6.3 Folgen und Reihen

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1 63 Folge ud Reihe Folge sid ichts aderes als Fuktioe f vo der Mege N {,,, 3, } der atürliche Zahle oder vo eiem ihrer Edabschitte N m { m, m +, m +, } i irgedeie Mege Ma schreibt i diesem Fall meist f statt f ud et dies das -te Glied der Folge f (f ) Etwas ugeau spricht ma auch vo der "Folge f " Für Folge bedeutet usere allgemeie Kovergezdefiitio vo /N f c : Zu jeder Umgebug V vo c gibt es ei, so daß f für alle > i V liegt Im Falle eier edliche Zahl c heißt dies: zu jedem > gibt es ei mit f Kc! für alle > Bei beliebig vorgegebeer Fehlerschrake weiche also fast alle Folgeglieder (dh alle bis auf edlich viele) um weiger als vo c ab Higege besagt /N f N (bzw /N f KN ), daß bei beliebig vorgegebeem fast alle Folgeglieder oberhalb vo (bzw uterhalb vo K) liege Eie Folge, die keie Grezwert (auch icht N oder KN) hat, et ma diverget Das Kovergezverhalte eier Folge hägt icht vo ihre Afagsglieder ab; dh bei Abäder edlich vieler Glieder bleibe Kovergez-Eigeschafte ud Grezwerte uverädert Beispiel : Geometrische Folge sid vo der Form c mit eier kostate Zahl c, die reell oder komplex sei darf Es gilt /N c, falls c!,, falls c, N, falls c reell ud c > ist I alle adere Fälle ist die Folge c diverget So divergiert beispielsweise die Folge K, weil für keie Zahl x fast alle Folgeglieder i der Umgebug U K x liege, also weiger als vo x abweiche: Etweder befide sich uedlich viele der Form oder uedlich viele der Form - außerhalb U Zur Illustratio des komplexe Falles zeiche wir die gege kovergete Folge der Poteze der Zahl i c 9 e 9 cos C9 si i

2 Kovergezkriterie diee dazu, vo eier Folge erst eimal festzustelle, ob sie überhaupt kovergiert (ohe de Grezwert zu kee) Eies davo bezieht sich auf mootoe Folge Mootoie Eie reelle Fuktio (speziell also eie reelle Folge) f heißt mooto wachsed, falls x! y stets f x % f y impliziert, mooto falled, falls x! y stets f y % f x impliziert, mooto, falls sie mooto wächst oder mooto fällt Vo eier streg mooto wachsede bzw fallede Fuktio spricht ma, we sie zusätzlich ijektiv ist, i de obige Bediguge also sogar < (echt kleier) gilt Die Verküpfug zweier mooto wachseder oder zweier mooto falleder Fuktioe ist mooto wachsed, währed die Verküpfug eier mooto wachsed ud eier mooto fallede Fuktio eie mooto fallede Fuktio ergibt Beispiel : Verküpfug mootoer Fuktioe Auf dem Itervall ]5,3] betrachte wir die Fuktioe f x x, g x x, h x C cos x

3 3 f h g,,5,,5 3, f ud h sid streg mooto falled, g ist streg mooto wachsed Deshalb sid f+g ud g+ h streg mooto falled, wogege f+h ud h+ f streg mooto wachse 3 goh foh hof fog,,5,,5 3, Für die Mootoie vo Folge reicht es, je zwei beachbarte Glieder zu teste: Eie Folge f ist mooto wachsed (bzwfalled), falls stets f % f C (bzw f C % f ) gilt, streg mooto wachsed (bzw falled), falls stets f! f C (bzw f C! f ) gilt De aus f % f C folgt zum Beispiel mit Iduktio: f % f Ck % f CkC, also f % f m für alle! m Das Mootoiekriterium Jede mooto wachsede Folge ist koverget, ud der Grezwert ist geau da edlich (dh icht N), we die Folge ach obe beschräkt ist I diesem Fall ist der Grezwert das Supremum der Folge, dh die kleiste über alle Folgeglieder liegede Zahl

