A.1 Rekursionsgleichungen

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1 A.1 Rekursiosgleichuge I mache Abzählprobleme ist es icht eifach, die Lösug auf direktem Wege zu fide. Oft ist es jedoch möglich, die Lösug eies Problems mit eier bestimmte Größe durch die Lösug desselbe Problems gerigerer Größe auszudrücke. Diese Art vo Abhägigkeit der Lösuge utereiader führt auf Rekursiosgleichuge. Obwohl es keie praktikable systematische Methode für die Lösug eier allgemeie Rekursiosgleichug gibt, beschreibt dieser Abschitt eiige Verfahre, die auf spezielle Gleichuge agewadt werde köe ud dabei eie explizite Lösug des Abzählproblems liefer. Das Thema Rekursiosgleichuge erweist sich dabei als diskreter Gegesatz zu Kozepte, die aus der Theorie gewöhlicher Differetialgleichuge bekat sid. A.1.1 Defiitioe: Grudlegede Kozepte Eie Rekursiosbeziehug für die Folge a 0, a 1, a,... ist eie Gleichug, die das Folgeglied a mit bestimmte voragehede Glieder a i, i < für jedes 0 i Beziehug setzt. Eie Rekursiosbeziehug ist liear, falls a als eie lieare Fuktio eier feste Azahl vorageheder Glieder ausgedrückt werde ka. Aderefalls heißt die Rekursiosbeziehug ichtliear. Eie Rekursiosbeziehug ist vo k-ter Ordug, falls a durch k voragehede Glieder a 1, a,..., a k ausgedrückt wird. Eie Rekursiosbeziehug ist homoge, falls die Nullfolge a 0 = a 1 = = 0 die Gleichug erfüllt. Aderefalls heißt die Rekursiosbeziehug ihomoge. Eie lieare homogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug mit kostate Koeffiziete ist eie Gleichug der Form C a +C 1 a 1 + +C k a k = 0, k, wobei die C i reelle Kostate mit C 0, C k 0 sid. Afagsbediguge für diese Rekursiosbeziehug lege bestimmte Werte für isgesamt k Folgeglieder a i fest, typischerweise für a 0, a 1,..., a k 1. Fakte: 1. Eie lieare homogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug mit kostate Koeffiziete ka auch als C +k a +k + C +k 1 a +k C a = 0, 0 geschriebe werde.. Es gibt stets eie uedliche Azahl vo Lösugsfolge {a } eier lieare homogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug (mit kostate Koeffiziete). 3. Eie lieare homogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug mit kostate Koeffiziete bestimmt zusamme mit k Afagsbediguge umittelbar aufeiader folgeder Glieder a 0, a 1,..., a k 1 eideutig die Folge {a }. Dieses ist für ichtlieare Gleichuge icht otwedigerweise der Fall (s. Beispiel ute) oder auch, we icht aufeiader folgede Afagsbediguge vorgegebe werde (s. Beispiel 3). Die Bezeichuge Rekursiosbeziehug ud Rekursiosgleichug werde hier syoym verwedet.

2 4. Dieselbe Rekursiosbeziehug ka auf verschiedee Art ud Weise geschriebe werde, idem die Idizes verschobe werde. Z. B. ka die Rekursiosbeziehug a = 3a 1, 1 auch als a +1 = 3a, 0 agegebe werde. Beispiele: 1. Die Gleichug a a 1 +a = 0,, ist eie ichtlieare homogee Rekursiosgleichug mit kostate Koeffiziete. We och die Afagsbediguge a 0 = 0, a 1 = 1 gestellt werde, wird dadurch eie eideutige Folge {a } defiiert, dere erste Terme 0, 1, 1, 1, 1, 3, 11, 115,... sid.. Die Rekursiosbeziehug 1. Ordug mit kostate Koeffiziete a +1 a = 3, a 0 = 1, ist ichtliear ud ihomoge. Obwohl eie Afagsbedigug vorgegebe ist, wird damit keie eideutige Lösug festgelegt, de die beide Folge 1,, 1,,... ud 1,, 1,,... erfülle sowohl die Rekursiosgleichug als auch die gegebee Afagsbedigug. 