( 1) n 1 n n n + 1. n=1

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1 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe ) + i) des Leibizkriteriums, ii) des Majoratekriteriums, iii) des Quotietekritieriums, iv) des Wurzelkriteriums. i) Es gilt mit a für alle N die Ugleichug + + a + + ) ) + + ) + + a. Dabei habe wir die für N gültige Ugleichug + + ) verwedet. Also ist a ) mooto falled. Weiter gilt a + + 0, d.h. a ) ist eie Nullfolge. Da die Reihe zudem alteriered ist, folgt aus dem Leibizkriterium, dass die gegebee Reihe kovergiert. ii) Es sei a : ) +. Da folgt + a + : b 2. Da b kovergiert, kovergiert auch ) ach dem Majoratekritierum. + iii) Mit a ) + folgt a + a + + ) + + ) + ) ) + ) + + ) ) ) +) + e 0 0 <. Also kovergiert die Reihe ach dem Quotietekriterium absolut. ) )

2 iv) Mit a : ) + + folgt a + + ) + 0 <, de ach dem Eischließugskriterium gilt die Ugleichug ud somit + absolut.. Nach dem Wurzelkriterium kovergiert also die Reihe Aufgabe 2 Bereche Sie de Kovergezradius der folgede Potezreihe, wobei z C ist. a) ) z b) z! c) e) )2 z d) z f) 0 0 2)! z! + ) ) 0 z a) Es ist a ) ud es folgt r ). Wir aalysiere de Term geauer: 4k : 4k 4 + 5, 4k + : 4k+ 7, 4k + 2 : 4k+2 4, 4k + : 4k+ 4 i 7. Der Kovergezradius lautet somit r 5. b) Wir beachte, dass gilt a, a 2, a 6, a 24,...

3 ud alle adere Koeffiziete sid 0. Also gilt a, d.h. der Kovergezradius lautet c) Mit a 7 + 5)2 folgt r a. a 7 + 5) , 2 wobei ach dem Eischließugskriterium gilt + 5. Somit folgt für de Kovergezradius d) Für a 2)! folgt a a + 2)! r 2 a )! 2 + 2)2 + ) + ) + + Also erhalte wir für de Kovergezradius r lim if a a +. ) ) ) +. e) Es ist a ud es gilt 2 a ) Dabei folgt jeweils aus dem Eischließugskriterium 0 sowie 2 ) Isgesamt erhalte wir als Kovergezradius 2 r a 2.

4 f) Wir verwede die Grezwertsätze ud erhalte! + ) ) z! z + ) z, 0 0 dabei ist im Momet och icht klar, für welche z C diese Gleichheit gültig ist. Für die erste Potezreihe! z gilt a a +! 0 + )! + ) + ) 0 ) + ) + + Also besitzt die erste Potezreihe de Kovergezradius r Potezreihe ) z besitzt de Kovergezradius r 2 0 a ) ).. Die zweite ) mit der Kovetio. Für de Kovergezradius der gesamte Reihe gilt 0 somit r mi{r, r 2 }. Aufgabe kovergiert. Bestimme Sie alle x R, für die die Potezreihe a) a ) + ), b) a + 4) ). a x mit x R 0 a) Das Wurzelkriterium liefert de Kovergezradius r a ) + ) +. Somit kovergiert die Potezreihe für alle x, ). Wir utersuche de Rad. x. Da lautet die Reihe ) ) + ) ) + ) ) 0 0 die als harmoische Reihe divergiert. x. Da ist ) + ) ) ) ach dem Leibizkriterium koverget, da a ) : + fallede Nullfolge ist 0 +, eie mooto

5 Isgesamt kovergiert somit die Potezreihe für alle x, ]. b) Mit dem Wurzelkriterium ergibt sich r a + 4) ) )4 4 + ) 4. Die Potezreihe kovergiert für alle x 4, 4 ). Wir utersuche de Rad: x 4. Es gilt da 0 + 4) ) 4 ) + 4)4 ) + ) )4 Diese Reihe divergiert, da die Folge ) + ) wege diverget ist. x 4. Es gilt da + 4)4 ) + ) ) )4 + ) + 4 )4 ) + ) 0 + 4) ) Diese Reihe divergiert, da die Folge keie Nullfolge ist. ) ) 4 + ). + 4)4 + ) wege + 4) 4 + ) )4 + ) + 4 )4 + ) Isgesamt kovergiert somit die Potezreihe für alle x 4, 4 ). Aufgabe 4 Verwede Sie die Euler-Formel e ix cos x + i si x, um zu zeige, dass die Abbildug f : C C mit fz) e z icht ijektiv ist. Was ist das Bild vo f? Es gilt mit z x + iy e z e x+iy e x e iy e x cos y + i si y ). Wege der 2π-Periodizität der Sius- ud Cosiusfuktio gilt für v 0 + i0 ud w 0 + 2πi e v e 0 cos 0 + i si 0 ) sowie e w e 0 cos2π) + i si2π) ). Für v w gilt also fv) fw), so dass f icht ijektiv ist.

6 Wir erkee, dass die Mege { z C z x + iy, x R, 0 y 2π } auf die gesamte komplexe Ebee außer 0 abgebildet. Es folgt also isgesamt für die Bildmege fc) C \ {0}. Aufgabe 5 Bestimme Sie für z C mit z < Reihedarstelluge vo z i ud z + i ud daraus mit Hilfe des Cauchyprodukts eie Darstellug vo + z. 2 Es gilt mit Hilfe der geometrische Reihe sowie z i z + i i iz i i 2 iz) i iz) i ) i z i + iz i iz i iz) i i z Multiplikatio mit Hilfe des Cauchyproduktes ergibt mit 0 z i z + i ) ) ) i + z i + )z 0 0 c ) k i k+ i k+ ) k0 ) k+ i +2 i k0 Falls gerade ist, d.h. 2m mit m N 0 ist, so ist ) m. Falls ugerade ist, d.h. 2m + mit m N 0, so folgt Zusammegefasst gilt demach für m N 0 Es folgt also z i z + i c z 0 ) i + z 0 i + )z. 0 c z 0 ) k k0 ) k ud i i 2m k0 c 2m ) m ud c 2m+ 0. c 2m z 2m m0 ) m z 2) m m0 m0 ) k 0. k0 z 2 ) m + z 2.