4. Reihen Definitionen

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1 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a := Σ a k Die Name der (Zahle-)Reihe sid selbstverstädlich idetisch mit de Name der Folge, dere Glieder addiert werde: o Alterierede Reihe Streg abwechseld positive ud egative Glieder, o Arithmetische Reihe: Die Differez aufeiader folgeder Glieder ist kostat, o Geometrische Reihe: Der Quotiet aufeiader folgeder Glieder ist kostat. Beispiele: a k = (-1) k : 1, -1, 1, -1, 1,... => alterierede Reihe a k = k: 1, 2, 3, 4, 5,... a k+1 - a k = 1 => arithmetische Reihe a k = 2 -k : 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... a k+1 / a k = 1/2 => geometrische Reihe Die Summe S ka selbstverstädlich icht direkt berechet werde, weil wir ja icht uedlich viele Terme explizit addiere köe. Sie wird deshalb schrittweise ageähert, idem wir Teil- (Partial-) Summe s (auch: edliche Reihe s ) vom erste bis zum -te Glied bilde ud immer größer werde lasse. s := Σ a k. Besitzt u die Folge der Partialsumme (s ) = s 1, s 2, s 3,... userer Reihe S eie Grezwert, da ist dieser idetisch mit der Summe S: lim s = S oder ausführlich: lim Σ a k = Σ a k. Kovergete Reihe: Die Absolutbeträge ihrer Grezwerte S sid edlich; Bestimmt divergete Reihe: Ihre Grezwerte S gehe gege uedlich (S ±); Ubestimmt divergete Reihe: Es existiert kei Grezwert. o (d Alembert sches) Quotietekriterium: J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 1

2 Reihe S koverget, falls ab k = m 1 gilt: (i) Q k := a k+1 /a k < 1 ud (ii) Q := lim Q k < 1. k Für Q = 1 ist keie Aussage möglich - hier müsse adere Kriterie beützt werde. Beispiele: a) S = Σ (1/(k-1)!) = 1/! + 1/1! /k! +... :Koverget, de: (i) Q k := a k+1 /a k = (1/k!) / (1/(k-1)!) = (k-1 / k) < 1. (ii) Q := lim Q k = (1-1/)/1 = 1. k Hier keie Aussage möglich, adere Kriterie zeige, S = e. b) S = Σ a.q k : Je ach der q-größe koverget oder diverget, de: (i) Q k := a k+1 /a k = q k+1 / q k = q. => Für alle q < 1 koverget, für alle q 1 diverget, de auch (ii) Q := lim Q k = q. k c) S = Σ (q k / k!): Ebefalls je ach der q-größe koverget oder diverget, de: (i) Q k := a k+1 /a k = [q k+1. k!]/[(k+1)!. q k ] = q. [k /(k+1)] => aber jetzt, dass hier eie adere Kovergezgreze ist, ämlich: q. [k /(k+1)] < 1 => Koverget für q < (k+1) / k.! (ii) Q := lim Q k = q. [k /(k+1)] = q.[1/(1-1/k) = q.[1/(1-1/) = q. k d) S = Σ [(-1) k. k! / k 4 ]: Immer diverget, de: (i) Q k : a k+1 /a k = [(k+1)! / (k+1) 4 ] / [k! / k 4 ] = [k 4. (k+1)! /[(k+1) 4 ]. k!] = = [(k+1). k 4 ] / (k+1) 4 ] = k 4 / (k+1) 3 stets > Spezielle Reihe J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 2