3. Die Gleichug. Ordug a + a = 0, 0, mit de icht aufeiader folgede Afagsbediguge a 1 = a 3 = 0 defiiert keie eideutige Lösug. Sowohl a = ( 1) + 1 als auch a = ( 1) + befriedige die Gleichug sowie die Afagsbediguge. 4. Ziseszise. We eie Afagsivestitio vo P Euro bei eiem jährliche Zissatz vo r Prozet getätigt wird, wird der Wert a ach Jahre durch die Beziehug a = a 1 (1 + r 100 ), 1, mit a 0 = P beschriebe. [Der Wert am Ede des -te Jahres ist gleich dem Wert a 1 am Ede des vorhergehede ( 1)-te Jahres plus dem fällige Zisbetrag r 100 a 1.] 5. Fiboacci-Folge. Die Fiboacci-Zahle erfülle die lieare homogee Rekursiosgleichug. Ordug a a 1 a = 0,, ud die Afagsbediguge a 0 = a 1 = Bitfolge. Sei a die Azahl vo uterschiedliche Bitfolge der Läge. Da ist a 0 = 1 (die leere Bitfolge) ud a = a 1 für > 0. [Jede Bitfolge der Läge 1 erzeugt zwei Bitfolge der Läge, idem eie 0 bzw. eie 1 a das Ede der Folge mit der Läge 1 agehägt werde.] 7. Bitfolge ohe aufeiader folgede Nulle. S. Abschitt A.1., Beispiel Permutatioe. Sei a die Azahl der Permutatioe vo {1,,..., }. Da erfüllt a die lieare homogee Rekursiosgleichug 1. Ordug (mit ichtkostate Koeffiziete) a +1 = ( + 1)a, 1, a 1 = 1. Das folgt aus der Überlegug, dass jede -Permutatio π i eie ( + 1)-Permutatio durch Eifüge des ( + 1)-te Elemetes a jede der + 1 mögliche Positioe überführt werde ka sowohl am Afag als auch am Ede vo π oder zwische zwei beachbarte Elemete vo π. Um ach a aufzulöse wird die Rekursiosgleichug ud ihre Afagsbedigug wiederholt agewadt: a = a 1 = ( 1)a = ( 1)( )a 3 = = ( 1)( ) a 1 =!. 9. Catalasche Zahle. Die Catalasche Zahle erfülle die ichtlieare homogee Rekursiosbeziehug C C 0 C 1 C 1 C C 1 C 0 = 0, 1,

3 A.1 Rekursiosgleichuge 3 mit der Afagsbedigug C 0 = 1. Nimmt ma das Produkt der + 1 Variable x 1 x x +1, da bezeichet C die Azahl der Möglichkeite, ach dee das Produkt durch paarweise Multiplikatioe ausgerechet werde ka. Z. B. gibt es füf Möglichkeite, das Produkt x 1 x x 3 x 4 zu bilde: ((x 1 x )x 3 )x 4, (x 1 (x x 3 ))x 4, (x 1 x )(x 3 x 4 ), x 1 ((x x 3 )x 4 ) ud x 1 (x (x 3 x 4 )). Egal wie die Multiplikatioe auch ausgeführt werde, es wird stets ei Produkt mit äußere Klammer der Form (x 1 x x i )(x i+1 x +1 ) gebe. Die Azahl der Möglichkeite, ach dee das Produkt x 1 x x i gebildet werde ka, ist C i 1, ud die Azahl der Möglichkeite, ach dee das Produkt x i+1 x +1 gebildet werde ka, ist C i. Daher ka (x 1 x x i )(x i+1 x +1 ) auf C i 1 C i verschiedee Weise erhalte werde. Summatio über alle Werte i = 1,,..., liefert die obige Rekursiosgleichug. 10. Turm vo Haoi. Das Turm vo Haoi-Puzzle besteht aus drei Pfähle, die auf ei Brett motiert sid, ud Rige vo uterschiedlicher Größe. Zu Begi sid die Rige mit abehmeder Größe vo ute ach obe auf dem erste Pfahl übereiader gestapelt. Die Regel erlaube es, i eizele Züge acheiader jeweils eie Rig vo eiem Stapel heruter zu ehme ud auf eie adere Stapel zu lege, wobei iemals ei größerer Rig auf eie kleiere gelegt werde darf. Das Ziel des Puzzles ist es, de gesamte Turm auf de zweite Pfahl umzuschichte, wiederum mit dem größte Rig zuuterst. Wie viel Züge sid midestes erforderlich, um das Puzzle mit 64 Rige zu löse? Sei a die miimale Azahl vo Züge, um das Turm vo Haoi-Puzzle mit Rige zu löse. Um die 1 kleiste Rige vo Pfahl 1 auf Pfahl 