuge aus zwei Terme die mit (kleier)", (gröÿer)", " (kleier gleich)" oder " (gröÿer gleich)" verbude sid. Durch das Eisetze vo Werte köe Ugleichuge auf ihre Wahrheitsgehalt geprüft werde, d.h. ob ihre Aussage wahr oder falsch ist. I der Regel ist zu jeder Ugleichug ei Deitiosbereich ud/oder adere Bediguge agegebe, die besage uter welchem Spektrum a Werte bzw. Bediguge die Aussage zutrit. De a falsche Aussage ist ma im Normalfall icht iteressiert.[1] Beroulli-Ugleichug.1 Die Beroulli-Ugleichug Sei -1 < x 0 ud R. Da gilt: (1 + x) > 1 + x falls < 0 oder > 1 (1) (1 + x) < 1 + x falls 0 < < 1 () Beweis: Es sei f(x) = (1 + x) 1 x R, x ( 1, ) Leite u f ab ud erhalte f(x) = (1 + x) 1 = ((1 + x) 1 1) Betrachte u die Vorzeiche der Ableitug: < 0 0 < < 1 1 < x ( 1, 0) + x (0, ) + +

4 Daraus folgt die Fuktio f ist im Fall < 0 ud 1 < streg mooto falled auf ( 1, 0) ud streg mooto wachsed auf (0, ). Es gilt also f(x) > f(0) = 0 was äquivalet zu (1) ist. Aalog folgt mit der 3. Spalte der Tabelle: f(x) < f(0) = 0 was äquivalet zu () ist.. Awedugsbeispiele Zeige Sie: x 5 + x > 9x x > 1 Lösug: Wir verwede die gerade bewiesee Beroulli-Ugleichug. Dafür müsse wir zuerst x umschreibe als x = 1 + p wobei p = x 1. Daraus folgt: x 5 + x = (1 + p) 5 + (1 + p) (Beroulli-Ugleichug) > 1 + 5p p + 7 = 9p + 9 (Resubstituiere) = 9x Es seie 0 < a R ud 1 k N ud wir betrachte die Folge (x ) N mit x +1 = k 1 k x + a kx k 1, x 0 > 0 Beweise Sie, dass für die Folge mooto falled ist ud x k > a gilt. Zudem zeige Sie, dass lim x = k a. Beweis: Es gilt x +1 = k 1 k x + a kx k 1 ( = x 1 1 k + a ) ( = x kx k 1 + a ) xk kx k 3

5 Wir dürfe die Beroulli-Ugleichug awede, da a x k kx k > xk kx k = 1 k 1 Somit gilt x k +1 = = x k (x ( 1 + a xk ( x k x k kx k + a xk x k )) k ( > x k ) = x k a x k 1 + k a xk kx k = a Daraus folgt: x k +1 > a 0. Auÿerdem gilt für die Dierez ) x +1 x = x a x k kx k < 0 da a < x k ist. Für lim x = x gilt x = x +1 = x. Daher gilt x = x (1 + a ) xk 1 + a xk kx k kx k = 1 a xk kx k = 0 a x k = 0 a = x k x = k a 3 AM-GM-Ugleichug 3.1 Die AM-GM-Ugleichug Die AM-GM-Ugleichug vergleicht, wie der Name vielleicht scho ahe lässt das arithmetische Mittel (AM) mit dem geometrische Mittel(GM). Sei x i R + 0 mit i = 1,...,, N. Da gilt: x x x 1... x (3) 4

6 Beweis: Wir führe eie vollstädige Iduktio über durch: Iduktiosafag: = 1 x 1 = x 1 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt: x x x 1 x Iduktiosschritt: + 1 Sei ohe Eischräkug der Allgemeiheit x +1 das gröÿte Elemet aller x i mit i = 1,...,, N. (Sost sei a +1 = max i=1,..., (x i ) ud a 1,..., a de adere x i beliebig zugeordet). Daraus folgt x +1 x arith 0 mit x arith = x x. Betrachte zuerst ( x x +1 ( + 1)x arithm ) +1 ( = 1 + x ) x arithm (1 + )x arithm Beroulli Multipliziere u beide Seite mit x +1 arithm : 1 + x +1 x arithm x arithm = x +1 x arithm ( ) +1 x x +1 x arithm x +1 x arithm = x arithmx +1 IV x1 x x +1 x x x 1 x Beispiele Zeige sie, dass für alle N gilt: ( + 1! ) Lösug: Wede die AM-GM-Ugleichug auf a: + 1 = ( + 1) = =!