3 4.2-1 Arithmetische Reihe S A = Σa k : Da die Differez aufeiader folgeder Glieder kostat ist (a k+1 - a k = d), köe wir sie auch so schreibe: S A = Σ a k = Σ [a 1 + (k-1).d]. Die arithmetische Reihe S A sid für icht verschwidedes d bestimmt diverget, daher mache ur ihre Partialsumme s Si: s = Σ a k = (a 1 + a ). /2 oder i der Alterativform: s = Σ [a 1 + (k-1).d] = [2a 1 +(-1). d]. / Geometrische Reihe S G = Σa k : Da der Quotiet aufeiader folgeder Glieder kostat ist (a k+1 / a k = q), köe wir sie auch so schreibe: S G = Σ a k = a 1. Σ q k-1. Ihre Partialsumme s bereche sich folgedermaße: s = a 1. Σ q k-1 = a 1.(1 - q ) / (1 - q) Aus dem Quotietekriterium folgt umittelbar, dass die geometrische Reihe S G für q < 1 koverget sid (es ist ja q = a k+1 / a k ). Der Zahlewert vo kovergete geometrische Reihe S G ergibt sich aus dem Grezwert der Teilsummefolge: S G =lim [a 1 Σ q k-1 ] = lim [a 1.(1 - q ) / (1 - q)] = a 1.(1 - lim q ) / (1 - q) = a 1 (1 - )/ (1 - q) = a 1 / (1 - q). J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 3

4 4.3. Reihe vo Fuktioe Sid die Glieder a k eier Folge (a k ) keie Kostate soder Fuktioe a k = a k (x), da erhalte wir durch ihre Aufsummierug eie Fuktiosreihe S F. S F = Σ a k (x) Potezreihe Sid die Glieder a k eier Folge (a k ) die Produkte vo Zahlefaktore A k ud de x-poteze x k (a k = A k.x k ), da schreibt sich diese Folge als (a k (x)) = A.x, A 1.x 1, A 2.x²,..., A k.x k,... = (A k.x k ), (k N) ud die Reihe, die wir durch Summatio dieser Folgeglieder A k.x k erhalte, heißt Potezreihe S P : S P = Σ A k.x k = A + Σ A k.x k. k= Wege des assoziative Gesetzes für die Additio reeller ud komplexer Zahle sid zwei Potezreihe Σ(A k.x k ) ud Σ(B k.x k ), geau da idetisch - we für die Koeffiziete aller Poteze x k jeweils gleich sid (A k = B k für alle k). o Kovergezeigeschafte: Mit jedem x= cost reduziert sich die Potezreihe zu eier gaz ormale Zahlereihe. Daher gelte hier dieselbe Kovergezkriterium wie bei de Zahlereihe. Nach dem Quotietekriterium muss (i) a k+1 / a k = Q k < 1 ud (ii) lim Q k = Q< 1. k Wege a k = A k. x k => (i) Q k = (A k+1. x k+1 )/ (A k. x k ) = (A k+1. x)/ A k < 1 Daraus folgt, dass A k+1 / A k < 1/ x, ud schließlich x < 1/( A k+1 / A k ) = A k / A k+1 als Bedigug, dass die Potezreihe koverget ist. Der Grezwert R = A k / A k+1 heißt daher auch Kovergezgreze (auch: Kovergezradius). Der Kovergezbereich (-itervall) ist daher: (-R, R). J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 4

5 Diese eifache Formel gilt allerdigs ur, we die Koeffiziete A k icht explizit vom Laufidex k abhäge, da dieser ja über alle Greze geht (k ). Häge higege die Koeffiziete A k explizit vom Laufidex k ab, da müsse wir für die Berechug des Kovergezradius de Grezwert vo A k / A k+1 für k bilde. Der Kovergezradius berechet sich da ach: R = lim A k / A k+1. k Beispiel: Σ(x k / k!) => A k = 1/k! => A k / A k+1 = (k+1)!/k! = k+1; => Quotiet hägt explizit vo k ab, daher Grezwertbildug für R: R = lim (k+1). k Der Kovergezradius ist also R ; die Reihe kovergiert für alle reelle Zahle. o Ableitug der Potezreihe. Da jede Potezfuktio f(x) = A.x ( Z; b R) stetig ud differezierbar ist, gilt dasselbe auch für jede edliche Summe solcher Fuktioe ud für jede uedliche Summe ierhalb ihres Kovergezbereiches. Die Differetiatio erfolgt gliedweise: S P / x = Σ k. A k.x k Taylorreihe (Taylorpolyome) Eie Fuktio f sei auf dem offee Itervall I (+1)-mal stetig differezierbar, ud x ud x = (x + Δx) seie 2 Pukte auf diesem Itervall. Werde die Koeffiziete A k eies Polyoms -te Grades i der Abszissedifferez zwische diese beide Pukte, Δx = (x - x ), mit Hilfe der k-te Ableitug der Fuktio f(x) a der Stelle x gemäß der Formel A k = f (k) (x )/ k! gebildet, da heißt es Taylorpolyom (oder: Taylorreihe ) T (x, x ) vom Grade : J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 5