3 umzuschichte, beötigt ma a 1 Züge. Ei weiterer Zug ist erforderlich, um daach de größte Rig auf Pfahl zu lege, ud um aschließed die 1 Rige wieder i umgekehrter Reihefolge vo Pfahl 3 auf Pfahl zu brige, werde a 1 Züge durchgeführt. Mithi ka das Puzzle mit Rige i a Züge gelöst werde, ud zwar i icht weiger Züge, weil sost das Puzzle mit 1 Rige im Widerspruch zur Voraussetzug i weiger als a 1 Züge gelöst werde köte. Demzufolge gilt a = a Die Afagsbedigug ist a 1 = 1. Eie wiederholte Awedug der Rekursiosgleichug zeigt u, dass a = a = a = = 1 a = 1. Somit sid midestes 64 1 Züge erforderlich, um dieses Puzzle mit 64 Rige zu löse. 11. Surjektive Fuktioe. Die Azahl vo surjektive Fuktioe ϕ : A B ka durch Aufstelle eier ihomogee lieare Rekursiosgleichug, die vo der Größe der Mege B ausgeht, ermittelt werde. Sei A = m die Mächtigkeit der Mege A ud a die Azahl der surjektive Fuktioe vo A auf eie Mege mit ) a1 ( ( 1 ) a 1,, Elemete. Da gilt a = m ( ) 1 a a 1 = 1. Diese Gleichug folgt aus der Tatsache, dass die Gesamtzahl der Fuktioe vo A ach B gleich m ist ud die Azahl der Fuktioe, die A auf ) eie Utermege vo B, bestehed aus geau j Elemete, abbildet, gleich a j ist. Z. B. erhält ma für m = 7 ud = 4 aus der Rekursiosbeziehug a = 7 1 = 16, a 3 = = 1 806, a 4 = = Somit gibt es verschiedee surjektive Fuktioe i diesem Fall. ( j

4 4 A.1. Homogee Rekursiosbeziehuge Im folgede Abschitt wird ageomme, dass die Rekursiosgleichuge liear sid ud kostate Koeffiziete habe. Defiitioe: Für eie geometrische Folge a 0, a 1, a,... gilt a1 a 0 der Quotiet der Folge heißt. = a a 1 = = a+1 a = = r, wobei r Die charakteristische Gleichug der homogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug C a + C 1 a C k a k = 0, k, ist die Gleichug C r k + C 1 r k C k = 0. Die charakteristische Wurzel sid die Wurzel dieser Gleichug. Die Folge {a (1) }, {a () },..., {a (k) } sid liear abhägig, we es irgedwelche Kostate t 1, t,..., t k gibt, die ihrerseits icht sämtlich verschwide, so dass k i=1 t ia (i) = 0 für alle 0 erfüllt ist. Aderefalls heiße sie liear uabhägig. Fakte: 1. Allgemeie Methode zur Lösug eier lieare homogee Rekursiosgleichug mit kostate Koeffiziete. Sie lautet: Stelle zuerst die allgemeie Lösug auf. Da wede die Afagsbediguge a, um die spezielle Lösug zu fide.. Falls die k charakteristische Wurzel r 1, r,..., r k voeiader verschiede sid, da sid r1, r,, rk liear uabhägige Lösuge der homogee Rekursiosgleichug. Dere allgemeie Lösug lautet a = c 1 r 1 + c r + + c k r k, wobei c 1, c,..., c k beliebige Kostate sid. 3. We eie charakteristische Wurzel r die Vielfachheit m besitzt, da sid r, r,..., m 1 r liear uabhägige Lösuge der homogee Rekursiosgleichug. Die Liearkombiatio c 1 r + c r + + c m m 1 r ist da ebefalls eie Lösug, wobei c 1, c,..., c m wieder beliebige Kostate sid. 4. Die Fakte ud 3 köe kombiiert werde: Falls es k charakteristische Wurzel r 1, r,..., r k mit de zugehörige Vielfachheite m 1, m,..., m k gibt (wobei eiige der m i durchaus gleich 1 sei köe), ist die allgemeie Lösug eie Summe vo solche Summe, wie sie im Fakt 3 auftrete. 5. Satz vo DeMoivre. Für jede positive gaze Zahl gilt (cos θ + i si θ) = cos θ + i si θ. Dieser Satz wird beutzt, we Lösuge vo Rekursiosgleichuge gesucht werde, dere charakteristische Wurzel komplexe Zahle sid. (S. Beispiel 10.)

