Höhere Mathematik 4 Kapitel 14 Partielle Differentialgleichungen

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1 Höhere Mathematik 4 Kapitel 14 Partielle Differetialgleichuge Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus

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3 Höhere Mathematik 4 Kapitel 14 Ihaltsverzeichis 14 Partielle Differetialgleichuge Grudbegriffe Lösugverfahre für die Wellegleichug Afagswertproblem der Wellegleichug Afags-Radwertproblem der Wellegleichug Lösugverfahre für die Wärmeleitugsgleichug Lösug der Laplace-Gleichug i spezielle Gebiete Lösug der Laplace-Gleichug i Kreise Lösug der Laplace-Gleichug i Kugel Lösug der Laplace-Gleichug i Zylider

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5 14 Partielle Differetialgleichuge Zur mathematische Beschreibug physikalischer Vorgäge reiche oft die Fuktioe eier reelle Veräderliche icht aus. Daher ist die Diskussio vo Gleichuge mit Fuktioe vo mehr als eier Veräderliche, i dee partielle Ableituge dieser Fuktioe auftrete, für alle techische Aweduge wichtig, aus Zeitgrüde aber ur a Beispiele durchführbar Grudbegriffe Es sei G für ei Gebiet mit Rad G. Da heißt, aalog zu = 1, eie Gleichug Fx (,, x, uu,,, u,, u ), ( x,, x) G 1 x x x... x 1 1 i1 i k zwische eier gesuchte Fuktio u ud gewisse ihrer Ableituge sowie de Veräderliche x 1,, x eie partielle Differetialgleichug der Ordug k, we k die höchste auftretede Ableitugsordug ist. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-1 Gesucht ist somit eie k-mal stetig differezierbare Fuktio u auf G, d.h. u C k (G), die diese Gleichug erfüllt. Auch hier ist u im allgemeie icht durch die Differetialgleichug soder erst durch hizufüge vo Afags- bzw. Radbediguge eideutig festgelegt. Für die Aweduge sid besoders die lieare partielle Differetialgleichuge. Ordug wichtig, d.h. k = ud F ist liear i u ud alle auftretede Ableituge. Im Falle = lautet die allgemeie lieare Differetialgleichug. Ordug axy (, ) u b( x, y) u c( x, y) u d( x, y) u e( x, y) u f ( x, y) u g( x, y). xx xy yy x y Wie bei gewöhliche Differetialgleichuge wird auch hier wieder zwische de Fälle eier "lieare homogee", d.h. g(x, y), ud eier "lieare ihomogee" partielle Differetialgleichug uterschiede. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-

6 Beispiel: ux, G beschreibt eie lieare homogee partielle Differetialgleichug 1. Ordug mit der Lösugsgesamtheit u(x,y) = f ( y), wobei f ( y) beliebig. Aufgrud der Liearität gilt wie bei gewöhliche lieare homogee Differetialgleichuge der folgede Satz. Satz 14-1: Die Lösuge der lieare homogee partielle Differetialgleichug bilde eie Vektorraum (über ). Amerkug: Im Gegesatz zu gewöhliche Differetialgleichuge hat dieser Vektorraum im allgemeie keie edliche Dimesio, so dass dieser Satz keie Hiweis auf die Darstellug der Lösugsgesamtheit, soder ur auf die Gewiug weiterer Lösuge liefert. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-3 Satz 14-: (Superpositiosprizip) 1) Sid u 1,,u L Lösuge eier liear homogee partielle Differetialgleichug, so ist auch jede Liearkombiatio eie Lösug. u ) Sid ll 1 L u( x) c u ( x), c l1 l l l Lösuge dieser lieare homogee partielle Differetialgleichug der Ordug k ud gilt für k u( x) c u ( x) mit c ud uc ( G) l1 l l l so ist auch u eie Lösug, falls die k-malige Differetiatio gliedweise durchführbar ist. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-4

