Lösungen zur Klausur Maß- und Integrationstheorie WS 2012/13

Transkript

1 Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe I der Aufgabestellug ist kei Tippfehler. Es steht dort fx, y, x dλ 3 x, y, z. z fx, y, x ist kostat i z. Falls jemad fx, y, z dλ 3 x, y, z berechet hat, dadurch ist die Aufgabe icht schwerer oder leichter geworde ud wird ebefalls ohe Puktabzug gewertet. Die Musterlösug berechet das Itegral fx, y, x dλ 3 x, y, z. Die Lösug für fx, y, z dλ 3 x, y, z ist aalog durchzuführe. Für de zweite Teil der Aufgabe gilt die gleiche Bemerkug für die Fuktio g.. Die Fuktio f ist als stetige Fuktio Lebesgue-messbar. Sie ist Lebesgue-itegrierbar, da f x, y, x xy 2 x x 2 y 2 für alle x, yz, gilt. Die Abschätzug fx, y, x dλ3 x, y, z dλ 3 x, y, z folgt somit. λ 3 λ [, ] λ [, ] λ [, ] 2 2

2 ir köe u de Satz vo Fubii 2x awede ud erhalte fx, y, x dλ 3 x, y, z x 2 y 2 dλ 2 y, z dλ x [,] [,] [,] [,] 2 9. [ 2 9 x3 [,] [ 2 3 x2 z 2 3 x2 dx ] x 2 y 2 dλ y [,] x 2 y 2 dy [ ] 3 x2 y 3 dy 2 3 x2 dz ] dx z dx dz dz y dx dx dλ z dλ x Der Übergag zum Riema-Itegral i ist zulässig, da der Itegrad stetig ud das Itegratiositervall kompakt sid. Da stimme Riema-Itegral ud Lebesgue-Itegral überei. Somit gilt fx, y, x dλ 3 x, y, z Die Fuktio g ist als stetige Fuktio Lebesgue-messbar. Sie ist Lebesgue-itegrierbar, da g x, y, x x 2 y für alle x, y, z gilt. Somit folgt die Abschätzug gx, y, x dλ3 x, y, z dλ 3 x, y, z λ 3 λ [, ] λ [, ] λ [, ] 2 2.

3 ir köe u de Satz vo Fubii 2x awede ud erhalte gx, y, x dλ 3 x, y, z x 2 y dλ 2 y, z dλ x [,] [,] [,] [,]. [,] [,] [,] [,] [,] [,] [,] x 2 y dλ y [,] x 2 y dy x 2 y dy [ 2 x2 y 2 dy dλ z [,] dλ x dz dx ] dλ z dλ x dλ z dλ x dλ z y dλ x dλ x Der Übergag zu de Riema-Itegrale i ist zulässig, da die Itegrade jeweils stetig ud die Itegratiositervalle kompakt sid. Da stimme jeweils Riema-Itegral ud Lebesgue-Itegral überei. Somit gilt gx, y, x dλ 3 x, y, z.

4 Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe 2 ir schreibe die aufsteigede Megefolge M j j um i eie Folge disjukter Mege: A : M, A 2 : M 2 \ M, A 3 : M 3 \ M 2,... A j : M j \ M j für alle j 2, 3, 4,.... Es gilt u M k k A j ud A i A l j für alle i, k, l N mit i l. Nach Defiitio des äußere Maß µ gilt { µ A if µb i ; { } B i } i UA i µa j j die A j sid disjukt ud überdecke A lim k k µa j j lim k µm k, da aus der Kostruktio vo A j ud der Additivität folgt. k µa j µm k j

5 Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe 3 Hiweis zur Puktevergabe: Jede richtige Atwort wird mit +2 Pukte, jede e Atwort wird mit 2 Pukte bewertet. Keie Atwort werde mit Pukte bewertet. Sie köe jedoch isgesammt i dieser Aufgabe keie egative Pukte erziehle. Ei Beispiel: Sie habe 4 vo 6 Frage beatwortet, richig, 3. Sie erhalte daher +2 Pukte, Pukte ud 2 Pukte. Isgesammt wäre das 4 Pukte. Da Sie jedoch midestes Pukte für die Aufgabe bekomme, erhalte Sie für die gesammte Aufgabe Pukte. Bitte kreuze Sie etweder Richtig oder Falsch a:. Jede σ-algebra ist ei durchschittstabiles Dyki-System. 2. Jedes Prämaß auf eiem Rig R lässt sich eideutig auf ei Maß auf σr fortsetze. 3. Für jede stetige, Lebesgue-itegrierbare Fuktio f : R R ud beliebige reelle Zahle a, b mit a < b gilt b fxdλx fx dx [a,b] a 4. Jede stetige Fuktio f : R d R ist Borel-messbar. 5. Sei Ω eie Mege. Da ist PΩ eie σ-algebra.

6 6. Seie Ω, A, µ ud Ω 2, A 2, µ 2 zwei σ-edlich Maßräume. Es gibt geau eie Fortsetzug vo µ µ 2 zu eiem Maß auf der Produkt-σ-Algebra A A 2.

7 Lösuge zur Klausur 45 Maß- ud Itegratiostheorie S 22/3 Lösug zu Aufgabe 4. ir betrachte drei Fälle: x, x, ] ud x >. Für x oder für x > gilt x A [, ] für alle N. Also ist f x für alle ud die Isotoiebedigug ist trivialerweise erfüllt: f x f + x für alle N. Betrachte wir de verbleibede Fall x, ]: Es gibt geau ei N mit < x +. Nach Kostruktio der Fuktioefolge gilt für alle < ud f x für alle x. Somit gilt. f x f 2 x... f < f f +... x. Die Isotoiebedigug f x f + x für alle N ist somit erfüllt. ir habe f x dλx x χ [,]x dλx [,] x dλx Für die Grezfuktio x dx [ logx fx : lim f x ] log log x sost da f auf log. falls x, ] ud [ ], stetig

8 gilt mit aaloge Amerkuge fx dλx dx. x im Sie der ueigetliche Riema-Itegrale. Somit ist f icht Lebesgue-itegrierbar. 2. Die Fuktioe f sid als Verkettug vo stetige Fuktioe ud Idikatorfuktioe messbarer Mege wieder messbar. Außerdem ist f isoto ud icht egativ ach dem erste Teil. Somit sid die Voraussetzuge vom Satz vo Beppo Levi erfüllt. 3. Der Satz vo Beppo Levi sagt ichts über die Itegrierbarkeit der Grezfuktio f aus. Die Vertauschug lim ist i userem Fall so zu verstehe: formale Notatio f L λ fx dλx lim f x dλx lim log.