1 Einführende Worte 2

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1 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 1 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/ Eiführede Worte Semiar Grudlegede Algorithme Auflösug vo Rekursioe 1.1 Beispiele Bevor wir us mit der Auflösug vo (bestimmte) Rekursioe beschäftige, betrachte wir eiige Beispiele für Rekursioe. Relativ bekat sid etwa: 1. Die Fuktio Fakultät: mittels der charakteristische Fuktio 2. Die Fiboacci-Folge:! = ( 1)!, wobei 0! = 1 gehalte vo Sara Elisabeth Adams am Quelle: Brassard, Bratley: Algorithmik - Theorie ud Praxis (S ) Ihaltsverzeichis erschiee im Wolfram Verlag, Eiführede Worte Beispiele Motivatio Mechaisches Löse vo lieare Rekursioe Homogee Rekursioe Paarweise verschiedee Wurzel Beispiel Allgemeie Wurzel Beispiel Ihomogee Rekursioe Maipulatioe zu eier homogee Rekursio Verallgemeierug Beispiel Erweiterde Methode Variabletausch Beispiel Wertebereichstrasformatio Beispiel fib = fib 1 + fib 2, wobei fib 0 = 0, fib 1 = 1 3. Orthogoale Polyome: z.b. Tschebyscheff, Legedre, Hermite ( p +1 (x) = x (p, xp ) (p, p ) ) p (x) (p, p ) (p 1, p 1 ) p 1(x) Durch die erste beide Folgeglieder ud die iere Produkte (,) etstehe verschiedee Systeme orthogoaler Polyome. Mögliche Awedug: Mit Hilfe der Nullstelle dieser Polyome lasse sich bestimmte Itegrale aäher. 4. B-Splies (stückweise polyomielle Fuktioe) Bj k (x) = (x x j)b k 1 j (x) + (x j+k+1 x)b k 1 j+1 (x) x j+k+1 x j Die Afagsglieder stehe i Abhägigkeit vo eier edliche Puktemege X ud dem Grad der stückweise polyomielle Fuktioe. Mögliche Awedug: Splies eige sich für die Iterpolatio vo Fuktioe. Im Vergleich zur Polyomiterpolatio bilde sie verschiedee Vorteile (etwa die Existez eies kompakte Trägers). 1.2 Motivatio I welchem Zusammehag steht u aber die Auflösug vo Rekursioe mit dem Semiarthema Grudlegede Algorithme? Bei der Aalyse vo Algorithme stößt ma häufig auf ei System vo Rekursioe. Um die Wachstumsrate dieser Rekursioe zu bestimme, ist es hilfreich die Rekursioe i Fuktioe umzuschreibe. So ka zum Beispiel die Komplexität eies Algorithmus abgeschätzt werde. Eie mögliche (pragmatische) Heragehesweise sieht wie folgt aus: Bereche die erste Werte der Rekursio, suche eie Gesätzmäßigkeit ud beweise diese per Iduktio. Bei bestimmte Rekursioe ist es jedoch möglich die Rekursioe fast mechaisch aufzulöse. Im Folgede wird eie Methodik hierfür beschriebe.