7 3) Ist u (x) für a b,, Lösug eier liear homogee partielle Differetialgleichug, so auch u( x): b u ( x) d a Außerdem ka wie bei gewöhliche lieare ihomogee Differetialgleichuge der folgede Satz formuliert werde. Satz 14-3: Die Lösugsgesamtheit der lieare ihomogee partielle Differetialgleichug ist darstellbar als Summe der Lösugsgesamtheit der zugehörige lieare homogee partielle Differetialgleichug ud eier spezielle Lösug der lieare ihomogee partielle Differetialgleichug. Wie scho erwäht, sid ebe der Differetialgleichug im allgemeie och Afags- ud Radbediguge zu erfülle, die zur Differetialgleichug "passe" müsse. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-5 Beispiel: Es sei G = {(x, y): x > } da hat u x = i G die Lösug u(x,y) = f ( y). Mit der Bedigug u(, y) ( y), y ka f gemäß f ( y) = ( y) festgelegt werde. Demgegeüber wäre eie Bedigug ux (,) ( x), x wohl kaum sivoll, da die Lösugsgesamtheit der Differetialgleichug icht vo x abhägt. Defiitio 14-1: Ei mathematisches Problem heißt sachgerecht (korrekt gestellt), we gilt: a) Es gibt eie Lösug. b) Die Lösug ist eideutig. c) Die Lösug hägt stetig vo de Afagsdate ab. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-6

8 Amerkug: Bei eiem sachgerechte Problem dürfe also keie Widersprüche i der Problemstellug auftauche, es muss vollstädig gestellt sei, ud seie Lösug muss isbesodere vo mögliche Fehler der Eigagsdate, wie sie z.b. durch Rudugsfehler bei der umerische Behadlug vo Afagswertaufgabe auftrete köe, stetig abhäge. Für de besoders wichtige Spezialfall = soll u eie Eiteilug der partielle Differetialgleichuge. Ordug axyu (, ) bxyu (, ) cxyu (, ) hxuu (,,, u) xx xy yy x y die i de Ableituge. Ordug liear sid ud die ma als quasilieare oder fastlieare partielle Differetialgleichug bezeichet, vorgeomme werde, die zusamme mit Aussage über die auftretede Radbediguge ud die Radkurve des Gebietes G die Beurteilug gestatte, ob das gestellte Problem sachgerecht ist. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-7 Defiitio 14-: Die Differetialgleichug axy (, ) u b( x, y) u c( x, y) u h( x, u, u, u ) mit xx xy yy x y Dxy (, ): axycxy (, ) (, ) b( xy, ) heißt i G 1) elliptisch, falls D(x, y) > i G ) parabolisch, falls D(x, y) = i G 3) hyperbolisch, falls D(x, y) < i G. Offebar ist der Typ im allgemeie ortsabhägig, falls icht a(x, y), b(x, y) ud c(x, y) kostat sid. Beispiel: 1) Wellegleichug u c u, c, G ( x, y) : y yy xx D c hyperbolisch Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-8

9 ) Laplace-Gleichug uyy uxx, G ( x, y) : x y 1 D 1 elliptisch Nach Klassifizierug der Radbediguge gemäß Defiitio 14-3: Eie Radbedigug heißt 1) Dirichlet-Bedigug, we u auf G ) Neuma-Bedigug, we u / auf G ( zeigt is Iere) 3) Cauchy-Bedigug, we u ud u / auf G gegebe sid. ka ma de folgede Satz zeige, vgl. Morse ad Feshback, Methods of Theoretical Physics I, Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-9 Satz 14-4: Die folgede Probleme sid sachgerecht. Gleichugstyp Rad vo G Radbedigug Hyperbolisch offe Cauchy Parabolisch offe Dirichlet oder Neuma Elliptisch geschlosse Dirichlet oder Neuma Dabei bedeutet "Rad vo G geschlosse" bzw. "Rad vo G offe", dass G eie eifach geschlossee Kurve bzw. keie geschlossee Kurve ist. Damit liefert das Beispiel auf S (Wellegleichug) ei sachgerechtes Problem, falls auf G eie Cauchy-Bedigug vorgeschriebe wird. Für das Beispiel auf S (Laplace-Gleichug) muss eie Dirichlet oder Neuma-Bedigug gegebe sei. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-1

