3 T (d 1, l 2. ) + (6 + 2) falls d > 0 7 sonst. n 2. 4T ( n 2 ) + log 2 (n), falls n > 1 1, sonst

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1 Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoe Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe Christia Dehert, Friedrich Gretz, Bejami Kamiski, Thomas Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge: Gebe Sie die Rekursiosgleichug T (d, l für die Laufzeit des folgede Algorithmus a. Gehe Sie dabei davo aus, dass die elemetare Operatioe {+,,, /, Θ( liege. float sierpiski ( it depth, float legth { if ( depth > 0 { retur sierpiski ( depth -, legth / + sierpiski ( depth -, legth / + sierpiski ( depth -, legth /; else { // bereche die Flaeche des Dreiecks retur legth (legth/ (legth/; Hiweis: Die Rekursiosgleichug lautet T (d, l = Der Parameter l hat also keie Eifluss auf die Laufzeit. { 3 T (d, l + (6 + falls d > 0 7 sost Tutoraufgabe (Substitutiosmethode: Gegebe sei die folgede Rekursiosgleichug: { T ( = 4T ( +, falls >, sost Schätze Sie mit Hilfe des Rekursiosbaumes eie (möglichst asymptotisch scharfe obere Schrake für die Komplexitätsklasse der Laufzeit T (, d.h., gebe Sie eie icht-rekursive Fuktio f ( mit T ( O(f ( a. Beweise Sie mit Hilfe der Substitutiosmethode, dass T ( O(f (. Hiweis: Die te Partialsumme der harmoische Reihe ist defiiert durch H := ud hat folgede Eigeschafte: i= i (i. log( < H (ii >. H log( < H log( Hiweis: Das Mastertheorem ist icht awedbar, da Wir betrachte de Rekursiosbaum: / O( ɛ, / Θ( ud / Ω(+ɛ.

2 Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe T ( T (/ 4 log ( T (/ 4 log ( T (/ 4 log ( T (/ 4 log ( log ( 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 6 log ( 4 log ( 4 T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( 4 log ( = log (4 = Aus dem Rekursiosbaum leite wir folgede Abschätzug ab: log ( T ( = ( log ( i + = ( = ( = ( Daher stelle wir folgede Vermutug auf: Behauptug: T ( O( log ( Beweis: Wir müsse zeige, dass: Wähle 0 = 4 ud c = 0 Iduktiosafag: T (4 = 4 T ( + 4 log 4 0 i= log ( i + i + i + (Summe gedreht log( + (mit wachsedem T ( O( log( c > T ( c log( log. = 4 (4 T ( log log 4 = 40 {{ T (=8 log 4 log(log (4 = 0 4 = 60 T (5 = 4 T ( log 5 = 4 (4 T ( + log log 5 4 ( = log 5 log(log ( T (6 = 4 T ( log 6 = 4 (4 T ( + log log 6 4 ( = log 6 log(log ( T (7 = 4 T (4 + 7 log = log 7 log(log (7 79.7

3 Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe Iduktiosvoraussetzug: 0 m <. T (m c m log(log (m Iduktiosschluss: T ( = 4 T ( + 4 c 4 log(log ( + Iduktiosvoraussetzug = c log( log ( + = c log ( + < c (log ( + = c log ( c + = c log ( + ( c ( {{ <0 für c =4 ud 0=4 c log ( (ii log(k < H k H k + log(k = k + log(k Tutoraufgabe 3 (Variabletrasformatio: Nutze Sie die Methode der Variabletrasformatio um eie (asymptotisch scharfe obere Schrake für die Rekursiosgleichug T ( = T ( zu bestimme. a T ( = T ( Variabletrasformatio m = log T ( m = T ( m Umbeeug T ( m = S(m S(m = S( m Lösug Rekursiosgleichug (z.b. MT: S(m = S(m S(m c log 3 m m = log T ( c log 3 log T ( O(log log Tutoraufgabe 4 (Master-Theorem: Gebe Sie für folgede Rekursiosgleichuge (mit Begrüdug a, ob diese mit dem Master-Theorem gelöst werde köe. Falls dies der Fall ist, gebe Sie auch die resultierede Komplexitätsklasse a. a T ( = 4 T ( + 5 b T ( = 4 T (

4 Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe c T ( = T ( + d T ( = T ( a Es sid b = 4, c = ud f ( = 5. E wird u wie folgt bestimmt: E = log(4 log( = = Damit gilt E =. Wähle u ε =. Damit gibt es u zwei Kostate c = 5 ud 0 =, sodass gilt 0 : f ( = 5 5 = c E ε ud damit gilt f ( O( E ε. Somit fidet der erste Fall des Master-Theorems Awedug ud es ergibt sich die Komplexitätsklasse Θ ( E für T (, also T ( Θ(. b Es sid b = 4, c = 4 ud f ( = 4. E wird u wie folgt bestimmt: E = log(4 log(4 = = Damit gilt E =. Damit gibt es u drei Kostate c = c = 4 ud 0 =, sodass gilt 0 : c E = 4 {{ 4 =f ( 4 = c E ud damit gilt f ( Θ ( E. Somit fidet der zweite Fall des Master-Theorems Awedug ud es ergibt sich die Komplexitätsklasse Θ ( E log( für T (, also T ( Θ ( log(. c Es sid b =, c = ud f ( =. E wird u wie folgt bestimmt: E = log( log( = = Damit gilt E =. Wähle u ε =. Damit gibt es u zwei Kostate c = ud 0 =, sodass gilt 0 : f ( = + = c E+ε ud damit gilt f ( Ω ( E+ε. Somit fäde der dritte Fall des Master-Theorems Awedug. Es ist jedoch och die zweite Bedigug 0 d < 0 0 : b f ( c d f ( zu überprüfe. Wir wähle dafür d =. Damit ergibt sich ( b f c = = = d f (, was offesichtlich für alle gilt. Somit sid beide Bediguge für de dritte Fall des Master-Theorems erfüllt ud es ergibt sich die Komplexitätsklasse Θ ( f ( für T (, also T ( Θ(. 4

5 Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe d Es sid b =, c = ud f ( = 0. E wird u wie folgt bestimmt: E = log( log( = 0 = udefiiert Damit ka das Master-Theorem icht agewedet werde. Ei Algorithmus, desse Laufzeit durch die vorliegede Rekursiosgleichug beschriebe werde ka, wäre beispielsweise der folgede: it diverge ( it k { if (k > 0{ diverge (k; diverge (k; Die Rekursiosgleichug T (0 = 0, T ( = T ( beschreibt die Azahl der Aufrufe vo diverge. Dieser Algorithmus termiiert jedoch für alle k > 0 icht. Der Grud dafür ist, dass jeder Aufruf vo diverge die Fuktio diverge wieder mit demselbe k aufgeruft. k wird also mit jedem Aufruf icht verrigert. Die Komplexitätsklasse des Algorithmus ist sozusage Θ(. 5

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