2 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/ Mechaisches Löse vo lieare Rekursioe 2.1 Homogee Rekursioe Als erstes werde wir lieare, homogee Rekursioe betrachte, das heißt Rekursioe der Form a i t i = a 0 t + a 1 t 1 + a k t k = 0 Ei möglicher Asatz zum Auflöse dieser Rekursio, ist die Iterpretatio der Rekursio als ei Polyom, das heißt wir ehme a die Rekursiosterme t lasse sich durch x ausdrücke: a i x i = a 0 x + a 1 x 1 + a k x k = 0 Wir suche also die Nullstelle des Polyoms a i x i = x k a i x k i Es ist klar, dass x = 0 eie ( k)-fache Nullstelle ist. Diese Lösuge sid jedoch uiteressat, da da t = 0 N gelte würde, also eie triviale Rekursio daraus resultiere würde. Im Folgede werde wir die Gleichug a i x k i = a 0 x k + a 1 x k a k x 0 = 0 als charakteristische Gleichug der Rekursio bezeiche. Die Lösuge r i, i = 1,.., k bezeiche wir als Wurzel. Sie sid etscheided für die Herleitug der Auflösug der Rekursio. Nu sid zwei Fälle dekbar: 1. Die r i sid paarweise verschiede. 2. Die r i sid icht paarweise verschiede. Wir werde zuerst de Fall betrachte, dass die Wurzel paarweise verschiede sid, es folgt die Vorhergehesweise für de allgemeie Fall Paarweise verschiedee Wurzel Seie r i (i = 1,.., k) die pw. versch. Lösuge der char. Gleichug. Da habe die Lösuge der Rekursio die Form t = c i ri = c 1 r1 + c 2r2 + + c krk Die Koeffiziete c i, i = 1,.., k sid durch die Afagsbediguge, das heißt die erste Rekursiosglieder t i, i = j 0,...,j 0 + k Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 4 bestimmt. Da wir lieare Rekursioe betrachte, ist als ei lieares Gleichugssystem zu löse. Bemerkug: Oft ist die Bestimmug der c i, i = 1,.., k icht ötig, da ur die Wachstumsrate der Rekursio vo Iteresse ist. Bei der Agabe der Komplexität eies Algorithmus ist etwa die O- oder Θ-Notatio üblich Beispiel beziehugweise Mit dem Asatz t = x folgt also t = 2t 1 + t 2 2t 3 t 0 = 0, t 1 = 2, t 2 = 3 t 2t 1 t 2 + 2t 3 = 0 t 0 = 0, t 1 = 2, t 2 = 3 x 2x 1 x 2 + 2x 3 = 0 Demach hat die charakteristische Gleichug die Form x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1) (x 1) (x 2) = 0 Die Wurzel der Gleichug sid offesichtlich 1, 1, 2. Die Rekursio sieht also aufgelöst wie folgt aus: t = c 1 ( 1) + c c 3 2 Um die Koeffiziete zu bestimme, müsse wir ei lieares Gleichugssystem löse, das auf de erste Rekursiosglieder basiert: ( 1) 0 c c c 3 = t 0 = 0 ( 1) 1 c c c 3 = t 1 = 2 ( 1) 2 c c c 1 = c 2 = 1 2, c 3 = 1 c 3 = t 2 = 3 t = 1 2 ( 1) , 2, 3, 8, 15, 32, 63, 128, 255, 512, 1023, 2048, 4095 Ma hätte jedoch auch ohe die Berechug der Koeffiziete bereits sage köe, dass die Rekursio (maximal) so schell wie 2 steige wird Allgemeie Wurzel Bisher habe wir ur paarweise verschiedee Wurzel betrachtet. Was passiert jedoch, we es Wurzel gibt, dere Vielfachheit größer als 1 ist? Dazu betrachte wir de Spezialfall eier doppelte Nullstelle: Sei r eie doppelte Nullstelle der Fuktio p(x) := k a ix i. Da lässt sich p(x) als (x r) 2 q(x) schreibe, wobei q(x) ebefalls ei Polyom ist. Wir betrachte u eie Fuktio h(x) = x [x k p(x)] = a i ( i) x i