4 Idem ma die Vorzeiche wechselt, sieht ma: Jede mooto fallede Folge ist koverget, ud der Grezwert ist geau da edlich (dh icht KN), we die Folge ach ute beschräkt ist I diesem Fall ist der Grezwert das Ifimum der Folge, dh die größte uter alle Folgeglieder liegede Zahl Ei etsprechedes Mootoiekriterium gilt allgemei für Fuktioe Formuliere Sie es selbst! Beispiel 3: Zwei streg mootoe Folge Die Folge K ist streg mooto wachsed, da ud auch die Fuktio Kx streg mooto fällt Die Folge K kovergiert gege Die Folge si ist streg mooto falled, da streg mooto fällt ud die Siusfuktio im Itervall [,] streg mooto wächst Diese Folge kovergiert gege,,8 -/,6,4, si(/) 3 Nullfolge sid gege kovergete Folge, also zb, oder l C Reihe Aus jeder Folge f kostruiert ma die zugehörige Reihe s durch Summatio der jeweils erste Glieder (Partialsumme) s > k f k f + f ++f Falls s kovergiert, schreibt ma N >k f k : /N s Später werde wir us mit solche Reihe och ausführlich befasse Für de Augeblick möge es geüge, ei paar Kovergezkriterie für Reihe ud eiige Beispiele zu erwähe

5 Nullfolgekriterium Zuächst stelle wir fest, daß die Glieder f eie Nullfolge bilde müsse, damit die zugehörige Reihe gege eie edliche Wert kovergiere ka De /N s c impliziert /N f /N s C Ks /N s C Kc C /N cks Beispiel 4: Die geometrische Reihe s >k kovergiert für alle komplexe Zahle c, dere Betrag kleier als ist Der Grezwert ist da N >k c k c k /N s Kc De für die Partialsumme ergibt sich mittels Iduktio >k c k KcC Kc ud c C geht gege, Für c kovergiert die Reihe gege N Für alle adere c ist sie diverget; für c O sieht ma das umittelbar mit dem Nullfolgekriterium Was passiert bei c? Das Nullfolgekriterium liefert leider ur eie otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe Daß die zu eier Nullfolge gehörige Reihe keieswegs gege eie edliche Wert zu kovergiere braucht, zeigt Beispiel 5: Die harmoische Reihe s >k k C C 3 CC kovergiert gege N, wie die folgede Abschätzug zeigt: s O Diese bekommt ma wieder iduktiv: s C s C C CC C O C C $ C Diese Reihe wächst allerdigs sehr lagsam, ud zwar, wie wir später sehe werde, etwa so wie der atürliche Logarithmus Um die Zahl 4 zu überbiete, muß ma fast eie Millio Summade bilde!

6 3 l(x) >k k () Das Quotietekriterium liefert eie hireichede (aber icht otwedige) Bedigug für die Kovergez eier reelle oder komplexe Reihe s >k f k : Falls die Quotiete f C f vo eiem ab durch eie feste Zahl q! ach obe beschräkt sid, so kovergiert s gege eie edliche Wert; sid die Quotiete higege durch ach ute beschräkt, so hat die Reihe de ueigetliche Grezwert N oder ist diverget Der erste Teil ergibt sich durch eie Vergleich mit der geometrische Reihe q >k k ud eie Awedug der Dreiecksugleichug De zweite Teil bekommt ma mit eier ähliche Überlegug Wie die harmoische Reihe zeigt, geügt es icht, daß alle Quotiete kleier als sid! Adererseits ka eie Reihe eie edliche Grezwert habe, obwohl das Quotietekriterium verletzt ist:

