Goldener Schnitt und Fünfecke. Ein Streifzug durch einige Wunder der Mathematik. Geeignet für Klasse 9 (teilweise) und 11 sowie Facharbeiten

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1 Aalysis Fiboacci-Folge Goldeer Schitt ud Füfecke Ei Streifzug durch eiige Wuder der Mathematik Geeiget für Klasse 9 (teilweise) ud sowie Facharbeite Datei Nr Stad 8. Jauar 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a Ihalt Vorwort Rekursive Folge ur ei kleier Ausflug 3 Die Folge des Herr Fiboacci 4 Eigeschaft 5 Eigeschaft : Was die 5 so alles ka 6 Eigeschaft 3: Näherugsrechuge 7 Eigeschaft 4: Fiboaccis Kaicheplage 8 Die 8 erste Fiboacci-Zahle 9 3 Die Fiboacci-Verhätlis-Folge V 0 Die Zahl F 4 Eie Wurzelkettefolge für F 5 Eie Kettebruchfolge für F 5 6 Ausblicke für Neugierige 9 7 Der Goldee Schitt (Stetige Teilug) 0 7. Defiitio ud Berechugsformel Kostruktioe für de Goldee Schitt 7.3 Eigeschafte der stetige Teilug Bedeutug des Goldee Schittes 6 8 Das Goldee Dreieck 7 9 Regelmäßiges Füfeck, Zeheck ud Petagramm 8 9. Gruddate des regelmäßige Füfecks 8 9. Kostruktio ur mit dem Zirkel Die Diagoale erzeuge ei Petagramm Goldeer Schitt im regelmäßige Zeheck 3 Berechug der Seite des Füf- ud Zehecks Flächeihalt des regelmäßige Füfecks Kostruktio der Seite des Füf- bzw. Zehecks mit dem Goldee Schitt 34

3 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a VORWORT Es gibt Zusammehäge i der Mathematik, die staue lasse. Da hat ei Herr Fiboacci sich Gedake darüber gemacht, wie viele Kaiche es wohl gibt, we sie sich gemäß eier bestimmte Regel vermehre köe, ud er kam darüber zu eier verwuderliche Zahlereihe, die ma heute die Fiboacci-Folge et: 0,,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,. Ud da etdeckte ma, dass diese atürliche Zahle uglaublich viel mit der uatürliche Zahl 5 zu tu habe. I diesem Zusammehag sid zwei Zahle vo Bedeutug, dee ma oft diese Bezeichuge gibt: 5+ F= ud Y= 5- Ma et sie PHI ud PSI (es sid große griechische Buchstabe). Ja, ud über F fidet ma zu Folge, die sich als Kettewurzel präsetiere: a = ud auch zu Folge, die sich als Kettebrüche darstelle lasse: a = Ud überall steckt die Verwadtschaft zu Fiboaccis Zahlefolge! Die alte Grieche habe sich bereits gefragt, welche Form ei Rechteck habe muss, um als besoders schö zu gelte (für die Form eies Tempels z. B. ) ud ma kommt auf die Zahl Y ud fidet u plötzlich i der Geometrie Zusammehäge, die wieder auf die 5 zurückgehe. Ma spricht vom Goldee Schitt ud der stetige Teilug. Darüber wir hier berichtet. Maches wird gaz ausführlich dargestellt, aderes ur agedeutet. Ud we die Leideschaft gepackt hat, ka weiterlese. Im Iteret gibt es viel Literatur dazu! Wichtig: Hier kommt mehrfach der graphische Tascherecher vo CASIO: CASIO XFX-9850GB PLUS zum Eisatz, ud zwar zur rekursive Berechug dieser Folge, so dass ma de Grezwert erket.

