Zusammenfassung: Mathe 1

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1 Zusammefassug: Mathe 1 Beispiel zur Iduktio Behauptug: es gilt k 2 = 6 (+1) (2+1) Beweis: Iduktio über Iduktiosafag: = 1 k 2 + 1: für = 1: k 2 =1 2 =1 1 Aahme: Für ei N gilt Zu zeige: da muss auch gelte Beweis: +1 k 2 = k 2 +(+1) 2 laut Aahme = = +1 6 (+2)(2+3) k =0 +1 N 6 (+1) (2+1) für = 1: k 2 = 6 (+1) (2+1) k 2 = +1 6 (+2) (2+3) =1 6 (+1)(2+1)+(+1)2 = +1 6 ((2+1)+6(+1)) Formel zu komplexe Zahle Schreibweise: z =x + yi =r e i ϕ =r (cos(ϕ )+i si(ϕ)) r = z = x 2 + y 2 = z z ; ϕ =arccos ( x r ) für y 0 ; ϕ = arccos ( x r ) Kojugatio: z =z +iy z =x iy Ist z die komplexe Lösug eier Gleichug, ist auch z eie Lösug. Additio: Die Vektore addiere sich. Multiplikatio: Die Wikel addiere sich; die Beträge multipliziere sich. Multiplikatio mit i: Liksrotatio des Vektors um 90 ; i 2 = 1 : 180 ; (i )=i 0.5 : 45 Poteze: i =i ( mod 4) ; i 2 = 1; i 3 = i Divisio: Bruch mit kojugiert Komplexem des Neers erweiter. Quadrat: z =r e i ϕ w3 w2 w4 w1 für y <0 φ w5 = 6 w0 1

2 -te Wurzel w k für k = 0, 1,, 1: w k = r e i ( ϕ +k 2 π ) Löse vo Gleichuge p-q-formel zur Lösug vo Gleichuge: z 2 +pz +q =0 z = p 2 ± p2 4 q Beispiel zur quadratische Ergäzug: Kogruezgleichuge x 2 8 x +3 (x 4) (x 4) 2 13 Bestimme des additive Iverse d der Zahl e i Z m : d = m - e Bestimme des multiplikative Iverse: x 1 (mod m)= l m+1 (siehe auch Eukl.) x Es existiert da geau ei multiplikatives Iverses, we x teilerfremd zu m ist. Bsp.: 47 1 mod 60= =23 47 Beispiel zum Löse eier Kogruezgleichug: 347 x 495(mod 60) 47 x 15(mod 60) zur Vereifachug Reste bereche 47 x 15(mod 60) x (mod 60) mit multiplikative Iverse multipliziere Alle x der Form x = sid Lösuge vo 347 x 495=k 60 mit k Z. Weiteres Beispiel: 2 x 3(mod 6) Da 2 ud 6 icht teilerfremd sid, gibt es keie eideutige Lösug. Da ggt(2, 6) = 2 kei Teiler vo 3 ist gibt es keie Lösug. Weiteres Beispiel: 2 x 4(mod 6) Da 2 ud 6 icht teilerfremd sid, gibt es keie eideutige Lösug. Da t = ggt(2, 6) ei Teiler vo 4 ist gibt es t = 2 Lösuge: x 1 = 2, x 2 = 5 (durch Probiere) Reduzierte Restsätze: Z m * :={k Z m k teilerfremd zu m} Bsp.: Z 8 * :={1, 3,5, 7} Eulersche φ-fuktio ϕ(m) : Azahl der zu m teilerfremde Zahle i Z m Für Primzahle p gilt: ϕ(m)=p 1 Für Primfaktorpoteze m = p k gilt: ϕ(p k )=p k p k 1 Für teilerfremde m ud gilt: ϕ(m )=ϕ (m) ϕ () z. B. ϕ( )=1 ( ) 16 Kleier Satz vo Fermat: Ist a teilerfremd zur Primzahl p, gilt: a p 1 1 mod p Verallgemeierug : a ϕ (m) 1 mod m a x a x mod ϕ (m ) mod m