5 A.1 Rekursiosgleichuge 5 6. Lösug vo Rekursiosgleichuge 1. Ordug. Die Lösug der homogee Rekursiosgleichug a +1 = da, 0, mit der Afagsbedigug a 0 = A lautet a = Ad, Lösug vo Rekursiosgleichuge. Ordug. Seie r 1, r die charakteristische Wurzel der homogee Rekursiosgleichug. Ordug Beispiele: C a + C 1 a 1 + C a = 0. Hierbei gibt es drei verschiedee Möglichkeite: r 1, r sid voeiader verschiedee reelle Zahle: r 1 ud r sid da liear uabhägige Lösuge der Rekursiosgleichug. Die allgemeie Lösug hat die Form a = c 1 r 1 + c r, wobei die Kostate c 1, c aus Werte vo a für zwei verschiedee (oftmals = 0, 1) ermittelt werde. r 1, r bilde ei kojugiert komplexes Paar a ± ib: Die allgemeie Lösug ist i diesem Fall a = c 1 (a + ib) + c (a ib) = ( a + b ) (k1 cos θ + k si θ), wobei θ = arcta b a ist. Hier sid ( a + b ) cos θ ud ( a + b ) si θ liear uabhägige Lösuge. r 1, r sid reell ud gleich: r 1 ud r 1 sid liear uabhägige Lösuge der Rekursiosgleichug. Die allgemeie Lösug ist i diesem Fall a = c 1 r 1 + c r Die geometrische Folge 7, 1, 63, 189,... mit dem Quotiete 3 erfüllt die homogee Rekursiosgleichug 1. Ordug a +1 3a = 0 für alle 0.. Die homogee Rekursiosgleichug 1. Ordug a +1 = 3a, 0, bestimmt keie eideutige geometrische Folge. Jede geometrische Folge mit dem Quotiete 3 stellt eie Lösug dar, z. B. die geometrische Folge i Beispiel 1 (mit a 0 = 7) oder die geometrische Folge 5, 15, 45, 135,... (mit a 0 = 5). 3. Die Rekursiosgleichug a +1 = 3a, 0, a 0 = 7 ka leicht mittels Fakt 6 (s. obe) gelöst werde. Die allgemeie Lösug lautet a = 7 3 für alle Ziseszise. Wie lage dauert es, bis 500 Euro durch Ziseszise verdoppelt werde, we der jährliche Zissatz 8% beträgt, die Zise aber vierteljährlich dem Guthabe zugeschlage werde? Sei a das Guthabe, achdem Vierteljahre verstriche sid, da ist a +1 = a + 0,0a = 1,0a, 0, a 0 = 500. [Der vierteljährliche Zissatz beträgt hier 0,08/4 = 0,0 = %.] Nach Fakt 6 ist die Lösug a = 500 1,0, 0. Das Guthabe verdoppelt sich also, we = 500 1,0, somit = log log 1,0 35,003. Folglich wird sich das afägliche Guthabe vo 500 Euro ach rud 35 Vierteljahre (oder Jahre) verdoppel.