7 Ei Würfel sei so i edliche viele Quader zerlegt, dass der Raumihalt der Umkugel des Würfels so groÿ ist wie die Summer der Raumihalte der Umkugel aller Quader der Zerlegug. Ma beweise, dass da alle diese Quader Würfel sid. Beweis: Wir betrachte de Quader X mit dem Volume V X ud der Umkugel S X, wobei die Kate des Würfels x, y, z > 0 sid. Daraus folgt für de Durchmesser d der Umkugel d = x + y + z ( ) 3. Somit ist S x = π d3 = π x + y + z Zudem ist VX = xyz. Wedet ma u die AM-GM-Ugleichug auf x, y, z a, folgt: x + y + z 3 x 3 y z wobei Gleichheit geau da auftritt, we x = y = z x = y = z. Da x, y, z > 0 köe wir auch die Wurzel ziehe: x + y + z 3 x y 3 z = 3 xyz Nehme wir diese Gleichug zudem i die 3. Potez erhalte wir ( ) 3 ( ) 3 x + y + z 3 xyz π ( ) 3 π ( ) 3 x + y + z 3 xyz S X π ( ) 3 π ( ) 3 3 xyz = 3 VX (4) Wobei Gleichheit geau da gilt, we der Quader X ei Würfel ist. Komme wir u zur eigetliche Aufgabe. Es sei Q user Würfel, V sei Volume ud S der Raumihalt seier Umkugel. Dieser Würfel wird i Quader aufgeteilt; der i-te Quader mit 1 i sei Q i. Da gilt ach der Aufgabestellug S = S j ud V = V ( ) j. Mit (4) folgt, da S i π 3 3 Vi : S = S ( ) j π 3 3 V ( ) j = π 3 3 V Gleichheit gilt jetzt aber ur, we auch alle Q i Würfel sid. Geau dies tritt ei, da Q ei Würfel ist. Dadurch gilt S = π ( ) 3 3 V ud alle Qi sid auch Würfel.

8 4 Cauchy-Schwarz-Ugleichug 4.1 Die Cauchy-Schwarz Ugleichug Es seie x, y C da gilt x, y x, x y, y Gleichheit gilt geau da, we x ud y liear abhägig sid, d.h. x = λy mit λ R. Beweis: Seie x, y C. 1. Fall: x = 0 ud/oder y = 0 Die Gleichug ist trivialerweise erfüllt.. Fall: x 0 ud y 0 Deiere für i = 1,..., : ζ i := x i x j ud η i := y i y j We ma u die AM-GM-Ugleichug awedet, erhält ma: ζ j η j = ( ζ ) ζ j ηj j + η j = 1 Idem ma die Deitioe eisetzt erhält ma: ζ j η j 1 1 x j y j x j y j x j y j x j y j = x, x y, y x, y x j y j x, y 7

9 4. Aweduge Fide Sie im R 3 de maximale Abstad vo eiem Pukt auf dem Ellipsoid zu der Ebee a x + b y + c z = 1 (5) E : αx + βy + γz = 0 Wobei a, b, c ud α, β, γ reelle Parameter sid. Lösug: Der Abstad vo eiem Pukt p = (x, y, z) T zu der Ebee E wird durch p, dist(p, E) = = f(p) gegebe, wobei = (α, β, γ) T ei Normalevektor zu E ist. Zu maximiere ist also die Fuktio f(p) uter der Bedigug (5). Führe wie die zwei Hilfsvektore ( α p = (ax, by, cz) T ud = a, β b, γ ) T c ei, so köe wir die Aufgabe wie folgt umformuliere: Maximiere Sie die Fuktio f(p) = p, uter der Bedigug p = 1. Aus der Cauchy-Schwarz Ugleichug folgt f(p) = p, p = Diese obere Greze wird geau da erreicht, we p ud kolliear sid, d.h. falls x = λ α a, y = λ β b, z = λ γ c gilt, Aus (5) folgt ( ) α 1 = a x + b y + c z = λ a + β b + γ = λ c was λ = ±1/ ergibt. Der maximale Abstad beträgt damit α = + β + γ a b c α + β + γ 8

10 Literatur [1] Zugri [] Ugleichug, Zugri [3] Natalia Griberg, Lösugsstrategie: Mathematik für Nachdeker, Kapitel 9