3 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 5 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 6 Setze wir statt p(x) u (x r) 2 q(x) ud wede die Produktregel zum Ableite vo Fuktioe a, so folgt: h(x) = x [(x r) 2 x k q(x)] = x [2(x r) x k q(x) + (x r) 2 [x k q(x)] ] Isbesodere ist r eie Nullstelle vo h(x), also h(r) = a i ( i) r i = 0 Das heisst aber, dass wir eie weitere Lösug r der Rekursio gefude habe. Diese Überlegug lässt sich eifach auf Nullstelle mit beliebiger Vielfachheit betrachte, wobei gilt: r hat Vielfachheit e N r, r, 2 r,.., e 1 r sid Lösuge der Rekursio Bei allgemeie Wurzel habe die Lösuge der Rekursio also die Form t = e i c i j 1 ri, j=1 wobei r i, i = 1,.., s die paarweise verschiedee Wurzel sid ud e i dere jeweilige Vielfachheit. Es ist klar, dass e i = k gelte muss. Setze wir e i = 1 i = 1,.., s, so erhalte wir offesichtlich das gleiche Ergebis wie im vorherige Teil Beispiel beziehugsweise t = 8t 1 21t t 3 t 0 = 0, t 1 = 5, t 2 = 6 t 8t t 2 18t 3 = 0 t 0 = 0, t 1 = 5, t 2 = 6 Mit dem Asatz t = x folgt also x 8x x 2 18x 3 == 0 Demach hat die charakteristische Gleichug die Form x 3 8x x 18 = (x 2) (x 3) 2 = 0 Die Wurzel der Gleichug sid also 2 ud außerdem 3 mit Vielfachheit 2. Die Rekursio sieht also aufgelöst wie folgt aus: Um die Koeffiziete zu bestimme, müsse wir ei lieares Gleichugssystem löse, das auf de erste Rekursiosglieder basiert: 2 0 c c c 3 = c c c 3 = c c c 1 = 24, c 2 = 24, c 3 = c 3 = Ihomogee Rekursioe t = , 5, 6, 57, 492, 2631, 11742, Im Folgede versuche wir Rekursioe der Form a i t i = b i p i () zu löse. Dabei sid die b i Kostate ud p i () Polyome i mit Grad d i. Die grudlegede Idee ist u diese ihomogee Rekursio durch eiige Maipulatioe auf eie homogee Rekursio zurückzuführe. Da ist das bereits vorgestellte Schema awedbar Maipulatioe zu eier homogee Rekursio Diese Maipulatioe werde a eiem kurze Beispiel verdeutlicht: Sei etwa die Rekursio t 7t t 2 = 7 gegebe. Da gilt isbesodere (eierseits durch Verschiebug vo auf + 1, adererseits durch Multiplikatio mit 7 ud schließlich durch Subtraktio der erste Gleichug vo der zweite): t +1 7t +12t 1 = ( +7t 49t 1 +84t 2 = ) t +1 14t +61t 1 84t 2 = 0 Wir habe also eie homogee Rekursio erhalte. Die charakteristische Gleichug dieser Rekursio ist x 3 14x x 84 = (x 3) (x 4) (x 7) = 0 Isbesodere ist die Wurzel 7 durch die Maipulatioe der Rekursio zustade gekomme: Betrachte die Rekursio t 7t t 2 = 0. Da ergibt sich die charakteristische Gleichug x 2 7x + 12 = (x 3) (x 4) = 0 Das Hizukomme der Wurzel 7 ist achvollziehbar, da eie Multiplikatio mit 7 währed der Maipulatioe durchgeführt wurde. t = c c c 3 3

4 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/ Verallgemeierug Etspreched diesem Schema köe wir stets aus eier ihomogee Rekursio der Form a i t i = b i p i() eie homogee Rekursio schließe. Diese eue homogee Rekursio besitzt da die charakteristische Gleichug ( k a i x i) s (x b i ) di+1 Demetspreched gibt es bei der Auflösug der Rekursio weitere Summade ud somit auch etspreched mehr Koeffiziete c i. Es müsse also weitere Afagsbediguge bestimmt werde, um die c i zu bereche. Dazu berechet ma eifach weitere Folgeglieder mit Hilfe der ursprügliche Rekursiosformel Beispiel beziehugsweise t = 3t t 0 = 0 t + 3t 1 = 2 t 0 = 0 Hier ist demetspreched s = 1, b 1 = 2 ud p 1 () =, also d 1 = 1. Durch Maipulatioe erhält ma eie homogee Rekursio mit charakteristischer Gleichug (x + 3)(x 2) 2 = 0 Die Rekursio sieht also