6 6 5. Populatioswachstum. Die Azahl vo Bakterie i eier Kultur verdreifache sich äherugsweise jede Stude. We ach 6 Stude ca Bakterie vorhade sid, wie viel ware es da zu Begi? Sei p die Azahl der Bakterie, achdem Stude vergage sid. Da gilt p +1 = 3p für 0. Nach Fakt 6 folgt p = p 0 3, also = p ud damit p Fiboacci-Folge. Die Fiboacci-Folge 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13,... taucht i viele Aweduge auf. Ihre Glieder erfülle die homogee Rekursiosgleichug. Ordug F = F 1 + F,, mit de Afagswerte F 0 = 0, F 1 = 1. Eie explizite Formel für F ka mit Hilfe vo Fakt 7 ermittelt werde. Die charakteristische Gleichug ist hier r r 1 = 0 mit de voeiader verschiedee Wurzel 1± 5. Daher lautet die allgemeie Lösug F = c 1 ( ) + c ( 1 5 Uter Beachtug der Afagsbediguge F 0 = 0, F 1 = 1 erhält ma c 1 = 1 5, c = 1 5 ud damit die explizite Formel F = 1 5 [( 1 + ) ( 5 ). 1 ) ] 5, Lucas-Folge. Die Folge der Lucas-Zahle, 1, 3, 4, 7, 11, 18,... ist eg mit de Fiboacci-Zahle verwadt. Die Glieder dieser Folge erfülle geau dieselbe homogee Rekursiosgleichug. Ordug L = L 1 + L,, jedoch mit de adere Afagsbediguge L 0 =, L 1 = 1. Die explizite Formel für L ist L = ( ) + ( 1 5 ), Radom walk. Ei Teilche führe eie Zufallsbewegug i eier Dimesio aus, z. B. etlag der x-achse. A de Stelle x = 0 ud x = T seie Barriere aufgestellt. Bei jedem Zeitschritt bewegt sich das Teilche mit der Wahrscheilichkeit p um eie Lägeeiheit ach rechts bzw. mit der Wahrscheilichkeit q = 1 p um eie Eiheit ach liks. Sei a die Wahrscheilichkeit, dass das Teilche, we es a der Positio x = startet, die Barriere x = T eher erreicht als die adere Barriere x = 0. Ma ka u zeige, dass a die Rekursiosgleichug. Ordug a = pa +1 + qa 1 oder pa +1 a + qa 1 = 0 erfüllt. Im vorliegede Fall sid die beide Afagsbediguge a 0 = 0 ud a T = 1. Die charakteristische Gleichug pr r + q = (pr q)(r 1) = 0 hat die charakteristische Wurzel 1 bzw. q p. Für p q sid die Wurzel verschiede voeiader, ud es ka der erste Fall vo Fakt 7 agewadt werde, um a zu bestimme; für p = q muss dagege der dritte Fall vo Fakt 7 beutzt werde. Ma erhält: a = ( q p) 1 ( q p) T 1 für p q, T für p = q.

7 A.1 Rekursiosgleichuge 7 9. Die Gleichug. Ordug a +4a 1 1a = 0,, hat die charakteristische Gleichug r + 4r 1 = 0 mit de uterschiedliche Wurzel 3 ud 7. Die allgemeie Lösug der Rekursiosbeziehug lautet a = c c ( 7), 0, wobei c 1, c beliebige Kostate sid. Sid die Afagsbediguge a 0 = 1 ud a 1 = 1, so ergibt die Lösug des Gleichugssystems 1 = a 0 = c 1 + c, 1 = a 1 = 3c 1 7c die Werte c 1 = 4 5, c = 1 5. Die eideutige Lösug lautet hier a = ( 7), Die Gleichug. Ordug a 6a 1 +58a = 0,, hat die charakteristische Gleichug r 6r + 58 = 0 mit de kojugiert komplexe Wurzel 3 ± 7i. Die allgemeie Lösug ist a = c 1 (3 + 7i) + c (3 7i), 0. Mit Fakt 5 folgt weiter: (3 + 7i) = [ (cos θ + i si θ)] = ( 58) (cos θ + i si θ) mit θ = arcta 7 3. Ählich fidet ma (3 7i) = ( 58) (cos θ i si θ). Das ergibt die allgemeie Lösug a = ( 58) [(c 1 + c ) cos θ + i(c 1 c ) si θ] = ( 58) [k 1 cos θ + k si θ]. Werde als Afagsbediguge wieder a 0 = 1 ud a 1 = 1 vorgegebe, da folgt 1 = a 0 = k 1, 1 = a 1 = 58 [cos θ + k si θ], welches auf k 1 = 