Vorlesung 3. Tilman Bauer. 11. September 2007

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1 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Vorurs Mathemati 2007 Vorlesug 3 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Uiversität Müster 11. September 2007

2 Ausgewählte ohe Aspruch auf Vollstädigeit! Stoff aus diesem Vorurs ud Wiederholug vo Schulstoff Schäfer, Georgi, Trippler, Otto: Mathemati-Vorurs. Übugs- ud Arbeitsbuch für Studieafäger. Teuber. Koch: Eiführug i die Mathemati. Hitergrüde der Schulmathemati. Spriger. Zum mathematische Schreibe ud Dee: Beutelspacher: Das ist o.b.d.a. trivial. Vieweg. Weitergehedes zur Megelehre: Ebbighaus: Megelehre. Spetrum Verlag. Iteressate weiterführede, aber immer elemetare Theme, icht ur für Iformatier: Graham, Kuth, Patashi: Cocrete Mathematics. Addiso-Wesley. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

3 Mege ud Abbilduge Zusammefassug I Vorlesug 2 habe wir betrachtet: Mege: Zusammefassuge vo Objete userer Aschauug Abbilduge: Eie Abbildug f : M N ordet jedem Elemet der Mege M geau ei Elemet der Mege N zu. ijetiv: f ordet verschiedee Elemete vo M verschiedee Elemete vo N zu. surjetiv: Jedes Elemet vo N ist Bild vo midestes eiem Elemet vo M. bijetiv: surjetiv+ijetiv Umehrabbildug: Eie Abbildug g : N M i der umgeehrte Richtug, so dass f (g()) = ud g(f (m)) = m für alle m M ud N gilt. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

4 Mege ud Abbilduge Bilder ud Urbilder vo Mege Sei f : M N eie Abbildug. Ist K M eie Teilmege, so ist f (K) die Mege der Bilder aller K: f (K) = {f () K} = { N K : f () = }. Ist L N eie Teilmege, so ist f 1 (L) die Mege aller Urbilder aller l L: Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe f 1 (L) = {m M f (m) L}. Dieses f 1 hat eie etwas adere Bedeutug als die der Umehrfutio! Isbesodere muss f icht bijetiv sei, damit wir f 1 (L) bilde öe!

5 Mege ud Abbilduge Bilder ud Urbilder vo Mege Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Beispiel f sei gegebe durch 1 a 2 b 3 c. 4 d e M N Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe f ({1, 2}) = {a, d} f ({1, 2, 3, 4}) = {a, d, e} f 1 ({a, e}) = {2, 3, 4} f 1 ({a, b, c}) = {2, 3} f 1 ({b}) =.

6 Vollstädige Idutio Lemma Für alle atürliche Zahle N gilt = ( + 1) 2 0 = = 1 = = 3 = = 15 = Wir gelage icht zu eiem Beweis, idem wir die Aussage eifach für eiige (viele) N eizel überprüfe! Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

7 Vollstädige Idutio Lemma Für alle atürliche Zahle N gilt = ( + 1) 2 Ageomme, wir wüsste, das das Lemma für = 78 wahr ist. Da gälte: Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe = = = Also gälte es da auch für = 79!

8 Vollstädige Idutio Nee wir die Aussage des Lemmas P() (ei Prädiat). Wir habe also gezeigt; P(78) P(79). Dabei hätte 78 auch jede adere Zahl sei öe: wir öe zeige: P() P( + 1) : ( + 1) = P() (+1) 2 + ( + 1) = (+1)+2(+1) 2 = (+1)(+2) 2 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Da wir außerdem P(0) achgerechet habe, habe wir somit P() für alle N gezeigt. Diese Art vo Beweis et ma vollstädige Idutio.

9 Vollstädige Idutio Das Prizip Das Prizip der vollstädige Idutio (über de atürliche Zahle) lautet: Gilt P(0), ud folgt für jedes aus P(), dass auch P( + 1) gilt, so gilt P() für alle. I der Sprache der Prädiatelogi: P(0) : (P() P( + 1)) = : P(). Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Wie öe wir diese Schlussweise rechtfertige? Dass Idutio möglich ist, ist ei Axiom der atürliche Zahle. Das bedeutet: ei Beweis muss tiefer liege, i der Kostrutio der atürliche Zahle. Iformell: Würde Idutio icht gelte, wäre es icht die atürliche Zahle!

