Quadratische Formen und Brauer-Gruppen Musterlösungen ausgewählter Aufgaben

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1 Quadratische Forme ud Brauer-Gruppe Musterlösuge ausgewählter Aufgabe Die Lösuge der Aufgabe 3 ud 4 der Zettel 7, 8 ud 9 ergebe zusamme eie elemetare Beweis dafür, dass die Brauergruppe eie Torsiosgruppe ist. Elemetar meit hier ohe Kohomologie zu verwede. Im Folgede solle diese Lösuge sizziert werde. Als Quelle diet hierbei das Boo of Ivolutios 1. Zettel 7, Aufgabe 3. Sei A eie zetral eifache Algebra über dem Körper K. Die reduzierte Spur Trd A : A K wird mittels der Eibettug K A als Edomorphismus vo A betrachtet. a) Zeige Sie, dass die K lieare Abbildug ϕ : A A Ed K A) gegebe durch ϕa b)x) := axb ei Vetorraum-Isomorphismus ist. b) Das Elemet g := ϕ 1 Trd A ) heißt das Goldma-Elemet vo A A. Zeige Sie, dass für eie Quaterioealgebra A über eiem Körper K mit chark) 2 mit Stadardbasis 1,i,j, das Elemet g gegebe ist durch g = i i 1 + j j ). Beweis. a) Aus Satz 4.3 folgt, dass die Abbildug Φ : A A op Ed K A) gegebe wie obe ei Isomorphismus vo K-Algebre ist. Betrachte u id A op : A A A A op, a b a b op. Dies ist offesichtlich ei Isomorphismus vo K-Vetorräume aber icht vo K-Algebre) ud daher ist ϕ = Φ id A op) ei Isomorphismus vo K-Vetorräume. b) Für jedes x aus der Quaterioealgebra gilt Trdx) = x + x = 2x 0. Für die Basiselemete folgt also: Trd1) = 2; Trdi) = 0; Trdj) = 0; Trd) = 0. Es geügt zu zeige, dass ϕg) sich auf der Basis ebeso verhält. Reche dies ach: ϕg)1) = i i 1 + j j 1 + 1) = 4 2 = 2 ϕg)i) = 1 i + i i i) = 0 2 ϕg)j) = 1 j j + j j) = M.-A. Kus, A. Merurjev, M. Rost, J.-P. Tigol, The Boo of Ivolutios, AMS Colloquium Publicatios Vol. 44, 1998.

2 ϕg)) = 1 + ) = 0. 2 Zettel 7, Aufgabe 4. a) Ist A = Ed K V ) = V V eie zerfallede Algebra ud e i ) eie Basis für A mit dualer Basis e i ), so ist das Goldma-Elemet gegebe durch g = i,j e i e j) e j e i ). Für v,w V gilt gv w) = w v, ud g ist durch diese Eigeschaft eideutig bestimmt. b) Allgemei gilt für g: g 2 = 1 ud g a b) = b a) g für a,b A. c) Die Eiheitegruppe vo A ethält die symmetrische Gruppe S. Beweis. a) Bezeiche die Matrix mit eiem Eitrag 1 i Zeile i ud Spalte j ud Eiträge 0 a alle adere Positioe mit E ij. Diese a auch als e i e j geschriebe werde. Es geügt u wieder, die geforderte Gleichheit auf eier Basis E l vo Ed K V ) achzureche. Seie also,l {1,...,} beliebig. Da gilt ϕg)e l ) = i,j E ij E l E ji = i E il E i = i δ l E ii. Also ist ϕg)e l ) die Nullmatrix, we ud l verschiede sid ud sost die Eiheitsmatrix, was zu zeige war. Seie u v,w V mit v = i v ie i ud w = i w ie i mit v i,w i K. Da gilt gv w) = i,j e i e j )v) e j e i )w) = i,j v j e i w i e j = i,j w i e i v j e j = w v. Dass g durch diese Eigeschaft eideutig bestimmt ist, ist lar aufgrud der Liearität. b) Nimm zuächst a, dass A zerfällt. Da folgt aus dem letzte Teil vo Aufgabeteil a) sofort, dass g 2 = 1 gilt. Betrachte u a,b A = Ed K V ) beliebig ud v,w V. Da gilt: g a b) ) v w) = g av) bw) ) = bw) av) = b a)w v) = b a) g ) v w).