10 14. Lösugsverfahre für die Wellegleichug Die Wellegleichug utt c uxx c c,, repräsetiert eie wichtige Grudtype partieller Differetialgleichuge. Ordug. Um eie Eiblick i de Charakter der Lösuge zu gewie, soll zuächst das reie Afagswertproblem der Wellegleichug (z.b. eie uedlich Lage schwigede Saite) betrachtet werde Afagswertproblem der Wellegleichug Gegebe sei das sachgerechte Problem utt c uxx, c, c mit G ( x, t): t, u( x,) ( x), ut ( x,) ( x). Afagslage Afagsgeschwidigkeit Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Wir führe die eue Variable ud ei mit x ct, x ct Für u(x,t) = w(,) gilt da u w w w w x x x, u w w w w w w w, xx x x x x u w w cw cw t t t, u c w w c w w c w c w c w tt ( t t ) ( t t ). Eisetze i die Differetialgleichug liefert u c u c ( w w w ) c ( w w w ) tt xx 4cw w, da c. Diese partielle Differetialgleichug lässt sich wege w ( w ) w ist uabhägig vo w f( ) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-1

11 eifach durch itegriere löse, d.h. w(, ) f( ) d G( ), wobei die Itegratioskostate vo abhägt. Ist F () eie Stammfuktio vo f (), da gilt w(, ) F( ) G( ). Hieraus ergibt sich ach Rücksubstitutio die Lösugsgesamtheit der homogee Wellegleichug i G zu uxt (, ) Fx ( ct) Gx ( ct), wobei F ud G beliebige, zweimal stetig differezierbare Fuktioe sid. Die Fuktioe F ud G köe u mit Hilfe der Afagsbediguge ( x) ux (,) Fx ( ) Gx ( ) ud ( x) u ( x,) cf( x) cg( x) bestimmt werde. t Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Ist eie Stammfuktio vo für x, so ka die Lösug dieses Gleichugssystems für F ud G dargestellt werde als F ( x ) ( ) ( ) ud ( ) ( ) ( ). x c x G x x c x Die (d Alembert) Lösug isgesamt lautet somit schließlich 1 1 u( x, t) ( x ct) ( x ct) ( x ct) ( x ct). c Physikalisch wird hier der Zustad eier schwigede uedlich lage Saite beschriebe. u(x,t) ist die Auslekug aus der Ruhelage am Ort x zum Zeitpukt t, wobei Afagslage ud Afagsgeschwidigkeit (t = ) vorgegebe sid. Die Lösug ka iterpretiert werde als Superpositio zweier Welle, die sich mit der Geschwidigkeit c i etgegegesetzte Richtuge ausbreite. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-14

12 14.. Afags-Radwertproblem der Wellegleichug A) Gegebe sei das sachgerechte Problem mit,, utt c uxx c c G ( x, t): t, x l de Afagsbediguge ux (,) ( x), ut ( x,) ( x) Afagslage Afagsgeschwidigkeit ud de Radbediguge u(, t) u( l, t) für t, z.b. die Schwigug eier bei x = ud x = l eigespate Saite. Damit die Nebebediguge überhaupt erfüllbar sid, muss gelte () u(,), () ud ( l) u( l,), ( l). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Offebar köe die hizugekommee Nebebediguge icht ohe Schwierigkeite i die i Kapitel gefudee Lösug eigearbeitet werde. Es ist daher güstiger, eie adere Darstellugsform der Lösuge der Differetialgleichug zu bestimme, bei der dies eifacher ist. Separatiosasatz uxt (, ) u( xu ) ( t) 1 Obwohl dieser Asatz sicher im allgemeie icht zur Lösugsgesamtheit der Differetialgleichug führt, liefert er ei Stadardverfahre zur Lösug vo Afags-Radwertprobleme bei partielle Differetialgleichuge. Eisetze vo u ( x, t) u( x) u ( t) ud u ( x, t) u ( x) u( t) xx i die Wellegleichug liefert 1 tt 1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-16

13 ud damit uu 1 cuu 1 u u 1 u 1 1 c u Da die like Seite eie Fuktio vo x allei, die rechte eie vo t allei ist, ka Gleichheit ur bestehe, falls beide kostat sid, etwa gleich, mit. Also erhält ma die zwei gewöhliche Differetialgleichuge u u ud u c u. 1 1 Mit de Nebebediguge führt dies für u 1 auf die "Eigewertaufgabe" u u, u () u ( l) die zuächst falls möglich gelöst werde soll. Die Lösugsgesamtheit der gewöhliche Differetialgleichuge für u 1 hägt vo dem ubekate Wert vo ab. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus x x a) : u1( x) ce 1 ce Radbediguge liefer Gleichugssystem für c 1, c : u () c c c c u ( l) ce c e c sih l l l das offebar ur trivial lösbar ist, so dass < für die Lösug der partielle Differetialgleichug bei de gegebee Nebebediguge icht i Frage kommt. b) : 1( ) 1 u x c c x Radbediguge liefer Gleichugssystem für c 1, c : u1() c1 u1( l) c1cl c c, da l, also keie Lösug 1 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-18