7 Beispiel 6: Die reziproke Quadratsumme s >k k C C 3 CC kovergiere gege eie edliche Wert, da sie mooto wachse ud durch beschräkt sid: s %+ >k K Das Leibizkriterium kk k C $ C $3 CC K C K 3 C K K K ist häufig da hilfreich, we die Reihe s icht mooto ist Es besagt: Ist f eie mootoe Nullfolge, so ist die alterierede Reihe s >k K k f k ebefalls koverget, ud zwar liegt der Grezwert zwische je zwei Folgeglieder s ud s C Beispiel 7: Die Leibizreihe K K 7 dere Summade die alterierede ugerade Stammbrüche sid, ist ebeso wie das obige Kriterium ach dem Namespatro userer Uiversität beatda die uegrade Stammbrüche mooto gege Null gehe, ist die Leibizreihe koverget Wie wir später sehe werde, ist ihr Grezwert 4 Das wußte Leibiz scho um 67; er sah i dieser erstaulich eifache Formel ei Wuderwerk der Schöpfug Leider ist die Kovergez sehr lagsam ud für praktische Zwecke ugeeiget Beispiel 8: Die Eulersche Zahl e ist eie der wichtigste Zahle der gesamte Aalysis ud wird us immer wieder begege Ma berechet sie, idem ma die reziproke Fakultäte aufsummiert: s > k k! Auf diese Weise bekommt ma eie mooto wachsede, durch 4 ach obe beschräkte Folge: >k k! % k > Kk < 4 (geometrische Reihe!) Daher ist s koverget gege eie Zahl N e k > k! Die Kovergez ist wege der große Neer der Summade recht schell:

8 s : s : s : 5 s 3 : s 4 : s 5 : s 6 : s 7 : s 8 : s 9 : s : 7888 s : s : s 3 : s 4 : () Das sieht sehr ach eiem periodische Dezimalbruch aus! Diese Hoffug wird jedoch durch das folgede Argumet widerlegt: Wäre e ei Bruch mit dem Neer, so wäre! ek >k k! eie vo verschiedee atürliche Zahl, da sich alle Neer wegkürze Aber das widerspricht der Ugleichug! ek > k k! N! k > C k! N < > k C k (geometrische Reihe!) Zugleich habe wir eie gute Abschätzug für die -te Näherugssumme gefude: eks!!, ud das ist scho für 8 deutlich kleier als K5 Die Kovergez der Reihe s > k Quotiete f C f k!! C! C sieht ma übriges sofort mit dem Quotietekriterium: Die kovergiere gege

9 Ahag Regelmäßige Vielecke ud eie Näherugsfolge für die Kreiszahl Die achfolged beschriebee Methode der äherugsweise Berechug vo mit Hilfe vo regelmäßige -Ecke war scho Archimedes bekat Er hat damit (im 3 Jahrhudert vor Chr!) die auf drei Dezimalstelle geaue Abschätzug 7! < 3 7 gefude I der achstehede Skizze ist S die halbe Seite eies regelmäßige -Ecks ud s die halbe Seite des durch Wikelhalbierug etstehede -Ecks Die zugehörige Sektorwikel sid bzw C S s s S Aus der Skizze liest ma ab (bei ormiertem Kreisradius ): S si, C cos KS,,

10 S C KC KC s si ud erhält die Formel für de Sius des halbe Wikels: si Kcos K Ksi K KS Damit ka ma u s si s si, s C Geometrisch beschreibt u s si rekursiv bestimme: K Ks de halbe Umfag des regelmäßige -Ecks, das dem Eiheitskreis eibeschriebe ist Damit ist aschaulich klar, daß u gege de halbe Kreisumfag kovergiert Dies folgt auch aus der früher hergeleitete Beziehug si x x/ x durch Eisetze vo x ud Multiplikatio mit : /N si Die obige Rekursiosformel führt beim Übergag vo s zu u auf die Gleichug u C K K u, ud die erste Glieder dieser Folge berechet MAPLE exakt ud geähert wie folgt: u : u : u 3 : 4 K u 4 : 8 K C

11 u 5 : 6 K C C u 6 : 3 K C C C u 7 : 64 K C C C C u 8 : 8 K C C C C C (3) Das ist immerhi auf 4 Stelle geau, aber wege der Wurzel sehr ubequem zu reche Außerdem passiert wege der Rudugsfehler bei weitere Iteratioe etwas gäzlich Uerwüschtes: Die Zahle bewege sich lagsam wieder vo 3459 weg! , , , , , (4) 3,5 3,3 3, 3,9 3,7,,,4,6,8,,,4,6 Später werde wir viel eifacher auszuwertede ud besser kovergierede Folge zur äherugsweise Berechug vo keelere