8. Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE)

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1 8 Gewöhliche Differetialgleichuge (ODE) 81 Motivatio Eidimesioale (1d) Bewegug eies Teilches (Masse m, keie Reibug) im Potezial U() U() E klassisch: Ermittle die Bahkurve/Trajektorie (t) des Massepukts (MP) aus der auf ih wirkede Kraft F() durch Lösug der Differetialgleichug ( (t) ) d (t) = m = m & (t), d t F du() F() = d "Itegratio der Newto sche Bewegugsgleichug quatemechaisch: Die statioäre Wellefuktio ψ() geügt der Schrödiger-Gleichug d i h d m + U() ψ() = E ψ() Auch das ist eie, i diesem Falle gewöhliche, ODE für die im allgemeie komplee (also icht messbare!) Fuktio ψ () Die statistische Iterpretatio vo ψ() ψ*() d als Wahrscheilichkeit, das qm Objekt ierhalb des Itervalls ( + d, ) azutreffe (Ma Bor), löst dieses Problem (Kopehageer Deutug der Quatemechaik) 1

2 8 Grudbegriffe ud eifache Beispiele = f (, y) d ist die eplizite Form eier ODE erster Ordug () Gesucht wird die Fuktio y(), die = f (, y()) mit der Afagsbedigug (AB) d y( ) = y erfüllt Geometrisch: Die Gesamtheit aller Tagete i der -y-ebee defiiert ei Richtugsfeld Die gesuchte Lösugskurve muss sich a dieses Richtugsfeld aschmiege ud de AB geüge Eistez ud Eideutigkeit der Lösuge: Satz vo Cauchy Eie wie auch immer gefudee oder erratee Lösug ist die für gegebee eizig eistierede Die allgemeie Lösug der ODE ethält ubestimmte Kostate, die durch die AB festgelegt werde grobe Klassifikatio der Differetialgleichuge: - ODE oder PDE - lieare DE: y ud seie Ableituge ur i der erste Potez Beachte: Newto sche Bewegugsgleichug ud Schrödigergleichug sid lieare DG! - ichtlieare DE: Mehrfachlösuge, Multistabilität, Stabilitätsaalyse, Lösugsverzweigug (Bifurkatio), uu sesitive Abhägigkeit der Lösug vo de Afagsbediguge, eigeschräkte Vorhersagbarkeit, determiistisches Chaos (Edward Lorez, 1965; drei gekoppelte ichtlieare ODE 1 Ordug)

3 Eifache Beispiele: = f () d Da die rechte Seite ur vo abhägig ist, gilt y () = d f ( ) + cost = y + d f ( ) Die zuächst ubekate Kostate wird durch eie Afagsbedigug (AB)/eie vorgegebee Afagswert festgelegt, y ( = ) = y, ud y() ist die Stammfuktio vo f() = h() g(y) d Das ist eie separable ODE 1 Ordug Sie ka durch Treug der Variable gelöst werde y = h()d Itegratio H() H( ) g(y) =, AB: y ( = ) = y g(y ) y dh Dabei ist H() die Stammfuktio vo h(), also = h(), ud die AB wurde bereits d berücksichtigt 3

4 83 Lieare ODE der Ordug Schreibweise y () k ( 1) d y () + f () y () f () y () + f() y() = fk () k d k= = L y() = f (), (f () 1) Drei Sätze: 1 Die homogee ODE -ter Ordug L y() = hat geau liear uabhägige Lösuge y 1 (),, y () Die allgemeie Lösug der homogee ODE L y = lautet y() = c 1 y 1 () + c y () + + c y () mit Kostate c i, die aus de Afagsbediguge y(), y'(),, y (-1) () bestimmt werde (Diskutiere Superpositiosprizip, Grudgleichuge der Physik sid liear ) 3 Die allgemeie Lösug der ihomogee ODE L y() = f () ist y() = y () + c 1 y 1 () + + c y (), wobei y () eie partikuläre Lösug der ihomogee ODE ist, also L y = f () gilt y y + y = d d Das ist eie lieare, homogee ODE zweiter Ordug ( L = + ) d d Besoderheit: I jedem Term ist die Azahl der -Poteze gleich Ordug der Ableitug Deshalb versuche wir de Asatz λ λ y =, [ λ( λ 1) λ + ] =, λ λ + =, λ = 1, λ = 3 1 Allgemeie Lösug: y () = c + Probe: selbst! 1 c 4

5 84 Lieare ODE erster Ordug (Kapitel gleichzeitig Beispiel für Awedug der Sätze (1-3) = p() y + q() allgemeie, eplizite Form d 1 Schritt: Bestimme die allgemeie Lösug der homogee Gleichug, hier durch Treug der Variable Wir erhalte y = p() d, l y = lc + dz p(z), also y () = cep dz p(z ) mit der freie Kostate c Diese wird aus der AB bestimmt, dh y() = y ep p(z) dz, y( = ) = y Schritt: Bestimme eie partikuläre Lösug der ihomogee Gleichug Im vorliegede Fall geschieht dies durch Variatio der Kostate Lösugsasatz: y () = c() ep p(z) dz dc Eisetze i = p() y + q() ergibt: = e + c p()e = p() y() + q() d d d Daraus folgt d = dc() d = q()e Die letzte Gleichug ist umittelbar itegrierbar (rechte Seite hägt ur vo ab) u () = du q(u) ep p(z) dz + c( ) c 5

6 Also lautet die allgemeie Lösug uter Berücksichtigug der Afagsbedigug y ( = ) = y P() P() P(z) y() = y e + q(z) e dz, wobei P () = p(z) dz die Stammfuktio vo p() ist Damit habe wir die gesuchte Lösug durch gewöhliche Itegrale ausgedrückt, die ODE also gelöst, bzw itegriert 85 Lieare ODE zweiter Ordug TUTORIUM 86 Systeme liearer ODE mit kostate Koeffiziete Der Epoetialasatz fuktioiert auch bei Systeme aus gekoppelte lieare homogee Differetialgleichuge i d = a ikyk, = A y, i,k = 1,,, (a ik seie reell, Summekovetio) d Der Epoetialasatz y () i λ = Cie ( λ δik a ik )Ck = führt auf ei System aus homogee algebraische Gleichuge für ubekate Kostate C k Notwedig ud hireiched für ichttriviale Lösuge (icht alle C k = ) ist: Det( λ δ a ) charakteristische Gleichug ik ik = Polyom der Ordug i λ mit geau Lösuge λ 1, λ,, λ (Gauß scher Fudametalsatz), de Eigewerte (EW) der Matri A Die EW köe komple ud zum Teil (oder gaz) eiader gleich sei Etartug 6

7 Hat ma verschiedee EW λ μ, erhält ma die allgemeie Lösug des ODE Systems durch Überlagerug der λ e μ μ = 1,,, μ= 1 μ μ i λμ y () = a C e i Beachte: Eie homogee lieare ODE -ter Ordug ist äquivalet zu eiem System aus gekoppelte lieare ODE 1 Ordug 7