6 k T (x, x ) = Ak.( Δx) = A + A 1.Δx + A 2.(Δx) A k.(δx) k A.(Δx), (k, N) k= Die Kostate x o heißt oft Zetrum (auch: Mittelpukt oder Etwicklugspukt) der Taylorreihe. MacLauri hatte diese Reihe für das spezielle Zetrum x o = vor Taylor aufgestellt, daher heißt diese spezielle Taylorreihe häufig auch MacLauri-Reihe. Wird die Fuktio f(x) i der Nähe vo x = x durch ei Taylorpolyom -te Grades ersetzt, da spreche wir vo eier (-te Grad)-Approximatio der Fuktio f(x): = : Kostate Approximatio: f(x) = f(x ) = 1: Lieare Approximatio: f(x) = f(x ) + f (x ).Δx = 2: Quadratische Approx.: f(x) = f(x ) + f (x ). Δx + [f (2) (x )/ 2].(Δx)² = : (-te Grad)-Approx.: f(x) = f(x ) + f (x ). Δx + [f (2) (x )/ 2].(Δx)² +...+[f () x )/!].(Δx) = [f k= (k) k (x ) / k!].( Δx) Die Approximatio eier Fuktio f(x) i der Nähe des Kurvepuktes (x o, f(x o )) durch eie Taylorreihe heißt meistes Etwicklug der Fuktio f(x) i eie Taylorreihe um de Pukt x o, obwohl x o selbstverstädlich ur der Abszissewert des damit agesprochee Puktes (x o, f(x o )) ist. Beispiel: J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 6

7 Etwicklug vo f(x) = si x i eie Taylorreihe um x =. A = si () = ; A 3 = f (3) ()/ 3! = -cos()/ 6 = -1/6; A 1 = f ()/ 1! = cos()/1 = 1; A 4 = f (4) ()/ 4! = si()/ 24 = ; A 2 = f (2) ()/ 2! = -si()/2 = ; A 5 = f (5) ()/ 5! = cos()/ 12 = 1/12; => f(x) = A + A 1 x + A 2.x² A. x = + x + - x³/6 +.+ x 5 / Gemäß dem Weierstrass sche Approximatiossatzes ist evidet, dass jede Fuktio f(x) durch ei Polyom geüged hohe Grades mit beliebiger Geauigkeit approximiert werde ka. Damit ka jede Fuktio f(x) als Summe zweier Terme geschriebe werde, ämlich aus eiem Taylorpolyom -te Grades ud der Differez vo desse Zahlewert zum Zahlewert der Fuktio f(x) im betrachtete Pukt ( Restglied R (x, x ) ): (k) k f(x) = [f (x ) / k!].( Δx) + R (x, x) k= Über diese Restterm R (x, x) köe wir zuächst ichts aussage. Bedeutede Mathematiker - vor allem Lagrage ud Cauchy - erarbeitete Abschätzuge für diese Restterm. User Beispiel iklusive Restglieder: J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 7

8 o Zur Etwicklug eier Fuktio f(x) um de Pukt x o i eie Taylorreihe stehe verschiedee Methode zur Verfügug. Wichtig sid (i dieser Reihefolge) (i) Formelsammluge ud Tabelle; Computerprogramme (ii) Additio, Subtraktio ud Multiplikatio bekater Taylorreihe. Dies gibt ach Sammel der Terme gleicher Ordug die Taylorreihe der Summe, der Differez, des Produkts der beide Fuktioe (Kovergezradie beachte!) (iii) Substitutio i bekate Taylorreihe. (iv) Explizite Polyometwicklug. Dafür beötige wir allerdigs eie allgemeie Ausdruck für die k-te Ableitug der Fuktio f(x). J.Tomiska 21: Mathematikskizze Teil 4 8