1, k = 7 führt. Somit ist a = ( 58) [ cos θ 7 si θ ], Die Gleichug. Ordug a + 6a +1 +9a = 0, 0, hat die charakteristische Gleichug r 6r + 9 = (r 3) = 0 mit der Doppelwurzel 3, 3. Die allgemeie Lösug dieser Rekursio ist a = c c 3, 0. Sid als Afagswerte a 0 = ud a 1 = 4 vorgegebe, da folgt = a 0 = c 1, 4 = a 1 = 3 + c 1 3, welches c 1 =, c = 3 ergibt. Daher ist a = = (3 3 1 ), Für 1 sei a die Azahl vo Bitfolge der Läge ohe aufeiader folgede Nulle. Dabei ist a 1 = (die beide Folge 0 ud 1) ud a = 3 (die Folge 01, 10, 11). Für 3 edet eie derartige Bitfolge etweder mit eier 1 oder 0. We das -te Bit 1 ist, liefer die voragehede 1 Bits bereits durch a 1 erfasste Folge; falls das -te Bit dagege 0 ist, müsse die letzte beide

8 8 Bits 10 sei ud die voragehede Bits bilde eie Folge, die durch a mitgezählt wird. Somit gilt a = a 1 + a, 3, mit a 1 = ud a = 3. Die Lösug dieser Rekursiosbeziehug ist schlicht a = F +, ämlich die um zwei Positioe verschobee Fiboacci-Folge. Eie explizite Formel für a ist i Beispiel 6 agegebe. 13. Die Rekursiosgleichug 3. Ordug a +3 a + 4a a = 0, 0, hat die charakteristische Gleichug r 3 r 4r + 4 = (r )(r + )(r 1) = 0 mit de charakteristische Wurzel, ud 1. Die allgemeie Lösug lautet a = c 1 + c ( ) + c 3 1 = c 1 + c ( ) + c 3, Die allgemeie Lösug der Rekursiosgleichug 3. Ordug a +3 3a + +3a +1 a = 0, 0, ist a = c c 1 + c 3 1 = c 1 + c + c 3, 0. Die charakteristische Wurzel sid hier 1, 1, Die Gleichug 4. Ordug a +4 + a + + a = 0, 0, hat die charakteristische Gleichug r 4 + r + 1 = (r + 1) = 0. Da die charakteristische Wurzel ±i, ±i sid, lautet die allgemeie Lösug A.1.3 a = c 1 i + c ( i) + c 3 i + c 4 ( i) = k 1 cos π + k si π + k 3 cos π + k 4 si π, 0. Ihomogee Rekursiosbeziehuge Im folgede Abschitt wird ageomme, dass die Rekursiosgleichuge liear sid ud kostate Koeffiziete habe. Defiitio: Die ihomogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug hat die Form C a + C 1 a C k a k = f(), k, wobei C 0, C k 0 ud f() 0 für midestes ei. Fakte: 1. Allgemeie Lösug. Die allgemeie Lösug eier ihomogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug hat die Form wobei a (h) a = a (h) + a (p), die allgemeie Lösug der zugehörige homogee Gleichug C a + C 1 a C k a k = 0, k, ud a (p) eie spezielle Lösug der gegebee Gleichug C a + C 1 a C k a k = f(), k, ist.

9 A.1 Rekursiosgleichuge 9. Gegebe sei die ihomogee Gleichug 1. Ordug C a + C 1 a 1 = kr, 1, mit vo Null verschiedee Kostate r ud k. We r keie Lösug der zugehörige homogee Gleichug ist, da ist a (p) = Ar mit eier Kostate A. We r eie Lösug der zugehörige homogee Gleichug ist, da ist a (p) = Br mit eier Kostate B. 3. Gegebe sei die ihomogee Gleichug. Ordug C a +C 1 a 1 +C a = kr,, mit vo Null verschiedee Kostate r ud k. We r keie Lösug der zugehörige homogee Gleichug ist, da ist a (p) = Ar mit eier Kostate A. We a (h) = c 1 r +c r1 mit r r 1, da a (p) = Br mit eier Kostate B. We a (h) = c 1 r + c r1 mit r r 1, da a (p) = C r mit eier Kostate C. 4. Gegebe sei die ihomogee Rekursiosgleichug k-ter Ordug C a +C 1 a 1 + +C k a k = f(). Falls f() ei kostates Vielfaches der i der erste Spalte vo Tabelle A.1 aufgeführte Fuktioe ist, da ergibt sich die