14 c) : u1( x) c1cos x csi x Radbediguge liefer Gleichugssystem für c 1, c : u () c 1 1 u ( l) c cos l c si l c si l 1 1 Dieses System ist (bei gegebeem l > ) icht-trivial lösbar, falls l Die, heiße Eigewerte. Ma erhält dazu die icht-triviale Lösuge u1, ( x) csi x,, c. l. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Für = erhält ma für die Differetialgleichug u c u die Lösugsgesamtheit c c u, () t d1, cos td, si t,, d1,, d,. l l Isgesamt sid damit u( x, t) u1, ( x) u, ( t) c c acos tsi xbsi tsi x l l l l für a, b, Lösuge der Wellegleichug, die jedoch im allgemeie icht eizel die Afagsbediguge ux (,) ( x) ud u( x,) ( x) befriedige köe. t Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-

15 Awedug des Superpositiosprizips liefert mit uxt (, ) u( xt, ) 1 1 c c acos tsi xbsi tsi x l l l l eie Lösug der Wellegleichug, sofer die Reihe zweimal gliedweise differeziert werde darf (was bei geeigeter Wahl der a, b sicher möglich ist). Die Koeffiziete a, b ka ma u oft so bestimmte, dass die Afagsbediguge ( x) u( x,) a si x 1 l c ( x) ut( x,) b si x 1 l l Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-1 erfüllt werde. Lasse sich (x) ud (x) i x l i Fourier-Reihe etwickel c ( x) Asi x, ( x) B si x 1 l 1 l l so liefert c c uxt (, ) Acos tsi xbsi tsi x 1 l l l l die Lösug der Wellegleichug uter de gestellte Nebebediguge, we diese Reihe zwei Mal gliedweise differezierbar ist (was als Bedigug a (x) ud (x) aufgefasst werde ka). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-

16 B) Gegebe sei das sachgerechte Problem mit utt c uxx c c,, G ( x, t): x, t, de Afagsbediguge ux (,), x, ut ( x,), x Afagslage Afagsgeschwidigkeit ud de Radbediguge u(,) t ht (), u(,) t fürtmit h(),lim ht (). Physikalisch hadelt es sich um eie "halbuedliche" Saite, die bei t = i Ruhe ud i "" fest eigespat ist sowie bei x = "bewegt" wird. I diesem Fall liefert die Awedug der Laplace-Trasformatio ei güstiges Lösugsverfahre. t Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-3 Awedug der Laplace-Trasformatio Hierbei besteht das Prizip dari durch Awedug der Laplace-Trasformatio auf eie partielle Differetialgleichug eie Ableitugssorte verschwide zu lasse, so dass im Falle = aus eier partielle Differetialgleichug eie gewöhliche Differetialgleichug wird. Sei st U( x, s): u( x, t) e dt falls das Itegral kovergiert, was als Voraussetzug a u gedeutet werde ka (es solle ur solche Lösuge u(x,t) bestimmt werde, die Laplacetrasformierbar sid ud für die die im folgede auftretede Itegrale "geüged gut" kovergiere). Da gilt falls st Uxx( x, s) uxx( x, t) e dt Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-4

17 st st st (, ), x(, ) ud xx(, ) u x t e dt u x t e dt u x t e dt gleichmäßig i x ud s kovergiere ud ach Satz 11-3d. u x t e dt s U x s su x u x st tt(, ) (, ) (,) t(,) Somit liefert die Awedug der Laplace-Trasformatio auf die Wellegleichug uter Berücksichtigug der Werte u(x,) = u t (x,) = die gewöhliche Differetialgleichug Uxx Dazu komme die Radbediguge st s c U ( ). st U(, s) u(, t) e dt h( t) e dt : H( s) ud U(, s). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-5 Für c >, s > hat die Differetialgleichug die Lösugsgesamtheit U( x, s) c ( s) e c ( s) e, ( s c) x ( s c) x 1 wobei sich c 1 ud c aus de Radbediguge Hs () U(,) sc() sc() s 1 U(, s) lim c ( s) e c ( s) e x ( s c) x ( s c) x 1 zu c 1 (s) = ud c (s) = H(s) ergebe. Die Lösug lautet demzufolge U x s H s e c s x ( sc) x (, ) ( ),,,. Mit dem Verschiebugssatz, vgl. Satz 11-3c, erhält ma daraus t x c uxt (, ). ht ( xc) xct Die Probe bestätigt u c u h( tx c) c ( 1 c) h( tx c) tt xx Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-6