3 Falls A icht zerfällt, betrachte eie Zerfällugsörper L ud A K L. Da ϕ ud die reduzierte Spur mit Salarerweiteruge ommutiere, ist das Goldma-Elemet i A K L ebeso gegebe ud die Gleichuge gelte auch i A A. c) Aus Teil b) folgt, dass Kojugatio mit g i A A als Vertauschug wirt. Betrachte u für ei Æ die Algebra A ud dari die Elemete t i := id i 1 A g id i 1 A für 1 i 1. Kojugatio mit diese wirt auf A durch Traspositio zweier beachbarter Elemete. Die vo diese Elemete erzeugte Gruppe ist also isomorph zur symmetrische Gruppe S. Zettel 8, Aufgabe 3. Sei A eie zetral eifache K-Algebra. Die reduzierte Dimesio eies Lis-A-Moduls M ist defiiert als rdimm) := dim KM) deg A. Sei u D ei zetraler Schieförper über K, V ei edlichdimesioaler Rechtsvetorraum über D ud A = Ed D V ). Zeige Sie, dass die Abbildug U Hom D V/U,V ) eie Bijetio zwische Uterräume der Dimesio d vo V ud Lisideale vo reduzierter Dimesio deg A d)id A i A ist. Weiterhi gibt es eie aoische Isomorphismus Ed A Hom D V/U,V )) = Ed D V/U). Beweis. Zuächst gilt i diesem Fall deg A = dim D V =: ud id A = deg D. Sei U ei Utervetorraum vo V der Dimesio d. Jeder Homomorphismus vo V/U ach V a iterpretiert werde als Homomorphismus vo V ach V, der auf U verschwidet. Es gilt also Hom D V/U,V ) = {f A : fu) = 0} =: I. Es ist leicht zu sehe, dass I ei Lisideal i A ist. Für die reduzierte Dimesio gilt rdimi) = dim KI) deg A = deg D dim DI) = ida d) = deg A d)id A. Sei umgeehrt I ei Lisideal i A ud setze U := f I erf.

4 Da ist die Ilusio I Hom D V/U,V ) offesichtlich. Für die adere Ilusio wähle eie Basis v 1,...,v d,...,v vo V über D derart, dass v d+1,...,v eie Basis vo U ist. Elemete vo I sid u bzgl. dieser Basis Matrize, i dere letzte d Spalte alle Eiträge gleich 0 sid. Desweitere gibt es zu jeder Spalte j mit j d ei Elemet A I, welches i dieser Spalte eie vo 0 verschiedee Eitrag hat. Sei u W der vo de Basisvetore v 1,...,v d erzeugte Uterraum. Die Zeile eier Matrix aus I öe u als Elemete vo W iterpretiert werde. Sei X die Mege der Vetore, die als Zeile i Matrize vo I voromme. Da ist X ei Utervetorraum vo W, da durch die Idealeigeschaft vo I Multipliatio vo lis mit Permutatiosmatrize icht aus dem Ideal hiausführt, isbesodere ist I ivariat uter Zeilevertauschuge. Die Behauptug ist, dass X = W gilt. Aderfalls betrachte das aoische iere Produt auf V bzgl. obiger Basis ud wähle eie Vetor v X W, der vo 0 verschiede ist. Dies ist ach Kostrutio ei Vetor, auf dem alle Elemete vo I verschwide, der also i U liegt, was aber icht sei a, da W U = {0}. Wieder aufgrud der Idealeigeschaft vo I a ma Elemete vo lis mit eier Projetiosmatrix multipliziere ud erhält so Matrize, i dee alle Zeile außer eier omplett 0 sid ud die i I liege. Daraus folgt, dass die Basismatrize E ij mit 1 i ud 1 j d i I liege. Diese spae aber de Raum Hom D V/U,V ) auf. Für de aoische Isomorphismus betrachte die Abbildug Φ : Ed D V/U) Ed A HomD V/U,V ) ), Φf) := ϕ f, wobei ϕ f g) := g f. Die Abbilduge ϕ f sid offesichtlich A-liear. Sei u f Ed D V/U) mit f 0, da gibt es ei g I mit g f 0, also ist Φ ijetiv. Weiterhi gilt: deg Ed A I) = rdimi) = deg D d) = deg Ed D V/U). Aus Dimesiosgrüde folgt also, dass Φ ei Isomorphismus ist. Zettel 8, Aufgabe 4. Sei K ei Körper ud A eie zetral eifache K-Algebra. Für Æ sei s := sgσ)a σ A σ S für die zu Permutatioe σ gehörede Elemete a σ, vgl. Blatt 7, Aufgabe 4.c). Sei A s das vo s erzeugte Lisideal ud λ A) := Ed A A s ). Zeige Sie für eie zerfallede Algebra A = Ed K V ) ud = 2 die Existez eies aoische Isomorphismus λ 2 A = Ed K Λ 2 V ).