10 Vollstädige Idutio Aufbau eies idutive Argumets Die Aussage P(0) ee wir Idutiosveraerug oder Idutiosstart. Diese muss zuächst gezeigt werde. Da beweist ma P() P( + 1) (de Idutiosschritt). Dazu immt P() ma a (Idutiosaahme) ud folgert P( + 1) (Idutiosschluss). Natürlich a ma auch P(1) oder P(15) als Idutiosstart wähle da folgt, dass P() für alle 1 oder 15 gilt. Ebeso ist es beim Idutiosschritt erlaubt, die Gültigeit aller P(i) für i = 1,..., azuehme ud daraus P( + 1) zu folger. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

11 Zum Begriff I der Philosophie spricht ma vo eiem dedutive Argumet, we vom Allgemeie auf das Spezielle geschlosse wird: Jeder Mesch muss schlafe. Olaf ist ei Mesch. Also muss Olaf schlafe. Umgeehrt ist ei idutives Argumet eies, das vo Spezialfälle auf die Allgemeiheit schließt: Alle Mesche, die ich ee, müsse schlafe. Also müsse alle Mesche schlafe. User Alltagswisse basiert fast ausschließlich auf Idutio! Deoch ist ei idutiver Schluss i der Mathemati icht gültig. Die mathematische vollstädige Idutio ist ei idutiver, soder ei dedutiver Schluss. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

12 Eiige Schreibweise Die Schreibweise a umstädlich ud fehlerträchtig sei. Beispiel Was bedeutet ? Es öte die Summe der Zweierpoteze darstelle: Also = 31. Es öte die Summe vo Primzahle mius 1 sei: (2 1) + (3 1) + (5 1) + + (17 1). Also = 51. Es öte die Folge der Kettepoteze sei: (22) = = 23. Deshalb schreibe wir: Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe = i. i=0

13 Eiige Schreibweise Idizierte Summe i i=0 Das Zeiche Σ ist ei großes griechisches Sigma, das für Summe steht. Die Schreibweise bedeutet, dass wir alle i vo i = 0 bis i = aufsummiere solle. Die Variable i ist ei Laufidex; wir öte ebeso eie beliebige adere Buchstabe wähle. Die Summe der Zweierpoteze vo 2 0 bis 2 : 2 i. Ebeso schreibt ma i=0... für das idizierte Produt. i=0 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

14 Beispiele für Idutio Summe vo Quadratzahle 2 = Lemma =0 ( + 1)(2 + 1) 6 Beweis durch vollstädige Idutio. 0 Idutiosstart: 2 = 0 = =0 Idutiosschritt: Wir ehme a, das Lemma gilt für ei. Da gilt: +1 ( ) 2 = 2 + ( + 1) 2 ( + 1)(2 + 1) = + ( + 1) 2 6 =0 =0 = (+1)(22 +) + (+1)(6+6) = ( + 1)( ) 6 6 = (+1)(+2)(2+3) (+1)(+2)(2(+1) + 1) =. 6 6 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

15 Beispiele für Idutio Summe vo Quadratzahle Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Problem: Die Formel ist vom Himmel gefalle! Wie ommt ma darauf? Darauf gibt es eie eifache Atwort. Oft probiert ma sehr viele aus ud versucht, ei Muster zu eree. I dem letzte Beispiel a ma als Asatz ei Polyom der Form a 3 + b 2 + c + d verwede ud durch Beispiele bereche, welche Koeffiziete passe. Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

16 Beispiele für Idutio Faultäte Defiitio Das Produt der Zahle vo 1 bis bezeichet ma als -Faultät ud schreibt dafür! = j. j=1 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe 0! = 1 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120

17 Beispiele für Idutio Faultäte Faultäte habe folgede ombiatorische Iterpretatio: Lemma Seie M ud N zwei -elemetige Mege. Da gibt es geau! bijetive Abbilduge vo M ach N. Beweis durch Idutio. Idutiosstart: Ist = 0, so ist M = N =. Es gibt geau eie Abbildug f :. Adererseits ist 0! = 1. Idutiosschritt: Seie M = {µ 1,..., µ }, N = {ν 1,..., ν }. Die Mege aller Bijetioe f : M N ist die disjute Vereiigug der Mege Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe {f f (µ 1 ) = ν 1 } {f f (µ 1 ) = ν 2 } {f f (µ 1 ) = ν }

18 Beispiele für Idutio Faultäte Lemma Seie M ud N zwei -elemetige Mege. Da gibt es geau! bijetive Abbilduge vo M ach N. Bij(M, N) = {f f (µ 1 ) = ν i }. i=1 Da die Mege disjut sid, ist die Azahl der Bijetioe vo M ach N die Summe der Azahle der Elemete der Mege {f f (µ 1 ) = ν i }: # Bij(M, N) = #{f f (µ 1 ) = ν i }. i=1 Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Ist M eie Mege, so bezeichet #M die Azahl ihrer Elemete (falls es edlich viele sid).