18 sowie die Nebebediguge ux (,), u( x,), u(, t) ht ( ), u(, t). t Bei partielle Differetialgleichuge kommt es somit darauf a, die Lösuge der Differetialgleichug zu bestimme, die am beste a die gegebee Afags- ud Radbediguge agepasst werde köe. Dazu ist es atürlich wichtig, möglichst viele Lösugsasätze zu kee. Als ei besoders wichtiges Verfahre stellt sich dabei der Separatiosasatz heraus, möglicherweise uter Beutzug verschiedeer Koordiatesysteme (je ach Form vo G). Beispiel: utt 4uxx, G ( x, t): x5, t, ux (,), ut ( x,) 5si( x) (Afagsbediguge) u(, t) u(5, t) (Radbediguge) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus ) Für die Lösugsgesamtheit gilt i G uxt (, ) f ( x t) g( x t) Afagsbediguge liefer ux (,) f( x) gx ( ) ud 5si( x) u( x,) f( x) g( x) f( x) g( x), 4 g( x) 5si( x) 5 5 g( x) cos( x) C f( x) cosx C 4 4 ud damit uxt (, ) 5 cos ( ) cos ( ) 5 si( )si( ) 4 x t x t x t wobei u(x,t) ebe der Differetialgleichug ud de Afagsbediguge u(x,) = ud u t (x,) = 5si(x), wie die Probe zeigt, auch die Radbediguge u(,t) = u(5,t) = erfüllt. t Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-8

19 ) Separatiosasatz liefert u u u () u (5) u 4 u sowie aalog zu Seite mit 5 die Lösuge 1, ( ) si bzw., ( ) 1, cos u x c x u t d t d, si t ud ach Superpositio schließlich die Lösug uxt (, ) acos tsi xbsi tsi x Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-9 Aus de Afagsbediguge ( x) u( x,) a si x 1 5 ( x) ut( x,) 5si( x) b si x folgt hier 5 für 5 a für ud b, für, 5 so dass 5 uxt (, ) si( t)si( x). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-3

20 3) Awedug der Laplace-Trasformatio liefert für mit ud st U( x, s) u( x, t) e dt st Uxx( x, s) uxx( x, t) e dt u x t e dt s U x s su x u x st tt(, ) (, ) (,) t(,) die Differetialgleichug i x 4 Uxx( x, s) s U( x, s) 5si( x) mit der Lösugsgesamtheit Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus U(,) x s si( x) c () s e c () s e s 4 Die Radbediguge U(,s) = U(5,s) = liefer c ( s) c ( s) 1 (5 ) s (5 ) s 1 c s e ( s ) x ( s ) x 1 c ( s) e ( ) ud damit c 1 (s) = c (s) =, d.h. U 5 5 ( x, s ) si( ) si( ). 4 x s s ( ) x Mit Hilfe der im Beispiel auf Seite 11-1 agegebee Korrespodez ergibt sich die Lösug da ebefalls zu 5 uxt (, ) si( t)si( x). Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-3

21 14.3 Lösugsverfahre für die Wärmeleitugsgleichug Die Wärmeleitugsgleichug ist i ut a uxx g x t a (, ), G ( x, t): xl, t eie lieare ihomogee parabolische Differetialgleichug. Eie passede (sachgerechte) Nebebedigug auf G ist etwa wobei gelte muss u(, t) u( l, t) für t, ux (,) rx ( ) für x l u(,) r() u( l,) r( l). Der Separatiosasatz für das zugehörige homogee Problem Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus u t a uxx u(, t) u( l, t), u( x,) r( x) liefert mit uxt (, ) u( xu ) ( t), uuu, u uu, ud demzufolge u au 1 t 1 xx 1 u da uu a uu 1 u1 1 1 für u 1 (x) das Eigewertproblem u u, u () u ( l) das ur für die Eigewerte l icht-trivial lösbar ist mit Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-34