zugehörige Musterlösug t() aus der etsprechede zweite Spalte der Tabelle. [Dabei sid A, B, A 0, A 1,..., A t, r, α reelle Kostate.] Falls kei Summad vo t() die zugehörige homogee Gleichug löst, da ist a (p) = t() eie spezielle Lösug. Falls ei Summad vo t() die zugehörige homogee Gleichug löst, so multipliziere t() mit der kleiste (positiv gazzahlige) Potez vo etwa s, so dass kei Summad der agepasste Musterlösug s t() die zugehörige homogee Gleichug löst. Da ist a (p) = s t() eie spezielle Lösug. Falls f() eie Summe vo kostate Vielfache der i Spalte 1 der Tabelle A.1 aufgeführte Fuktioe ist, da werde die agepasste Musterlösuge für jede Summade durch die beide voragehede Teile vo Fakt 4 gebildet. Diese Summade addiert, liefert eie spezielle Lösug der ihomogee Gleichug. Tabelle A.1. Spezielle Musterlösuge vo C a + + C k a k = h() h() t() c, eie Kostate A t (mit t als positiver gazer Zahl) A t t + A t 1 t A 1 + A 0 r Ar si α A si α + B cos α cos α A si α + B cos α t r r (A t t + A t 1 t A 1 + A 0 ) r si α r (A si α + B cos α) r cos α r (A si α + B cos α)

10 10 Beispiele: 1. Betrachte die ihomogee Gleichug a + 4a 1 1a = 5 (4 ),. Die Lösug ist a = a (h) + a (p), wobei a (h) die Lösug vo a + 4a 1 1a = 0,, ist. Somit gilt a (h) = c 1 (3) + c ( 7), 0. Nach der dritte Zeile aus Tabelle A.1 gilt a (p) = A (4 ) mit irgedeier Kostate A. Dieses i die gegebee ihomogee Gleichug eigesetzt, ergibt A (4 ) + 4A (4 1 ) 1A (4 ) = 5 (4 ). Nach Divisio durch 4 erhält ma 16A + 16A 1A = 80 oder A = Folglich ist a = c 1 (3) + c ( 7) , 0. We die Afagsbediguge a 0 = 1 ud a 1 = sid, bestimme sich c 1 ud c aus 1 = c 1 + c , = 3c 1 7c zu a = (3 ) ( 7) (4 ), 0.. Ageomme, die vorgegebee Rekursiosgleichug sei a + 4a 1 1a = 8 (3 ),. Da gilt immer och a (h) = c 1 (3) + c ( 7), 0 mit beliebige Kostate c 1 ud c. Wege des zweite Teils vo Fakt 3 ist eie spezielle Lösug hier a (p) = A3. Substitutio vo a (p) führt auf A3 + 4A( 1)3 1 1A( )3 = 8 (3 ). Divisio durch 3 liefert 9A + 1A( 1) 1A( ) = 7, also A = 1 5. Deshalb ist a = c 1 (3) + c ( 7) , Turm vo Haoi. (S. Beispiel 10 aus A.1.1.) We a die miimale Azahl vo Züge bezeichet, die zum Umschichte der Rige ötig sid, da befriedigt a die ihomogee Gleichug 1. Ordug a = a 1 + 1, 1, wobei a 0 = 0 ist. Hier gilt a (h) = c ( ) mit eier beliebige Kostate c sowie = A ach Zeile 1 aus Tabelle A.1. Also ist A = A + 1 oder A = 1. Mithi a (p) folgt aus a = c ( ) 1 ud 0 = a 0 = c ( 0 ) 1 die Kostate c = 1, also a = 1, 0.

11 A.1 Rekursiosgleichuge I wie viel Gebiete wird die Ebee durch Gerade i allgemeier Lage (keie zwei parallel ud keie drei mit gemeisame Schittpukt) geteilt? Mit a als Azahl der derart gebildete Regioe ka a 1 =, a = 4 ud a 3 = 7 leicht ermittelt werde. Eie allgemeie Beziehug ka durch Aufstelle eier Rekursiosgleichug gefude werde. Wird ämlich die ( + 1)-te Gerade durch die bisherige a Gebiete, die durch Gerade gebildet werde, gezoge, so scheidet diese eue Gerade alle adere Gerade. Die Schittpukte zerteile die ( + 1)-te Gerade i + 1 Abschitte, wobei jeder dieser Abschitte ei vorhadees Gebiet i zwei teilt. Als Ergebis dieser Überlegug erhält ma die ihomogee Rekursiosbeziehug 1. Ordug a +1 = a + ( + 1), 