5 Beweis. Setze I := A A)s 2 = A A)id A id A g), wobei g das Goldma- Elemet ist. Setze U := er s 2 V V. Aufgabe 4 vo Zettel 7 impliziert, dass U de vo Elemete der Form v v aufgespate Uterraum ethält. Nach Aufgabe 3 vo Zettel 8 gilt I = Hom K V V )/U,V V ). Aufgrud der obe erwähte Eigeschaft vo U gibt es eie Surjetio Λ 2 V V V )/U. Wähle u eie Basis e 1,...,e vo V. Für 1 i < j gilt s 2 e i e j ) = e i e j e j e i. Diese Elemete sid für verschiedee Wahle vo i ud j liear uabhägig, es folgt also dim V V )/U ) ) = dimim s 2 = dimλ 2 V. 2 Damit ist die obige atürliche Surjetio ei Isomorphismus. Wiederum ach Aufgabe 3 vo Zettel 8 folgt also λ 2 A = Ed A I) = Ed K V V )/U ) = EdK Λ 2 V ). Zettel 9, Aufgabe 3. Sei A eie zetral eifache K-Algebra ud M ei edlich erzeugter Lis-A-Modul mit M {0}. a) Die Algebra E := Ed A M) ist eie zetral eifache K Algebra, die ählich zu A ist. b) Zeige Sie, dass gilt Beweis. deg E = rdim A M) ud rdim E M) = deg A ud folger Sie, dass gilt A = Ed E M). a) Lässt ma E vo rechts auf M operiere, so trägt M die Strutur eies A-E-Bimoduls. Nach dem Satz vo Wedderbur ist A = M r D) für eie zetrale Divisiosalgebra D ud ei r N. Betrachte u de Rechts-D-Vetorraum V = D r ud Ed A V ). Aufgrud der D-Liearität der Elemete i A ist lar, dass D Ed A V ) gilt. Adererseits ist V als A-Modul eifach, also folgt Ed A V ) = D ud M V s für ei s N. Es folgt E = Ed A M) = M s EdA V ) ) = M s D). Daher ist E zetral eifach ud ählich zu A.

6 b) Aus der Beschreibug i Teil a) folgt deg E = s deg D = rdim A M). Setze dies ei: rdim E M) = rs dimd s deg D = r deg D = deg A. Aufgrud der Bi-Modulstrutur a ma u A i Ed E M) eibette. Aalog zu obigem Argumet folgt aber, dass deg Ed E M) = deg A ud daher ist diese Eibettug ei Isomorphismus. Zettel 9, Aufgabe 4. Sei K ei Körper ud A eie zetral eifache K-Algebra vom Grad. Für Æ sei s := σ S sgσ)a σ A für die zu Permutatioe σ gehörede Elemete a σ, vgl. Blatt 7, Aufgabe 4.c). Sei A s das vo s erzeugte Lisideal ud λ A) := Ed A A s ), vgl. Blatt 8, Aufgabe 4, wo der Fall = 2 behadelt wurde. a) Zerfällt A, also A = Ed K V ), so gilt A s = HomK Λ V,V ). b) Im allgemeie gilt für die reduzierte Dimesio rdima s ) = ) falls 2 ; aderfalls ist diese =0. c) λ A) ist eie zetral eifache Algebra vom Grad ), die ählich zu A ist. d) Teilt de Idex vo A, so teilt der Idex vo A die Zahl id A)/. Hiweis. Ohe Eischräug a ma aehme, dass A ei Schieförper ud = p eie Primzahl ist. Zeige Sie, dass da idλ p A) sowohl als auch p) teilt. Folger Sie, dass die Brauergruppe eies Körpers eie Torsiosgruppe ist. Beweis. a) Der Beweis läuft aalog zu Aufgabe 4 vo Zettel 8. Setze I := A s ud U := er s. Nach Aufgabe 3 vo Zettel 8 gilt: I = Hom K V /U,V ). Nach Kostrutio ethält U de Uterraum vo V, der vo Tesore der Form v 1 v erzeugt wird, wobei v i = v j für ei i j gilt. Daher gibt es wieder eie surjetive Abbildug Λ V V /U. Sei u e 1,...,e eie Basis vo V. Beachte: dim V = deg A =.) Für