19 Beispiele für Idutio Faultäte Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Lemma Seie M ud N zwei -elemetige Mege. Da gilt # Bij(M, N) =!. # Bij(M, N) = #{f f (µ 1 ) = ν i }. i=1 Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Die Schlüsselüberlegug ist u: Ist f : M N eie Bijetio mit f (µ 1 ) = ν i, so schrät sich f zu eier Bijetio M {µ 1 } N {ν i } ei. Die Azahl der f mit f (µ 1 ) = ν i ist also gleich der Azahl der Bijetioe Bij(M {µ 1 }, N {ν i }).

20 Beispiele für Idutio Faultäte Lemma Seie M ud N zwei -elemetige Mege. Da gilt # Bij(M, N) =!. # Bij(M, N) = # Bij(M {µ 1 }, N {ν i }) i=1 Nu sid aber M {µ 1 } ud N {ν i } jeweils Mege mit 1 Elemete. Also dürfe wir die Idutiosaahme verwede: # Bij(M {µ 1 }, N {ν i }) = ( 1)!. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Wir erhalte: # Bij(M, N) = ( 1)! = ( 1)! =! i=1

21 Beispiele für Idutio Faultäte Bemeruge: Für die Beweisführug ützlich: M ud N verschiedee Mege. I der Praxis betrachtet ma oft M = N. Defiitio Eie bijetive Abbildug f : M M et ma Permutatio vo M. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Ist spezieller M = {1, 2,..., }, so bezeichet ma Bij(M, M) als die symmetrische Gruppe ud schreibt dafür S. Korollar #S =!

22 Beispiele für Idutio Biomialoeffiziete Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Wir wolle eie weitere ombiatorisch defiierte Zahl betrachte: Defiitio Sei 0. Die Azahl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege bezeiche wir mit ( ) (lies: über ). Diese Zahl et ma auch eie Biomialoeffiziete. Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Beispiel ( 4 ) 2 = 6, de die 2-elemetige Teilmege vo {1, 2, 3, 4} sid {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

23 Beispiele für Idutio Biomialoeffiziete Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Lemma ( ) =!!( )! Wir wolle dies durch Idutio beweise. Aber wähle wir oder als Idutiosvariable?? Es ist eifacher, i zu iduziere. Dies fidet ma durch probiere heraus. Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

24 Beispiele für Idutio Biomialoeffiziete Lemma Idutio ach. ( ) =!!( )! Idutiosafag: = 0. Da 0, ist auch = 0. Die leere Mege hat geau eie 0-elemetige Teilmege (die leere Mege). Also ist ( 0 0) = 1. 0! Adererseits ist auch 0!(0 0)! = 1. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe Idutiosschritt: Betrachte wir o.b.d.a. die Teilmege vo {1, 2,..., + 1}. o.b.d.a = Ohe Beschräug der Allgemeiheit : Wir betrachte eie Spezialfall, der aber die Gültigeit des Argumets für die Allgemeiheit icht eischrät.

25 Beispiele für Idutio Biomialoeffiziete Lemma Idutio ach. ( ) =!!( )! Es gibt zwei Arte vo -elemetige Teilmege vo {1, 2,..., + 1}: die, die + 1 icht ethalte: davo gibt es ( ). die, die + 1 ethalte: davo gibt es ( 1). Falls = 0, ist ( ) 0 = 1 =! 0!( 0)!, diese Fall öe wir also vorab behadel. Also gilt ( ) ( +1 = ( ) + 1), falls > 0. Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

26 Beispiele für Idutio Biomialoeffiziete Lemma Idutio ach. ( ) =!!( )! Mit der Idutiosaahme folger wir: ( ) ( ) ( ) + 1 = + 1! =!( )! +! ( 1)!( ( 1)!!( + 1) =!( + 1 )! +!!( + 1 )!!( ) ( + 1)! = =!( + 1 )!!( + 1 )! Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe

27 Aufgabe Bitte bis Doerstag, de bearbeite! Vorurs Mathemati 2007 Tilma Bauer 1. Fide ud beweise Sie eie Formel für die Summe der erste ugerade atürliche Zahle. 2. Beweise Sie folgede Formel durch vollstädige Idutio: ( ) = 2. =0 Mege ud Abbilduge Wiederholug ud Vollstädige Idutio Das Prizip Idex-Schreibweise! ud Aufgabe