aufgelöst wie folgt aus: t = c 1 ( 3) + c c 3 2 Mit Hilfe der Rekursio bestimme wir zwei weitere Afagsglieder: Die Afagsbediguge liefer da t 1 = 2, t 2 = 2 ( 3) 0 c c c 3 = 0 ( 3) 1 c c c 3 = 2 ( 3) 2 c c c 3 = 2 c 1 = 6 25, c 2 = 6 25, c 3 = 2 5 t = 2 25 ( 3) , 2, 2, 18, 10, 130, 6, 914, 694, 2526 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/ Erweiterde Methode Die Rekursioe, die wir bisher betrachtet habe, kote komplett mechaisch gelöst werde. Der Preis dafür war jedoch eie recht starke Eischräkug der Form der Rekursioe. Im Folgede wird a Had vo zwei Beispiele gezeigt, wie ma mit Variabletausch ud Wertebereichtstrasformatio auch adere Rekursioe auflöse ka. Allerdigs gibt es hier keie feste Regel, wie ma vorzugehe hat. Die Umformuge, die durchgeführt werde, sid oft icht ituitiv klar ud etwas Geschick, Übug ud/oder Glück sid voöte. I de aufgeführte Beispiele sid die Umformuge jedoch recht ahelieged, da hier ur das Prizip veraschaulicht werde soll. 3.1 Variabletausch Die Idee beim Variabletausch ist es die Darstellug eier Rekursio mit Terme T() zu vereifache. Dazu verschiebt ma etwa de Defiitiosbereich, idem ma spezielle betrachtet. Grudleged führt ma also eie Substitutio T() t k durch, löst die eue Rekursio (mit Terme t k ) auf ud resubstituiert da wieder t k T() Beispiel T() = 12 T( 3 ) 27 T( 9 ) + 2 ud führe eie Substitutio durch, idem wir = 3 k betrachte: beziehugsweise T(3 k ) = 12 T(3 k 1 ) 27 T(3 k 2 ) +3 2k t k = 12 t k 1 27 t k k t k 12 t k t k 2 = 9 k Wir erhalte also die charakteristische Gleichug (x 3) (x 9) 2 = 0 ud somit sieht die Rekursio auf t k aufgelöst wie folgt aus: t k = c 1 3 k + c 2 9 k + c 3 k 9 k Durch Resubstitutio (t k log 3 ) erhält ma somit T() = c 1 + c c 3 log 3 2 Es folgt (für = 3 k ): T() O( 2 log 3 ) beziehugsweise (für c 1, c 2, c 3 0) T() Θ( 2 log )

5 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/ Wertebereichstrasformatio Bei der Wertebereichstrasformatio veräder wir icht (ur) de Defiitiosbereich, soder auch de Wertebereich. Das heißt wir bilde eie total eue Rekursio, dere Folgeglieder sich vo de ursprügliche Folgeglieder uterscheide köe. Dies ist etwa hilfreich, we ma eie ichtlieare Rekursio auflöse will. Mit Hilfe eier Wertebereichstrasformatio ist es da evetuell möglich zu der ichtlieare Rekursio eie lieare Rekursio zu fide. Sobald ma diese gelöst hat, ka ma auf die eigetliche Rekursio rückschließe Beispiel T() = T 2 ( 2 ) Mit Hilfe eies Variabletausche vereifache wir die Rekursio etwas: T(2 k ) = 2 k T 2 (2 k 1 ) t k = 2 k t 2 k 1 Sara Adams Semiarvortrag Rekursive Fuktioe - WS 2004/05 10 Nu müsse wir erst die Wertebereichstrasformatio ud da de Variabletausch rückgägig mache: = (3 + lb3) 2 k 2 k V k t k = 2 (3+lb3) 2k 2 k = 23 2k 3 2k 2 k+2 T() = 23 2lb 3 2lb 2 lb+2 = Schließlich habe wir die ursprügliche Rekursio aufgelöst: T() = Setze wir V k =lb 1 t k, so ergibt sich eie eue Rekursio V k = k + 2 V k 1 Die charakteristische Gleichug dieser Rekursio ist (x 2) (x 1) 2 = 0 ud demach sieht die Rekursio (auf V k ) aufgelöst wie folgt aus: Setze wir u T(1) = 6, so ergibt sich: c 1 2 k + c 2 1 k + c 3 k 1 k t 0 = 6 V 0 = lb6 = 1 + lb3 V 1 = 3 + 2lb3 V 2 = 8 + 4lb3 c 1 = 3 + lb3 c 2 = 2 c 3 = 1 Es folgt also: V k = (3 + lb3) 2 k 2 k 1 lb(t) := log 2 (t)