1. Eie Lösug dieser Gleichug mit der Afagsbedigug a 1 = liefert die Formel a = 1 ( + + ). A.1.4 Die Methode der erzeugede Fuktioe Erzeugede Fuktioe erlaube es, sowohl eizele Rekursiosbeziehuge als auch Systeme vo Rekursiosgleichuge zu löse. Dieses Vorgehe ist aalog zur Awedug der Laplace-Trasformatio bei der Lösug vo Differetialgleichugssysteme. Fakte: 1. Um die Rekursiosbeziehug C +k a +k + + C a = f(), 0, zu löse, führe folgede Schritte aus: multipliziere beide Seite der Rekursiosgleichug mit x +k ud summiere aschließed über alle vo = 0 bis uedlich; schreibe diese eue Gleichug uter Verwedug der erzeugede Fuktio f(x) = a x um ud löse diese Gleichug ach f(x) auf; führe eie Reiheetwicklug des gefudee Ausdrucks für f(x) ach Poteze vo x durch (ggf. ist dazu eie Partialbruchzerlegug erforderlich), so dass die Koeffiziete a abgelese werde köe. Dies ka durch Taylorreiheetwicklug oder geschickte Ausutzug der Reiheformel eier geometrische Reihe 1 1 x = 1 + x + x + x geschehe.. Um ei System vo Rekursiosbeziehuge k-ter Ordug zu löse, führe folgede Schritte aus: multipliziere beide Seite jeder Rekursiosgleichug mit x +k ud summiere aschließed über alle vo = 0 bis uedlich; schreibe dieses eue Gleichugssystem uter Verwedug der erzeugede Fuktio f(x), g(x),... für a, b,... um ud löse dieses ach de erzeugede Fuktioe auf; führe eie Reiheetwicklug der gefudee Ausdrücke für die erzeugede Fuktioe ach Poteze vo x durch, so dass die Koeffiziete a, b,... abgelese werde köe.

12 1 Beispiele: 1. Die ihomogee Rekursiosbeziehug erster Ordug a +1 a = 1, 0, a 0 = 0, tritt im Turm vo Haoi-Problem auf (Beispiel 3 i A.1.3). Begie damit, de erste Schritt vo Fakt 1 azuwede: a +1 x +1 a x +1 = x +1, a +1 x +1 a x +1 = x +1. Daach führe de zweite Schritt vo Fakt 1 durch: a +1 x +1 x a x = x x, [f(x) a 0 ] xf(x) = (1 x)f(x) = Auflöse ach f(x) ergibt x 1 x. x f(x) = (1 x)(1 x) = 1 1 x 1 1 x = (x) x = ( 1)x. Da a der Koeffiziet vo x i f(x) ist, folgt a = 1, 0.. Zur Lösug der ihomogee Rekursiosbeziehug zweiter Ordug a + a +1 + a =, 0, a 0 = 1, a 1 = wede de erste Schritt vo Fakt 1 a: a + x + a +1 x + + a x + = x +, a + x + a +1 x + + a x + = x +. Der zweite Schritt vo Fakt 1 liefert a + x + x a +1 x +1 + x a x = x [f(x) a 0 a 1 x] x[f(x) a 0 ] + x f(x) = Auflöse ach f(x) ergibt [f(x) 1 x] x[f(x) 1] + x f(x) = f(x) = 1 1 x = (x) = x. x 1 x, x 1 x. (x), Somit ist a =, 0, die Lösug der obige Rekursiosbeziehug.

13 A.1 Rekursiosgleichuge Fakt ka beutzt werde, um das System vo Rekursiosbeziehuge a +1 = a b + b +1 = a + b 1 für 0 mit a 0 = 0 ud b 0 = 1 zu löse. Multiplikatio mit x +1 ud Summatio ergibt a +1 x +1 = x a x x b x + x x b +1 x +1 = x a x + x b x x x. Diese zwei Gleichuge köe, ausgedrückt durch die erzeugede Fuktioe f(x) = a x ud g(x) = b x, umgeschriebe werde zu f(x) a 0 = xf(x) xg(x) + x 1 1 x g(x) b 0 = xf(x) + xg(x) x 1 1 x. Die Lösug dieses Gleichugssystems (mit a 0 = 0, b 0 = 1) liefert ud x(1 x) f(x) = (1 x) (1 3x) = 3/4 1 x + 1/ (1 x) + 1/4 1 3x = 3 x + 1 ( ) x + 1 (3x) 4 4 = 3 x + 1 ( ) + 1 x x 1 4x + x g(x) = (1 x) (1 3x) = 3/4 1 x + 1/ (1 x) + 1/4 1 3x = 3 x + 1 ( ) + 1 x 1 3 x. 4 4 Daraus folgt a = ( + 1) , 0 b = ( + 1) 1 4 3, 0.