3 Euklidischer Algorithmus i r i q i x i y i -1 m x -1 = 1 y -1 = 0 0 q 0 x 0 = 0 y 0 = 1 1 r 1 = x 1 m + y 1 q 1 x 1 = x -1 - q 0 x 0 = 1 y 1 = y -1 - q 0 y 0 = -q 0 2 r 2 = x 2 m + y 2 q 2 x 2 = x 0 - q 1 x 1 y 2 = y 0 - q 1 y 1 k r i = x i m + y i q k x i = x i-2 - q i-1 x i-1 y i = y i-2 - q i-1 y i-1 k größter gemeisamer Teiler: ggt (m, )=r i multiplikatives Iverses: 1 y i (mod m) Lösuge vo: r i =m x i + y i ( 1 i k ) ämlich x =x i +k r i ud y =y i k m r i mit beliebigem k Z Lösuge vo: m x + y =c mit c= f ggt (m, )= f r i f = c r i wobei f Z ämlich x =f x i +k r i ud y =f y i k m r i mit beliebigem k Z Chiesischer Restesatz geg.: zueiader teilerfremde Module m 1, m 2,..., m ud c 1 Z m1,c 2 Z m 2,..., c Z ges.: x für das gilt: x c 1 mod m 1, x c 2 mod m 2,..., x c mod m zuächst festgelegt: M :=m 1 m 2... m ud M k = M m k (1 k ) damit gilt: x (c 1 M 1 (M 1 1 mod m 1 )+c 2 M 2 (M 2 1 mod m 2 )+...+c M (M 1 mod m ))mod M Bsp.: x 3 (mod 4), x 1(mod 5), x 7(mod 9) x ((3 45 1)+(1 36 1)+(7 20 5))mod 180 x 151 mod 180 Gleiches Bsp. mit Eisetzmethode: Erste Kogruez: x 3 (mod 4) x =3+4k Zweite Kogruez: 3+4 k 1(mod 5) mit 4 1 mod 5=4 multipliziere k 2(mod 5) x =3+4 (2+l 5)=11+20 l Dritte Kogruez: 11+20l 7(mod 9) 2+2l 7(mod 9) mit 2 1 mod 9=5 multipliziere l 7(mod 9) x =11+20 (7+9 m)= m

4 Kombiatorik Biomialkoeffiziet Für, k N 0 defiiert als C (, k )= ( k ) =! über k (falls k > auf 0 festgesetzt) Biomischer Lehrsatz Für N ud x, y R gilt: (x, y ) = ( 0) x + ( 1) x 1 y ( Eigeschafte Symmetrieeigeschaft 1) xy 1 + ( k! ( k)! = k 1 k k 2 k 3 ) y = Additioseigeschaft k 1) + ( 1 k Rekursioseigeschaft ( k +1) = k k Vadermode'sche Idetität i =0 Beispielaufgabe k=0 ( k ) x k y k k Faktore ( k ) = ( k ), ( 0) = ( ) =1 (es ist egal, ob ma k Elemete auswählt oder geau k Elemete icht auswählt) ( k ) = ( 1 ) für k 1 k +1 ( k ), ( +1 ( m i )( k i ) = ( m+ k ) k +1 ( k ), ( +1 k ) = +1 k +1 ( k ) k +1) = +1 Wie viele Summade a 93 b 7 etstehe beim Ausmultipliziere vo (a +b ) 100? ( ) = ( ) = = Permutatio ud Kombiatio Für die Azahl der Möglichkeite, aus Objekte k auszuwähle, gilt: Auswahl ohe Zurücklege mit Zurücklege C (, k )= ( k ) =! k! ( k)! ( +k 1 k Kombiatio ohe Beachtug der Reihefolge Variatio mit Beachtug der Reihefolge Permutatio mit Beachtug der Reihefolge ud k = P (,k )= ( 1)( 2) ( k +1)! = ( k )!! k (+k 1)! ) = k! ( 1)! ( k 1, k 2,,k m ) =! k 1! k 2! k m! m = Azahl der verschiedee Elemete i k 1 +k 2 + +k m = Beispiel zur Permutatio mit Zurücklege: Wie viele Aagramme gibt es zu MISSISSIPPI?