7 alle Wahle 1 i 1 < i 2 < < i sid die Bilder s e i1 e i ) liear uabhägig, also folgt ) dimv /U = dimim s. Hierbei ist die Kovetio ) = 0 für > zu beachte. Daher ist die obige Abbildug ei Isomorphismus ud es folgt die Behauptug. b) Nimm zuächst a, dass A zerfällt, also A = Ed K V ) mit dim K V = deg A =. Da zerfällt auch A, es ist ämlich A = Ed K V ) mit deg A = dim K V =. Für die reduzierte Dimesio vo I = A s gilt da ach Teil a): rdimi) = dim K I deg A = dim K Hom K Λ V,V ) = ) = ). Im icht zerfallede Fall betrachte eie Zerfällugsörper ud führe die Rechug dort aus. Da die reduzierte Dimesio ivariat uter salare Erweiteruge ist, folgt auch hier die Behauptug. c) Es ist λ A) = Ed A I) =: E ach Aufgabe 3a) vo Blatt 9 zetral eifach ud ählich zu A. Aufgabe 3b) liefert ) deg E = rdimi) =. d) Da der Idex ivariat uter Ählicheit ist, a ma zu eier ähliche Algebra übergehe ud daher ist es eie Beschräug der Allgemeiheit azuehme, dass A = D ei zetraler Schieförper ist. Sei := deg A = id A. Zeige die Behauptug u mit vollstädiger Idutio über die Azahl vo Primfatore vo. Für de Idutiosafag sei eie Primzahl. Da ach Teil c) A ählich zu λ A) ist, geügt es, idλ A) zu betrachte. Eierseits teilt der Idex vo λ A) immer de Grad vo λ A), also ). Ist adererseits L ei Zerfällugsörper für A vom Grad, da zerfällt auch λ K A) über L ud daher teilt der Idex auch ud somit de größte gemeisame Teiler vo ud ). Da eie Primzahl ist, folgt, dass dieser gleich ist: Es ist : = ud ) : = 1 1) ud diese sid teilerfremd, weil eie Primzahl ist. Sei u allgemei = m p mit p prim ud die Behauptug für m ud p bereits gezeigt. Da ach Voraussetzug ei Teiler vo ist, ist auch m ei Teiler vo ud ach Idutiosvoraussetzug gilt ida m m.

8 Uterscheide u zwei Fälle. Falls p de Idex vo A m teilt, so lässt sich wiederum die Idutiosvoraussetzug awede ud es folgt, dass der Idex vo A m ) p = A da auch ida m p ud somit mp = teilt. Aderfalls sid p ud ida m teilerfremd. Nach Wahl eies geeigete Zerfällugsörper folgt aber wie i der Idutiosvoraussetzug, dass der Idex vo A de Idex vo A m teilt, welcher wiederum ei Teiler vo m ist. Da der Idex vo A m teilerfremd zu p ist, die Zahl p aber ei Teiler vo m ist, folgt, dass auch p id A die Zahl m teilt, was wiederum die Behauptug zeigt. Es bleibt zu zeige, dass die Brauergruppe eie Torsiosgruppe ist, d.h. für jede zetral eifache Algebra A ist zu zeige, dass es eie atürliche Zahl gibt, so dass A zerfällt. Sei := id A. Diese Zahl teilt atürlich de Idex vo A ud damit teilt der Idex vo A ach Teil d) auch id A = 1, also ist dieser Idex gleich 1 ud A zerfällt.