4 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a 3. Rekursive Folge Nur ei kleier Ausflug Es geht hier um Zahlefolge, wie 4, 7, 0, 3, 6, 9,. Diese köe durch eie Term defiiert werde (ma spricht da vo eier explizite Defiitio), was hier durch a = 3 + mit ÎN geschehe ka, oder rekursiv. Da gibt ma etwa das erste Glied der Folge a ud dazu die Vorschrift, wie das jeweils ächste Glied berechet werde muss: Also hier a = 4 ud a = a für > Da rechet ma so weiter: a = a + 3 = = 7 a 3 = a + 3 = = 0 usw. Hier wird also stets der Nachfolger a aus seiem Vorgäger berechet. Ma ka übriges auch de Nachfolger mit a + ud seie Vorgäger mit a bezeiche, da lautet die rekursive Defiitio für dieselbe Folge so: a = 4 ud a + = a + 3 für ³. Ei weiteres Beispiel für eie rekursiv defiierte Folge ist: a a 4 mit a = 4 Das geht so: I a = 4 ist =. Da wird + =, also ka ma weiterreche: a a a Daraus ka ma bereche: a3 a a Ud daraus folgt a4 a3 a Aha - sollte u jeder deke, das geht so weiter! We ma aus der 4 das ächste Folgeglied bereche will, erhält ma wieder 4, also besteht diese Zahlefolge ur aus Vierer, so dass die explizite Darstellug der Folge so aussieht: a 4. Es liegt eie kostate Folge vor! Rekursive Folge köe auch komplizierter aufgebaut sei, etwa so: a a a ; ; a3 a a ; allgemei : a a Jetzt wird jedes weitere Glied der Folge aus seie beide Vorgäger berechet: a3 a a 0 a4 a3 a 0 a5 a4 a3 0 usw. Es gibt edlos viele Beispiele. Eiige sid us hier wichtig.

5 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a 4. Die Folge des Herr Fiboacci Leoardo Pisao, heute bekat uter dem Name Fiboacci (das heißt Soh des Boacci ), lebte vermutlich vo 70 bis 50 i Pisa (Italie). Er wurde durch eie rekursiv defiierte Folge bekat: Alle weitere Glieder der Folge sid also die Summe der beider Vorgäger. Ma beachte, dass hier die Zählug bei 0 begit! Wir bereche hier eiige Folgeglieder: usw. a aa0 0 a3 a a a a a 3 4 a = 0 ; a = ud a = a + a für 0 0 Die Berechug mit modere Tascherecher (GTR) wie CASIO CFX9850GB PLUS Ist komfortabel ud soll hier gezeigt werde.. Schritt: Meü 8 (RECUR) öffe.. Schritt: F3 (TYPE) zum Festlege des Rekursiostyps. Ma wählt da wieder F3: a + = 3. Schritt: Eigabe des Rekursiosterms: a + : (F4 ud da F3 ergibt) a +, da + F EXIT EXE. Nu müsse die Vorgabe festgelegt werde: Mit F5 (Rage) kommt ma zur Eigabe vo Start = 0, a 0 = 0, a =. Mit Ed = 00 lege wir fest, dass 00 Glieder berechet werde solle. EXIT. Nu verlager wir de Markierugsbalke (Cursor) auf a + ud drücke F6 zur Berechug der Tabelle mit de Folgeglieder. Diese Folge ist etwas gaz besoderes. Eiige ihrer Eigeschafte wolle wir us asehe:

6 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a 5 Eigeschaft : Es gilt a a a a Die Differez der Quadrate aufeiader folgeder Glieder ist also gleich dem Produkt der ächste zwei Glieder. Beispiel: oder a8 a a a a a a a Ma ka dies so beweise: Wir gehe aus vo der Rekursiosformel: a a a () Demach ist a a a () ud a = a -+ a - (3) Aus (3) folgt durch Umstellug: a a a (4) () mal (4): a aaaaa a a, was zu beweise war.

7 40070 Zahlefolge FIBONACCI u.v.a 6 Eigeschaft : Was die Wurzel aus 5 so alles ka Ma ka die Fiboaccifolge auch explizit agebe durch folgede Formel: a Diese Gleichug wurde vo dem frazösische Mathematiker Jacques-Philippe- Marie Biet 843 agegebe,