5 = 11 (Buchstabe), m = 4 (verschiedee Buchstabe) ( 11 1, 4,4, 2) = 11! 1! 4! 4! 2! =34650 Sostiges Eie -Elemetige Mege hat 2 Teilmege. Schubfachprizip Verteilt ma mehr als Objekte auf Fächer, ethält midestes ei Fach mehr als ei Objekt; verteilt ma mehr als k Objekte auf Fächer, ethält midestes ei Fach mehr als k Objekte. Mege Summeregel: A B = A + B (ur we A ud B disjukte Mege sid!) Produktregel: A B = A B (Eie Mege i Betragsstriche steht für die Azahl der Elemete i der Mege.) Iklusios-Exklusios-Prizip: A B = A + B A B bzw. A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Beispiel: Wie viele Zahle vo 1 bis 1000 sid durch 6 oder 7 teilbar? A = alle durch 6 teilbare Zahle, B = alle durch 7 teilbare Zahle A B = A + B A B = Darstellug vo Zahle =285 0:=,1:={0}={ },2:={0,1}={,{ }},3:={0, 1,2}={,{ }, { { }}}=... Es gilt: m =mi(m, ) ud m =max (m, ) Relatioe Eie Relatio R zwische de Mege A ud B ist eie Teilmege des kartesische Produktes A B. Für (a, b ) R sagt ma: a steht i Relatio R zu b. Oft schreibt ma auch a R b. Umkehrrelatio/iverse Relatio Umkehrrelatio für R A B : R 1 ={(b, a ) (a,b ) R } B A Verkettug/Verküpfug Verkettug aus de Relatioe R A B ud S B C : S R ={(a, c ) es gibt ei b B mit(a,b ) R ud(b, c ) S } A C Eigeschafte vo Relatioe für de Spezialfall R A x A Eie Relatio R i A heißt reflexiv, we für alle a A gilt: (a, a ) R Jedes Elemet steht zu sich selbst i Relatio.

6 irreflexiv, we für alle a A gilt: (a, a ) R Kei Elemet steht zu sich selbst i Relatio. symmetrisch, we für alle a, b A gilt: (a, b ) R (b, a ) R Jede Relatio gilt auch umgekehrt. atisymmetrisch, we für alle a, b A gilt: (a, b ) R ud (b, a ) R a=b Gilt eie Relatio umgekehrt sid die Elemete gleich. asymmetrisch, we für alle a, b A gilt: (a, b ) R (b,a ) R Keie Relatio gilt auch umgekehrt. trasitiv, we für alle a, b, c A gilt: (a, b ) R ud (b, c ) R (a,c ) R Bei Verkettug vo Relatioe besteht auch eie Relatio zwische erstem ud letzte Elemet. Äquivalezrelatio Eie Relatio R auf eier Mege A heißt Äquivalezrelatio, we sie reflexiv, symmetrisch ud trasitiv ist. Für (a, b ) R sagt ma auch: a ist äquivalet zu b. Äquivalezklasse R sei eie Äquivalezrelatio auf A ud a A. Da heißt die Mege [a ]={x A (a, x ) R } die Äquivalezklasse vo a. Sie besteht als aus alle Elemete, die äquivalet zu a sid (ud je zwei Elemete aus [a] sid auch äquivalet zueiader). Ma et a ud jedes adere Elemet aus [a] eie Vertreter aus dieser Äquivalezklasse. Sei R eie Äquivalezrelatio auf A, da gilt: Je zwei verschiedee Äquivalezklasse sid disjukt (besitze kei gemeisames Elemet). Die Vereiigug aller Äquivalezklasse ist gleich A. Ordug(srelatio) Eie Relatio R i eier Mege A heißt Ordug(srelatio), we sie reflexiv, atisymmetrisch ud trasitiv ist. Eie Relatio R i eier Mege A heißt strikte Ordug(srelatio), we sie asymmetrisch ud trasitiv ist. Eie Relatio R i eier Mege A heißt totale Ordug(srelatio), alle (a, b ) A bezüglich R i Relatio gesetzt werde köe. Eigeschafte vo Fuktioe ijektiv: es gibt icht mehrere x mit gleichem f(x) eideutig umkehrbar surjektiv: alle Elemete der Zielmege werde adressiert für jedes y umkehrbar bijektiv: gleichzeitig ijektiv ud surjektiv für jedes y eideutig umkehrbar