22 u1, ( x) csi x, c. l Für de Faktor u (t) i u(x,t) = u 1 (x) u (t) erhält ma für = die Differetialgleichug u a u mit der Lösugsgesamtheit a l t u, () t d e, d also isgesamt a l (, ) t u x t u1, ( x) u, ( t) be si x. l Zur Aufahme der Bedigug u(x,) = r(x) bildet ma a l (, ) (, ) t uxt u xt be si x 1 1 l Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus ud erhält die Bedigug rx ( ) b si x, xl 1 l für b. Lässt sich also r(x) i eie Fourier-Reihe der obige Form mit Fourier-Sius-Koeffiziete b etwickel, so stellt a l (, ) t uh x t be si x 1 l mit diese b eie Lösug des homogee Problems dar, sofer diese Reihe i G zweimal gliedweise differeziert werde darf. Um die Lösug des Gesamtproblems zu erhalte, muss zur Lösug u h (x,t) des homogee Problems och eie partikuläre Lösug u p (x,t) des ihomogee Problems ut a uxx g( x, t) u(, t) u( l, t), u( x,) Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-36

23 addiert werde, da uxt (, ) uh( xt, ) up( xt, ) wege der Liearität da sowohl die Differetialgleichug als auch die Nebebediguge erfüllt. Zur Bestimmug u p (x,t) erweist sich der Asatz "Variatio der Kostate" der u 1, (x,t) beutzt, d.h. up( x, t) c( t)si x, 1 l als geeiget. Mit u p (x,) = für x l folgt c () =. Eisetze i die Differetialgleichug liefert a c () t c() t si x g( x,) t 1 l l Gibt es u für g(x,t) eie Darstellug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus g( xt, ) e ( t)si x, 1 l so folgt, dass c (t) für das AWP a c () t c() t e(), t c() l erfülle muss, wodurch c eideutig bestimmt ist. Beispiel: ut 4uxx si( x), G ( x, t): x, t, ux (,) si(3 x) 4si(5 x) (Afagsbediguge) u(, t) u(, t) (Radbediguge) a) homogees Problem Für l = ergibt sich aus Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-38

24 mit 3 5 rx ( ) b si x 1 b, b 4 ud b für, 3 5 die Lösug der homogee Differetialgleichug zu u x t e x e x 36 1 (, ) t t h si(3 ) 4 si(5 ) b) ihomogees Problem Der Asatz up( x, t) c( t)si( x) 1 liefert über 1 für c () t 4 c() t e() t, c() für, Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus mit c () t für, ud 1 16t c() t 1e 16 die partikuläre Lösug 1 u x t e x 16 16t p(, ) 1 si( ). Die Lösug des Gesamtproblems lautet da schließlich uxt (, ) u( xt, ) u( xt, ) h t si( ) 36t si(3 ) 4 1t si(5 ). p e x e x e x 16 Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-4

25 14.4 Lösug der Laplace-Gleichug i spezielle Gebiete Für eie offee Mege G wurde für f C (G) i Kapitel 1.1 der Laplace-Operator eigeführt. T f : f div grad( f) I diesem Abschitt solle u für spezielle Gebiete G bzw. 3 Lösuge der Laplace-Gleichug u = i G bestimmt werde, die auf G vorgeschriebee Werte aehme. Defiitio 14-3: Ist G Gebiet, so heißt u: mit u C (G) harmoisch i G, we i G gilt u =. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Beispiel: a) p( x, y, z) x y z ist harmoisch i 3, da p p, p 4 b) Jedes lieare Polyom ist harmoisch xy c) f( x, y) e ist irgeds harmoisch i, da ur für (x,y) = (,). xx xx yy zz f f e y x yy xy ( ) Zur Lösug vo u = im Gebiet G ud Apassug a vorgegebee Werte vo u auf G kommt es u wieder darauf a, möglichst viele Darstellugsforme für harmoische Fuktioe zu fide, mit dee bei gegebeem G ud Werte auf G gut zu arbeite ist. Für eiige Soderfälle vo G soll das u ausführlich diskutiert werde. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-4

26 Lösug der Laplace-Gleichug i Kreise Gesucht ist eie Lösug der Laplace-Gleichug u i G ( x, y): x y R mit R > fest. Hier ist der Übergag zu Polarkoordiate x rcos, y rsi mit G G (, r ): r R, zweckmäßig, da i ihe die Radbedigug leichter formulierbar ist. Aus uxy (, ) ur ( cos, rsi ) vr (, ) folgt die Äquivalez 1 v 1 v uxx uyy r, r r r r wobei Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus lim u(, ) u( x, y) lim v( r, ) V( ). (, ) ( xy, ) G rr Ausgagspukt zur Lösug der trasformierte Laplace-Gleichug ist hier wieder der Separatiosasatz vr (, ) v1() rv( ). Eisetze liefert v( ) d dv1( r) v1( r) d v( ) r r dr dr r d ud für v 1 (r)v () ach Umforme r d dv 1 d v. v dr dr v d 1 r 1 Es muss also mit gelte r d dv1 1 d v rv 1rv 1 v1 r,. v1 dr dr v d v v Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-44

27 Die zweite Differetialgleichug liefert ur für =, Lösuge, die π-periodisch sid, so dass ur für = die so zu erhaltede Lösuge v(r,) eideutig bleibe, we um ei gazzahliges Vielfaches vo π wächst, d.h. v ( ) a cos( ) b si( ), a, b,., Die erste Gleichug braucht atürlich ur für diese gelöst zu werde, d.h. rv rv v, Dies ist eie Eulersche Differetialgleichug mit der Lösugsgesamtheit v ( r) c d l r, c, d, 1, 1, 1 v ( r) c r d r, c, d. Damit löse v (, r ) c d l, r v (, r ) a cos( ) b si( )( c r d r ), Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus die Laplace-Gleichug. Zur Apassug der Radbedigug ka wieder das Superpositiosprizip agewedet werde, d.h. vr (, ) c dlr acos( ) bsi( )( cr dr ). 1 Aus der Beschräktheit vo v(r,) für r (physikalisch sivolle Lösug) folgt d = für ud somit 1 Ausutze der Radbedigug vr (, ) c acos( ) bsi( ) r. 1 vr (, ) V( ) c acos( ) bsi( ) R ud etwickel vo V() i eier Fourier-Reihe Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-46

28 A V A B liefert ach Koeffizietevergleich ( ) cos( ) si( ) 1 A A B c a b R R,,, schließlich die Lösug des Dirichlet-Problems im Iere des Kreises mit dem Radius R, A r (, ) cos( ) si( ), 1 R vr A B falls A, B die Fourier-Koeffiziete der Radfuktio V() bezeiche. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Lösug der Laplace-Gleichug i Kugel Gesucht ist eie Lösug der Laplace-Gleichug u i G ( x, y, z): x y z R mit R > fest. Hier sid Kugelkoordiate x rcos cos, y rsicos, z rsi mit G G (, r, ): r R,, / besoders geeiget. Aus uxyz (,, ) ur ( cos cos, rsicos, rsi ) wr (,, ) folgt die Äquivalez 1 ( rw) w r 1 (cos w ) uuxx uyy uzz, r r r cos r cos wobei Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-48

29 lim u(,, ) u( x, y, z) lim w( r,, ) W(, ). (,, ) ( xyz,, ) G rr Der Separatiosasatz wr (,, ) w() rw( ) w( ) 1 3 liefert ach Eisetze ud Multiplikatio mit r /w 1 d w 1 d ( rw 1) (cos w 3). w dr w cos w cos d 1 3 Es muss also mit gelte d 1 1 d ( rw 1) w1, w (cos w 3). dr w cos w cos d 3 Die Differetialgleichug für w 1, d.h., rw1 rw1 w1 ist eie Eulersche Differetialgleichug mit de Lösuge Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus w r ar br a b 1 1 () mit,, wobei 1, die Nullstelle vo + = bezeichet, also 1 + = 1 ud 1 =. Zur bessere Darstellug sei 1 = l ud daher = (l + 1), also = l (l + 1). Eisetze vo i die Differetialgleichug für w, w 3 liefert w cos d (cos w 3) l( l1)cos. w w3 d Diese Gleichug ka ur da erfüllt werde, we w cos d ud (cos w 3) l( l1)cos mit w w d 3 gilt. Die Lösuge vo w w müsse π-periodisch sei. Somit muss = m gelte mit m, d.h. Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-5

30 w, m( ) cmsi( m) dmcos( m). Aus der verbliebee Gleichug für w 3 cos d(cos w) d l( l1) cos m w 3 3 erhält ma mittels der Trasformatio t si, w3 q( t) mit dw dq dt dq dq d dt d dt dt 3 cos 1t für, d dw3 dw3 d w3 (cos ) si cos d d d d dq t dq d q t 1t 1t 1t dt 1 t dt dt 3 dq d q t 1t 1t dt dt die Differetialgleichug Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus (1 ) dq dq t t(1 t ) l( l 1)(1 t ) m q dt dt oder für t < 1 < / dq t dq 1 m ( 1). ll q dt (1 t ) dt 1 t 1 t Für m = ist dies die bekate Legedresche Differetialgleichug, die durch Potezreiheasatz um t = gelöst werde ka ud für l die Legedre-Polyome l l 1 d ( x 1) L() t 1, Ll () t für l l l l! dx als Lösug besitzt. Da ma zeige ka, dass die L l (t) die eizige Lösuge der Legedre-Differetialgleichug sid, die bei t = 1 edlich bleibe, adererseits aber auch die Radwerte auf G auch i de Pole, also für = / im allgemeie edlich sid, ist die Beschräkug auf l sivoll, so dass ma mit Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-5

31 als Lösug qt () L() t w( ) L(si ) l w (, r, ) ( ar br ) L(si ) d l ( l1) l, l l l erhält. Für m ka ma zeige, dass m m m d Ll (): t 1 t Ll() t m dt die Differetialgleichug für q(t) für m l löst ud überdies die eizige Lösug ist, die bei t = 1 edlich bleibt. Damit sid Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus l ( l1) m wlm, ( r,, ) ar l br l Ll (si ) cmsi( m) dmcos( m) für m, l, l m, a l, b l, c m, d m Lösuge der Laplace-Gleichug. Aus der Beschräktheit vo w l,m für r (physikalisch sivolle Lösug) ka ma wieder auf b l = schließe, d.h. l m wlm, ( r,, ) ar l Ll (si ) cmsi( m) dmcos( m). Durch Awede des Superpositiosprizips erhält ma weitere Lösuge. l Lösug der Laplace-Gleichug i Zylider Gesucht ist eie Lösug der Laplace-Gleichug u i G ( x, y, z): x y R mit R > fest. Hier sid u Zyliderkoordiate x rcos, y rsi, z mit G G (, r, ): r R,, besoders zweckmäßig. Aus uxyz (,, ) ur ( cos, rsi, ) wr (,, ) folgt die Äquivalez 1 w 1 w w u uxx uyy uzz r, r r r r wobei Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-54

32 lim u(,, ) u( x, y, z) lim w( r,, ) W(, ). (,, ) ( xyz,, ) G rr Der Separatiosasatz liefert ählich wie i Kapitel wr (,, ) w() rw( ) w( ) d dw 1 d w 1 d w. rw dr dr r w d w d 1 3 r 1 3 Diese Gleichug ka ur da erfüllt werde, we 1 d dw 1 d w w w r mit ud rw1 dr dr r w d gilt. Aus der letzte Gleichuge folgt 1 d dw 1 d w rw dr dr w d 1 r r 1, Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus also d w w ud r ( rw 1) ( r ) w1 mit. dr Damit w eideutig (π-periodisch) ist, muss = m gelte mit m, d.h. w, m( ) cmsi( m) dmcos( m). Die Differetialgleichug für w 1 rw rw ( r m) w ist bis auf de Faktor eie Besselsche Differetialgleichug. Durch die Trasformatio für > t r, q( t) w ( r), w q, w q erhält ma die Besselsche Differetialgleichug tq tq ( t m) q mit de Lösuge Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus 14-56

33 q () t a J () t b N (), t a, b, m, m m m m m m m wobei J m (t) die Bessel-Fuktio ud N m (t) die Neuma-Fuktio m-ter Ordug bezeichet. Rücksubstitutio liefert da schließlich w1, m() r amjm r bmnm r,. Aus der Beschräktheit vo w l,m für r (physikalisch sivolle Lösug) ka ma wege lim N ( r) auf b m = schließe, d.h. r Wege > erhält ma für w 3 m w (),. 1, m r amjm r w3, ( ) Ae Be, A, B,, ud isgesamt also Hochschule Breme Höhere Mathematik 4 / Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus wm, (, r, ) amjm r cmsi( m) dmcos( m) Ae Be woraus ma durch Superpositio weitere Lösuge gewie ka.